Главные вкладки

    Открытый урок "Решение неравенств с одной переменной"
    план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

    Цепенкова Ирина Павловна

    Даный урок проводится в 11 классе по программе базового уровня. Цель урока: обобщить знания по теме «Решение неравенств с одной переменной». Рассматриваются неравенства разного вида. Повторяются способы решения неравенств. 

    Скачать:


    Предварительный просмотр:

    Конспект открытого урока

    «Решение неравенств с одной переменной»

    Класс: 11б

    Дата проведения: 18 марта 2015 года

    Уровень:

    Цель урока: обобщить знания по теме «Решение неравенств с одной переменной».

    Задачи урока:

    обучающие:

    • обобщить и систематизировать знания, полученные  при изучении темы «Решение неравенств с одной переменной»;
    • рассмотреть решение неравенств с одной переменной различного вида;
    • рассмотреть общие способы решения неравенств с одной переменной (метод последовательных упрощений, метод интервалов, метод замены переменной, функционально-графический метод);
    • закрепить умение применять основные теоремы равносильности при решении неравенств с одной переменной;
    • способствовать расширению знаний по изучаемой теме;

    развивающие: 

    • развитие логического мышления, памяти, умения рассуждать, искать рациональный способ решения поставленной задачи;
    • формирование умений сравнивать, обобщать, анализировать изучаемые факты;
    • развитие у учащихся самостоятельности в мышлении и учебной деятельности;
    • развитие математической речи;

    воспитывающие:

    • воспитание самоконтроля, ответственности, настойчивости в достижении поставленных целей;
    • повышать уровень учебной мотивации с использованием компьютерных технологий;
    • воспитание коллективизма, взаимопомощи и ответственности за общую работу;
    • воспитание аккуратности при выполнении практических заданий;
    • воспитывать внимательность, активность, уверенность в себе.

    Тип урока: урок повторения и обобщения

    Оборудование: две ученических доски, интерактивная доска, проектор, компьютер.

    Программное обеспечение: Microsoft Word, Microsoft PowerPoint, 1С Математический конструктор 4.0, презентация к уроку.

    Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / [А. Г. Мордкович и др.] ; под ред. А. Г. Мордковича. – 4-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2013.

    План урока:

    1) организационный момент

    2) повторение теоретических сведений по изучаемой теме

    3) проверка домашнего задания, работа по карточкам

    4) применение теоретических знаний на практике (решение задач устно и письменно по изучаемой теме)

    5) самостоятельная работа

    6) рефлексия

    7) подведение итогов урока

    8) запись домашнего задания

    Ход урока.

    1. Организационный момент.

    Приветствие учащихся, проверка готовности к уроку, вступительное слово учителя, название темы, целей урока, запись в тетрадях числа и темы урока (слайд 1)

    Ребята, на доске отображено множество различных неравенств. Какие неравенства вы видите? (Тригонометрические, иррациональные, степенные, линейные, квадратные, логарифмические, показательные, дробно-рациональные.)

    Что общего у этих неравенств? (Все неравенства содержат одну переменную.)

    Начиная с восьмого класса вы изучаете решение таких неравенств. Сегодня на уроке мы поговорим о равносильности неравенств, применении теорем равносильности при их решении, а также вспомним основные методы решения неравенств с одной переменной. К концу урока пусть каждый из вас ответит на вопрос: «Насколько хорошо я владею тем или иным методом решения неравенств с одной переменной?»

    Запишите в тетради число и тему урока «Решение неравенств с одной переменной».

    1. Повторение теоретических сведений по изучаемой теме.

    Учитель выдаёт карточки с индивидуальными заданиями разного уровня сложности.

    Решите неравенство    (1 уровень)

    Решите неравенство (2 уровень)

    № 57.16а (домашнее задание)

    № 57.24а (домашнее задание)

    Ответьте на вопрос: «Что называют решением неравенства?» (Решением неравенства        f(x) > g(x) называют всякое значение переменной х, которое обращает неравенство в верное числовое неравенство.) Рассмотрите пример. Назовите другие частные решения данного неравенства и числа, не являющиеся решением. Найдите общее решение данного неравенства. Что является общим решением неравенства с одной переменной? (слайд 2)

    Используется инструмент «шторка».

    Следующий вопрос: «Какие неравенства называются равносильными?»   (Неравенства     f(x) > g(x) и p(x) > h(x) равносильны, если их решения совпадают.) Равносильны ли неравенства: x2 ≥ 0  и  |x| ≥ 0;   < 0   и   ?   (Все неравенства решение которых множество действительных чисел – равносильны. Все неравенства решение которых пустое множество – равносильны.) (слайд 3) Используется инструмент «шторка».

