Показательные уравнения и неравенства
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

Система учебных задач, направленных на формирование у школьников УУД на уроках математики.

Оздоева Е.Н., учитель математики

ГБОУ СОШ с. Новый Буян,

м.р. Красноярский Самарской обл.

  Принятие и реализация новых образовательных стандартов общего образования призвано обеспечить достижение основной цели образования – переход от преподавания (передачи информации) к учению (овладению компетенцией – потенциалом действия).

  Основным принципом, лежащим в основе организации процесса обучения и воспитания,  является ориентация на результаты обучения, которые определены в рамках ФГОС нового поколения  в  виде  компетенций как способностей целостного использования в деятельности освоенных знаний, умений, навыков, опыта и личностных качеств выпускника школы.  Результаты общего образования определяются как единство предметного, метапредметного и личностного результатов при условии сохранения здоровья учащихся. 

Компетентностный подход рассматривается как один из главных путей достижения нового качества образования, поэтому  изучение вопросов проектирования и реализации  компетентностных моделей обучения  имеет научную и практическую актуальность.

Так поиск инноваций привел исследователей проблем модернизации образования к новой компетентностно-контекстной модели образования. Многие  школы Самары и Самарской области стали экспериментальными площадками по организации учебного процесса в рамках компетентностно-контекстной модели образовательного процесса. Научный руководитель эксперимента – консультант (профессор), доцент кафедры современных технологий и качества образования ЦРО г.о.Самара к.п.н. Н.А.Рыбакина.

В результате создания комплекса педагогических условий учащиеся овладеют  способами  эффективно действовать в различных жизненных ситуациях на основе умений самостоятельно ставить цели, определять средства, оценивать результат. В данной ситуации знания – не столько цель образования, сколько средство развития и самоопределения  личности учащегося.  Педагог  создает условия для учения, а учится каждый сам.

В компетентностно-контекстной модели образовательного процесса изучение любой темы разбивается на 4 основных этапа:

  1 этап – осознание структуры изучаемого явления. Педагог излагает  материал сжато,  показывая связь новых и старых знаний, их применение в различных ситуациях. Информация представляется  в виде структурных и функциональных блоков. Сжатая информация подается  настолько емко, что должна позволить решать большой класс задач по изучаемой теме  «от простого к сложному».

Осознанию структуры и содержания рассматриваемого явления способствует включение в теоретическую часть методов решения ключевых задач, то есть таких задач, освоение приемов решения которых позволит учащемуся самостоятельно решать задачи от уровня А до уровня С на ЕГЭ по этой теме. Ключевые задачи учитель не решает, а организует фронтальный диалог по поиску решения предлагаемых задач.

Таким образом, уже на данном этапе объяснения новой темы ученик активный участник образовательного процесса, он находится в постоянном диалоге с учителем, другими учащимися.

  2 этап  - осознание генезиса способов деятельности.

На этом этапе  формируются познавательные универсальные  учебные действия, связанные с содержанием учебного материала, такие как моделирование, структурирование, анализ, сравнение, классификация, оценка, и т.д.

Первичное закрепление проводится в форме фронтальной работы  с учащимися под руководством учителя по решению ключевых задач. Ученик читает задание, определяет  на какое оно правило, свойство и объясняет вслух способ использования этого знания в данной ситуации. Задача учителя на данном этапе заключается в том, чтобы организовать фронтальный диалог по поиску способа решения учебных задач на основе моделирования условий задачи и сопоставления ее с моделью знания.

Таким образом, на данном этапе обеспечивается формирование важнейшего универсального учебного действия «моделирование» в процессе учебной деятельности.

  3 этап – самореализация. Вооруженные обобщенными способами решения задач и принципами их действия в ключевых задачах и задачах, сводимых к ключевым, учитель переходит к организации самостоятельной коллективной деятельности учащихся по решению задач. Учитель здесь выступает в роли консультанта, учащиеся работают в парах или в группах. Пары или группы подобраны по равным способностям. Учащиеся пользуются опорными конспектами, схемами, алгоритмами, обращаются за помощью к напарнику и только потом к учителю. Уровень сложности материала нарастает постепенно.

