Система упражнений по теме «Геометрическая интерпретация комплексных чисел»
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

Система упражнений по теме

«Геометрическая интерпретация комплексных чисел»

Для комплексного числа z = x + y i , его действительной части х и его мнимой части у используют следующие обозначения:  x = Re z,  y = Im z.

1. На комплексной плоскости постройте точки, изображающие следующие комплексные числа: 3+4i,  2-3i, -5+2i, -8-7i, 2i,  -3i, 1, 5, - 4, 0.

2. Дайте геометрическое описание множества всех точек комплексной плоскости, изображающих комплексные числа  z = x+iy  удовлетворяющих каждому из  соотношений:

а) Re z > 0;

б) Im z < 0;

в) Im z > 2;  

г) 4 < Im z < 7;                      

д) 0 < Re z < 3;                        

е) Re z > 5;                                

ж)  0 ≤  Im z ≤ 4;                      

з) Re z ≥ 8;                          

и) |Im z| < 6;

к) | Re z | > 2;

л)| Re z | ≤ 9.

м) 1< | z - 1 | < 2;

н) | z + 1 - i| >|  z +i |

о) | 2z - i | = 4;

п) Re z =;                        

р) 2Re z + Im z = 1;

c) Re(iz +2 – i) = 2;                              

т) Im (1+i)z = 1;                              

3. Где расположены точки, изображающие комплексные числа z = x+iy  , для которых Re z < 1; Re z ≥ - 2;  Im z ≤ 5; Im z  ≥ 6; | Re z | ≤ 2; |Im z| > 2?

4. Где расположены точки, изображающие комплексные числа, для которых удовлетворяется соответственно пара неравенств: 0 ≤  Re z ≤ 4 и 0 ≤  Im z ≤ 4; - 2 ≤  Re z ≤ 3  и  - 2 ≤  Im z ≤ 3 ;  | Re z | ≤ 1  и  | Im z | ≤ 1;  | Re z | < 2   и | Im z | < 2; | Re z | ≥ 5  и  | Im z | ≥ 5;   | Re z | < 4 и |Im z| > 6.

5. Запишите с помощью неравенств следующие множества точек комплексной плоскости: 1) полуплоскость, расположенная ниже действительной оси; 2) полуплоскость, расположенная справа от мнимой оси; 3) полоса, включающая точки, отстоящие от действительной оси на расстоянии d ≤ 5; 4) квадрат с вершинами в точках 0, 1, 1 – i, - i; 5) полоса, включающая точки, отстоящие от мнимой оси на расстоянии 2 < d < 7.

6. Дать геометрическую интерпретацию формулам:

а)  (1 + 2i) + (1 – 2i) = 2 + 0i

б) ( 3 – 4i) + (-1 +2i) = 2-2i

7. Пусть точка М служит изображением на плоскости комплексного числа a+bi. Построить на той же плоскости точки, которые изображали бы комплексные числа:

a – bi                                            -a + bi                                         -a – bi

a + 0i                                              0 + bi                                           -a + 0i

8. Пусть точка М служит изображением на плоскости комплексного числа a - bi. Где на той же  плоскости расположены точки, изображающие числа:

3a + 0i                                           -5a + 0i

0 – bi                                               0 + 2bi

4a + 3bi?

9.  Какими условиями можно задать на комплексной плоскости а) кольцо; б) квадрат; в) треугольник

10. Запишите в виде комплексного числа

            а) середину отрезка, соединяющего  и ;

      б) центр тяжести треугольника с вершинами в точках ;  ;  .

11. Точки ;  ;   - три вершины параллелограмма. Найдите четвертую вершину.

12. Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел  и , изобразить геометрически данные числа и результаты операций:

1) = - 2 + i,                                                 = 3 +(-1) i,

2)  = 2 + 3i,                                                 = 2 + (-3) i,

3)  = 1 + (-2) i,                                           = (-1) + (-2) i,

4)  = 3 + 0i,                                                = 2 + 0i,

5) = 2 + (-1) i,                                            = 0 + 2i,

6)  = -3,                                                      = 4i      

7)  = 1 + (-2) i,                                           = -1 + 2i,      

8)  = 2 + (-2) i,                                           = -1 + i.

13. Найти модуль и аргумент следующих комплексных чисел и представить их на комплексной плоскости:

1) z = 1 +i;  2) z =   - i;  3) z = i; 4) z =2; 5) z = -3;                              

6) z = -i;   7) z = i;  8) z = -5 – 5i.

14. Указать на комплексной плоскости множества точек, соответствующие комплексным числам z, удовлетворяющим условиям:

1)  = 1;        8) arg z =3π/2;

2)  = 3;         9) arg z = π/3;

3) ≤ 5;         10) π/6≤ arg z ≤ π/4;  

4)  > 2;         11)  = 1/3;

5) 1≤  ≤ 2;         12) =3;

6) arg z = 0;           13) ≤2;

7) arg z = π;        14) 2≤   ≤4.

15. Представить следующие комплексные числа в тригонометрической форме:

        1) 1; -1; i; -i;   2) z =3-3i; 3) z =-; 4) z =4; 5) z = -5; 6) z = 2-2i; 7) z = --i.

16. Докажите, что для любых комплексных чисел  и  имеет место тождество

и дайте его геометрическую интерпретацию.

17. Найдите комплексное число z, удовлетворяющее следующему условию, и соответствующую ему точку комплексной плоскости:

1) z i=5-2i;                                    2) -3 + i = z(1+i);

3) z(-3 +2i) = 5-55i;                      4) -7 +1,5i = z(5-4i).

18. Найти расстояние между  двумя точками:

1)  2i и-3;    2) -3i и 4;      3) 3i и 3-i;     4) -3i и  8-3i;   5) 2+i и  3-i;  6) -3+i  и -3-2i.

19. Постройте прямую:

1) ;                                           2) ;

3) ;                                    4) .

20. Докажите, что множество точек, удовлетворяющих данному уравнению, является прямой; постройте эту прямую:

1) z +;                                              2) z-.