    Получить неравенство равносильное данному помогают теоремы равносильности. Повторим их и используем в решении неравенств устно. (слайд 5-10)

    Используется инструмент «шторка».

    Нам известны и ранее неоднократно при решении неравенств применялись четыре метода. Назовите их. (Метод последовательных упрощений, метод интервалов, метод замены переменной, функционально-графический метод.)

    На экране вы видите четыре неравенства. Соотнесите каждое неравенство с соответствующем методом решения. (слайд 11)

     

    1. Проверка домашнего задания. Учащиеся поясняют свое решение.

    № 57.16а (домашняя работа)

    Решаем показательное неравенство методом замены переменной.

    ,

    Пусть . Решаем методом интервалов.

    t≥3,  

    Ответ: [1; )

    № 57.24а (домашняя работа)

    Решаем неравенство графическим методом.

    Построим график логарифмической функции y=. Построим график линейной функции  y=6-x. Наблюдая за поведением графиков, выясняем, что решением неравенства является промежуток (0; 4).

    Ответ: (0; 4).

    4) Применение теоретических знаний на практике.

    К доске вызываются три ученика. Двое работают самостоятельно. Решают № 57.12б и неравенство

    Один ученик работает вместе с классом (№ 57.10а). Затем у доски выполняется № 57.30б и слушается ответ первых двух учащихся.

    № 57.12б

    Решаем показательное неравенство.

    Решаем тригонометрическое неравенство.

    Ответ:

    На доске слева ученик работает самостоятельно пока все учащиеся решают № 57.10а и № 57.30б. По окончании их работы учащийся комментирует своё решение и полученный ответ. Учащиеся в классе слушают ответ ученика.

    Решите неравенство

    Решаем иррациональное неравенство методом замены переменной.

    x0.

    Пусть

    Ответ: (16; 256)

    Учащиеся в классе слушают ответ ученика.

    № 57.10а

    Решаем логарифмическое неравенство применяя теоремы равносильности.

    Учащийся решает неравенство, комментирует решение и прописывает на каждом шаге используемые теоремы равносильности. Учащиеся в классе записывают решение в тетради.

    № 57.30б

    Решаем иррациональное неравенство методом интервалов.

    x=5,             x+10, x≥-1, теорема 1

    x=-1,                  

    Ответ: (-1;5)

    Учащийся решает неравенство, комментирует решение и прописывает на каждом шаге используемые теоремы равносильности или метод решения. Учащиеся в классе записывают решение в тетради.

    Решите неравенство (карточка)

    1 уровень. Учитель проверяет работу ученика.

    x(3,4; )

    Ответ: (3,4; )

    Решите неравенство (карточка)

    2 уровень. Учитель проверяет работу ученика.

    Ответ: [-2; 1]

    Ответ:

    х=1,5             х(0;1)(1;)

    х=1

    Ответ: х(1; 1,5)(2; )

    № 57.23б Выполнение данного номера предусмотрено на дополнительной доске.

    Решаем неравенство графическим методом.

    Построим график показательной функции y=. Построим график функции  y=. Наблюдая за поведением графиков, выясняем, что решением неравенства является промежуток [0; ).

    Ответ: [0; ).

    Решение неравенства выполняется с помощью программы Математический конструктор.

    5) Самостоятельная работа по вариантам

    Проверка самостоятельной работы.

    Учащиеся проверяют ответы и оценивают свою работу. Правильно выполнено два задания – оценка «3», три задания – оценка «4», четыре задания – оценка «5».

    6) Рефлексия. По итогам самостоятельной работы и всего урока учащиеся отвечают на вопрос, прозвучавший в начале урока: «Насколько хорошо я владею тем или иным методом решения неравенств с одной переменной?»

    На обратной стороне листочка с самостоятельной работой содержится текст:

    Ответьте на вопросы и заполните таблицу.

    Я умею решать неравенства с одной переменной на …  (от 0 до 5) баллов следующими методами:

    метод

    балл

    Применение теорем равносильности

    Метод интервалов

    Метод замены переменной

    Функционально-графический способ

    Мне нужно потренироваться в решении неравенств методом…

    Данный текст высвечивается на интерактивной доске.  Учащиеся отвечают на вопрос.

    7) Итоги урока.

    Сегодня на уроке мы решали неравенства с одной переменной. С неравенствами каких видов мы работали? (показательными, тригонометрическими, логарифмическими, рациональными, иррациональными, степенными). Какие методы применяли при их решении? (графический, метод интервалов, метод замены переменной, а также применяли теоремы равносильности). С какими трудностями вы столкнулись при решении неравенств с одной переменной? Какие моменты в решении неравенств вам давались успешнее всего? Обсуждение трудностей и успехов.

