Преобразование графиков для старших классов.
методическая разработка по алгебре (9, 10, 11 класс) на тему

Методическая разработка для учащихся старших классов.

Преобразование графиков.

Изображать функции графиками очень удобно, потому что, поглядев на графики, можно сразу отличить одну функцию от другой. Всегда, когда нужно выяснить общий характер поведения функции, обнаружить ее особенности, график, в силу своей наглядности, является незаменимым. Поэтому инженер или ученый, получив интересующую его функцию в виде формулы или таблицы, обычно берется за карандаш, набрасывает эскиз графика и смотрит, как ведет себя функция, как она «выглядит».

Для изображения эскиза полезно знать некоторые преобразования графиков.

Пусть дан график некоторой функции у=f(x).

  Как построить графики функций:

1. f(x)f(-x),

2. f(-x)-f(x),

3. f(x)-f(x),

4. f(x)|f(x)|,

5. f(x)f(|x|),

6. f(x)f(x+a),

7. f(x)f(x)+a,

8. f(x)af(x),

9. f(x)f(mx)?

1. f(x)f(-x)

Определение: Функция f называется четной, если для любого х из ее области определения f(x)=f(-x).

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Следовательно, чтобы построить график функции у=f(-x) , имея график f(x) , отбрасывают левую часть графика, а правую половину зеркально отражают относительно оси ОУ.

2. f(-x)-f(x)

Определение: Функция f  называется  нечетной, если для любого х из ее области определения f(-x) = -f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

3. f(x)-f(x)

График функции у = -f(x) может быть получен из графика

у = f(x) симметрично относительно оси ОХ.

4. f(x)|f(x)|

Чтобы из графика функции у = f(x) получить график функции

у = |f(x)| , нужно участки графика у = f(x) , лежащие выше оси абсцисс, оставить без изменения, а участки, лежащие ниже оси абсцисс, отразить симметрично относительно этой оси.

5. f(x)f(|x|)

Чтобы из графика функции у = f(x) получить график функции

у = f(|x|) , нужно правую половину графика у = f(x) оставить без изменений, а левую половину заменить на симметричное отображение  относительно этой оси (оси ОУ) правой половины.

6) f(x)f(x+a)

График функции у = f(x+a) получается из графика функции

у = f(x) со сдвигом вдоль оси ОХ на  –а единиц.

Знак минус означает, что если, а > 0 , график сдвигается влево, если, а < 0 , график сдвигается вправо.

7. f(x)f(x)+a

График функции у = f(x)+a получается из графика функции

у = f(x) сдвигом вдоль оси ОУ на а единиц. Направление сдвига определяется знаком числа а (при а  > 0 график сдвигается вверх, при а < 0 – вниз).

8. f(x)af(x)

При  а > 0 график функции у = af(x) получается из графика функции  у = f(x) растяжением в а раз вдоль оси ОУ (в случае

0 < a < 1 получается сжатие).

9.  f(x)f(mx)

График функции у =  f(mx) получается из графика функции

у = f(x) растяжением в  раз при 0 < m < 1 и сжатием при m > 1.

Задачи для самостоятельного решения:

На рисунке изображен график функции y = f(x).

Нарисуйте эскизы графиков функций:

1)   y = f(x) – 2                                           5)  y = -3f(x)

2)   y = f(x+2)                                           6)  y = f(-x)

 3)   y = |f(x)|                                            7)   y = -f(x)

4)  y = f(|x|)                                             8)   y = f()