Особенность данного этапа заключается в том, что если правильно простроены первые два первых этапа, то самореализация запускается автоматически. Дети готовы работать самостоятельно в коллективной деятельности, ставя перед собой конкретные личностно-значимые задачи собственного развития и образования. А у учителя появляется возможность  работать индивидуально с отдельными учениками.

Для того, чтобы учащиеся заработали в полную силу, учитель должен предложить  список заданий на все время этапа самореализации (а это около 40 % от всего времени изучения темы). Задания выстроены лесенкой трудности «от простого (ключевые) к сложному (уровень С и олимпиадные)». Каждый учащийся движется в своем темпе, выбирает свой уровень достижений. Есть только одно ограничение – обязательным является выполнение ключевых задач, так как это обеспечивает зачет или удовлетворительно на контрольной работе. Решать ли уровень В, С и олимпиадные задачи,  решает ученик.

На данном этапе формируются универсальные учебные действия, не связанные с содержанием образования: регулятивные, коммуникативные, познавательные (постановка и решение проблем).

 4 этап – рефлексия уровня достижений. На данном этапе осуществляется формирование рефлексивного мышления. Контроль знаний в данной модели осуществляется на всех этапах.

Первый контроль проводится, чтобы проверить усвоение базовой теории. Как правило, фронтально для всех учащихся.

Второй контроль – применение этой теории в ключевых задачах.

Третий контроль – включает ключевые задачи и задачи, требующие комбинации способов решения нескольких ключевых задач.

     Непосредственно на этапе рефлексии осуществляется двухфазная рефлексия. Сначала самостоятельная работа идентичная итоговой, затем обобщающий урок, предполагающий анализ характерных трудностей, и на последнем уроке итоговая контрольная  работа.

Формирование регулятивных, коммуникативных метапредметных результатов и личностных результатов заложено в самой компетентностно-контекстной модели образовательного процесса и отрабатываются в процессе изучения каждой темы на третьем и четвертом этапах. Предметные и познавательные метапредметные результаты, которые непосредственно связаны с содержанием образования  конкретизируются в каждой теме календарно-тематического плана, в котором по каждой теме сформулированы результаты обучения в деятельной форме, то есть определено, что будет уметь делать учащийся с помощью нового знания и конкретизированы познавательные универсальные учебные действия. На основании заявленных результатов учитель строит сценарий изучения темы в четыре, выше указанных, этапа, время на прохождение каждого их которых примерно распределяется следующим образом: 1 этап – 20%, 2 этап – 10%, 3 этап – 40%, 4 этап – 30% (указан % времени на каждый этап от общего количества времени, отведенного на изучение темы).

 Каждому этапу изучения темы в календарно-тематическом плане соответствует определенная форма организации учебных занятий:

1 этап – проблемное изложение материала;

2 этап – семинар, в процессе которого организована деятельность по объяснению выбора основ решения широкого класса задач;

3 этап – практикум по решению задач, в процессе которого каждый учащийся в коллективной деятельности строит свою работу по достижению личностно-значимых целей обучения;

4 этап – двухфазная рефлексия, состоящая, как правило, из трех уроков: предитоговая работа, рефлексия уровня достижений (обобщаюший урок), итоговая работа. Особенность этапа заключается в том, что две проверочные работы данного этапа проводятся по одному классификатору. Эти же работы задают уровень сложности освоения материала. В рамках заявленной темы он может быть различным в зависимости от уровня подготовки учащихся, но не может быть ниже уровня: учащийся освоит, заданного примерной образовательной программой основного общего образования.

Покажем, как выше сказанное реализуется на примере темы «Решение показательных уравнений и неравенств» в 10 классе.

Учитель объявляет тему урока: «Решение показательных уравнений и неравенств». Затем сразу переходит к понятию показательного уравнения и существующим методам их решения.