    Потренироваться в решении неравенств различного вида можно обратившись к следующему материалу: (слайд 16)

     

    8) Записывается домашнее задание: № 56.6б, 57.20б, 57.11б, 57.29б.



    Подписи к слайдам:

    Теорема
    3
    a
    f
    (x)
    > a
    g(x)



    f(x) > g(x)
    , если
    a > 1
    a
    f
    (x)
    > a
    g(x)



    f(x) < g(x)
    , если
    0 < a < 1
    ___________________________________________________
    4
    х

    ˂
    64
    8
    x
    > -1
    0,2
    x
    >
     
    x < 3
    Нет решения
    x <
    9
    x
    любое число
    Методы решения неравенств:
    I -
    метод последовательных упрощений
    (
    применение теорем равносильности);
    II -
    метод интервалов;
    III -
    метод замены переменной;
    IV -
    функционально-графический метод.
    2x - 6 > 12x + 7

    2
     
     
     
    СПАСИБО!
    Решением неравенства

    f(x)

    >

    g(x)
    называют всякое значение переменной х,
    которое обращает неравенство
    в верное числовое неравенство.
    3х – 12
    > 0
    x = 10 –
    частное решение
    т. к. 3*10 – 12=18, 18
    > 0
    х
    = 0 –
    не является решением,
    т
    . к. 3*0-12=-12, -12
    <0
    x

    > 4 –
    общее решение неравенства
    Множество всех частных решений
    неравенства называют
    общим решением
    Теорема 2
    f(x) > g(x)





    (f(x))
    2n+1
    > (g(x))
    2n+1
    _____________________________________________________________________________
    < 2
     
    (-
    ; 4)
    Теорема 1
    f(x) > g(x)



    f(x)
    -
    g(x) > 0
    Теорема 2
    f(x) > g(x)



    (f(x))
    2n+1
    > (g(x))
    2n+1
    Теорема
    4
    f(x) > g(x)


    f(x)h(x) > g(x)h(x), h(x)>0
    при
    x
    D
    (y)
    f(x) > g(x)


    f(x)h(x) < g(x)h(x), h(x)<0
    при
    x
    D
    (y)
    Теорема
    5
    Если
    f(x)

    0
    и
    g(x)

    0
    при
    x
    D
    (y)
    ,

    то
    f(x) > g(x)



    (f(x))
    2n
    > (g(x))
    2n
    Теорема
    3
    a
    f
    (x)
    > a
    g(x)



    f(x) > g(x)
    , если
    a > 1
    a
    f
    (x)
    > a
    g(x)



    f(x) < g(x)
    , если
    0 Теорема 6
    Если
    f(x) > 0
    и
    g(x) > 0
    при
    x
    D
    (y)
    ,

    то
    Log
    a
    f
    (x) >
    Log
    a
    g
    (x)



    f(x) > g(x)
    при
    a>1
    Log
    a
    f
    (x) >
    Log
    a
    g
    (x)


    f(x) < g(x)
    при 0
    < a < 1
    https://drive.google.com/file/d/0B_7FG63HN2wIeVYzR0R3MzJzYnM/view?usp=sharing

    Неравенства. Метод интервалов
    https://drive.google.com/file/d/0B_7FG63HN2wIaHhvSXBhc0Q1WnM/view?usp=sharing

    Показательные неравенства
    https://drive.google.com/file/d/0B_7FG63HN2wIZ1BMU3RKQjJoVG8/view?usp=sharing

    Логарифмические неравенства
    https://drive.google.com/file/d/0B_7FG63HN2wIWHJfOVcyX2NHM2s/view?usp=sharing

    Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

    https://
    docs.google.com/document/d/1Cmqkt7uXBzL7gP8B6uc_UrIsEY7nfPl69f8bzw_bVyg/edit?usp=sharing

    полезные ссылки
    Решение неравенств с одной переменной
     
    2x - 6 > 12x + 7
     
    x
    2
    - 2


    -
    2
     
    (x-2)
    3
    + 5 > 0
     
    -1 < 0
     

    2
     
    метод
    балл
    Применение теорем равносильности
     
    Метод интервалов
     
    Метод замены переменной
     
    Функционально-графический способ
     
    Ответьте на вопросы и заполните таблицу.
    Я умею решать неравенства с одной переменной на

    (от 0 до 5) баллов
    следующими методами:
    Мне нужно потренироваться в решении неравенств методом

    Теорема 1
    f(x) > g(x)



    f(x)
    -
    g(x) > 0
    _____________________________________________________
    2x - 6 > 12x + 5
    x
    2
    - 7


    -
    7
    x
    2
    + 20
    <
    20
    (-
    ;
    -1,1)
    Нет решения
    х любое число
    Теорема 6
    Если
    f(x) > 0
    и
    g(x) > 0


    при
    x
    D
    (y)
    ,

    то
    Log
    a
    f
    (x) >
    Log
    a
    g
    (x)


    f(x) > g(x)
    при
    a>1
    Log
    a
    f
    (x) >
    Log
    a
    g
    (x)


    f(x) < g(x)
    при 0
    <
    1
    ___________________________________________________
     
    (2; +
    )
    (0; 1)
    (0; 5)
    [
    0,01;
    +)
    Определение:

    если решение неравенства
    f(x)

    >

    g(x)
    содержится в решении неравенства
    p(x)

    <

    h(x)
    ,
    то неравенство
    p(x)

    <

    h(x)
    называют
    следствием

    неравенства
    f(x)

    >

    g(x)
    x
    2

    – 9
    >
    0

    следстви
    е


    >
    6

    x
    2

    – 9
    >
    0




    >
    6
    x

    <
    -3, х
    >

    3 x

    >

    3
    Определите неравенство-следствие:
    3x – 12 > 0 x
    2
    – 16 > 0

    Самостоятельная

    работа
    Вариант 1
    х
    (-; -0,8
    ]
    x
    x(0; 1]  [2; +)
    x(64; +)
     
    Вариант
    2
    х

    [-5; +

    )
    x
    x(-2; 0)  (4; +)
    x(1024; 4
    10
    )
     
    Теорема
    5
    Если
    f(x)

    0
    и
    g(x)

    0
    при
    x
    D
    (y)
    ,

    то
    f(x) > g(x)




    (f(x))
    2n
    > (g(x))
    2n
    ____________________________________________________
     
    [1; +
    )
    Нет решения
    [
    -
    7; 29)
    Определение:
    неравенства
    f(x) > g(x)
    и
    p(x) > h(x)
    равносильны
    ,
    если их решения совпадают.

    – 6 > 0
    и
    5

    - 6
    > 1
    x
    > 3 x > 3

    – 6 > 0


    5

    - 6
    > 1
    Равносильны ли неравенства?
    x
    2



    0 и
    |x| ≥ 0
    < 0
    и

     
    Теорема
    4
    f(x) > g(x)


    f(x)h(x) > g(x)h(x), h(x) > 0
    при
    x
    D
    (y)
    f(x) > g(x)


    f(x)h(x) < g(x)h(x), h(x) < 0
    при
    x
    D
    (y)
    ___________________________________________________________
    (x - 12) < 0
     
    (-7; +
    )
    (-;
    1)
    (12;
    +
    )
    +
    8
    ˂ 0
     
    Решите неравенство:

    По теме: методические разработки, презентации и конспекты

    Открытый урок по Математики "Решение Неравенств с одной переменной"

    Данный урок сопровождается с презентаций.  Презентация к уроку . Ссылка.Урок "Решение неравенст с одной переменной " Ссылка....

    Контрольно-обобщающий урок «Решение неравенств и систем неравенств с одной переменной"

        Контрольно-обобщающий урок  «Решение неравенств и систем неравенств с одной переменной". Цель урока: обобщение, систематизация и проверка знаний, умений и навыков в...

    Обобщающий урок по теме "Решение неравенств с одной переменной и решение систем неравенств"

    Данный урок является закрепляющим уроком по теме "Решение неравенств и систем неравенств" в 8 классе. В помощь учителю создана презентация....

    Решение неравенств и систем неравенств с одной переменной.

    Цели:Совершенствовать умения решать неравенства и системы  неравенств, графически изображать множество их решений, а также записывать решения в виде числового промежутка...

    Открытый урок по теме "Линейные неравенства с одной переменной"

    Планирование урока  осуществлялось на основе календарно-тематического планирования для 6 класса. Тема урока: «Повторение. Линейные неравенства с одной переменной и их системы». Цель урока: закреп...

    Открытый урок "Решение линейных и квадратных неравенств с одной переменной» (9 класс)

    Цели урока.Образовательные:Повторить  понятие неравенства первой и  второй степени с одной переменной, дать определение.Повторить  алгоритмы решения неравенств на основе свойств линейно...

    открытый урок по алгебре 8 класс на тему "Решение систем неравенств с одной переменной"

    открытый урок по алгебре 8 класс на тему "Решение систем неравенств с одной переменной" Урок полностью соответствует ФГОС+ презентация  к уроку....