Уравнения вида  называются простейшими показательными уравнениями:                                

               если b ≤ 0, то корней нет;  если b > 0, то х =

Примеры.                                                   

                  х =                       х =                    корней нет

                  х = 2

1. Уравнения, сводящиеся к простейшим:

Примеры:

Все ключевые задачи в структуре учащиеся решают в совместной деятельности с учителем. При этом учитель к каждому следующему примеру задает один и тот же вопрос: докажите, что данное уравнение решается рассматриваемым способом, и предложите прием сведения к данному способу. 

То есть важно, что доказывают принадлежность к методу и сводят к нему учащиеся в полилоге. А учитель под их диктовку выполняет действия, и они тоже пишут вместе с ним решение в тетрадь. То есть соблюдается такая цепочка действий: 

1) учитель: докажите, что данное уравнение рассматриваемого вида;

2) ученики: вслух произносят признаки;

3) учитель: предложите способ сведения к стандартному виду данного вида уравнения;

4) ученики предлагают шаги сведения или решения, если уравнение совпадает с общим видом уравнения данного вида;

5) учитель обобщает все сказанное и просит диктовать поэтапно шаги решения;

6) учитель пишет под диктовку, ученики вместе с ним говорят и пишут. 

На этом этапе действие учеников является "слово".

2. Уравнения, сводящиеся к простейшим, путем вынесения за скобки степени с наименьшим показателем.

Примеры:

3. Уравнения, сводящиеся к квадратным:

.

Решаются путем замены переменной:   .

Примеры:

Приведем пример возможного мини диалога обучающего и обучающегося.

Учитель: Решим уравнение

Докажите, что данное уравнение является уравнением рассматриваемого вида.

Ученики: (вслух произносят признак) т.к. в показателях коэффициенты при переменной х2 противоположные числа, то это уравнение можно свести к квадратному.

Учитель: Предложите способ сведения к стандартному виду данного вида уравнения. Ученики: Сначала по свойству степеней преобразуем , затем путем замены новую переменную перейдем к квадратному уравнению.

Учитель: обобщает все сказанное и просит диктовать поэтапно шаги решения:

Ответ:  

Учитель записывает под диктовку, ученики вместе с ним говорят и пишут. 

4. Однородные уравнения:

 – однородное уравнение первой степени (сводится к простейшему путем деления обеих частей на )

 – однородное уравнение второй степени (сводится к квадратному путем деления обеих частей на )

Примеры:

5. Уравнения, решаемые методом разложения на множители.

Такие уравнения путем преобразований приводят к виду

 и далее применяют стандартный метод (произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю): приравнивают к нулю каждый множитель. Всё сводится к решению двух простейших показательных уравнений.

Пример:

Ответ:

6. Графический способ решения смешанных показательных  уравнений вида.

Строят в одной системе координат графики функций левой и правой частей и определяют абсциссы их точек пересечения.

Пример:

Точка пересечения графиков

Ответ:

Далее учитель обращает внимание учащихся на то, что показательные неравенства решаются теми же приемами, только есть один нюанс: в неравенствах нужно обращать особое внимание на основание степени.

7. Показательные неравенства

Примеры:

Дальнейшее продолжение урока строится на основе проблемного содержания, так как алгоритмы разных типов уравнений содержат в себе проблемность. Нужно определить, что в данной ситуации применим именно этот алгоритм решения, а затем решить уравнение (неравенство).

На этапе генезиса принцип почти тот же, но алгоритм работы немного другой:

1) учитель представляет учащимся уравнение и просит определить, какого оно вида или преобразовать, так чтобы вид  стал очевиден;

2) ученики: каждый сам или в паре выполняют данное задание, учитель в это время проходит по рядам и оценивает обстановку;

3) учитель просит представить, что увидели, помогает и уточняет, если это не так, или затруднились, вновь вслух проговаривая признаки (в основном это коэффициенты при переменной в показателях);

4) учитель просит довести решение примера до конца;

5) учащиеся решают, учитель ходит по рядам;

6) учитель в зависимости от того, насколько ученики справились:

- либо просит сказать ответ, если видит что больших проблем решение не вызвало и просит задать вопросы тех, у кого не получилось, разбирают, где ошибка;

- либо прорешивает весь пример под диктовку тех, кто решил правильно, если было много проблем, и так же просит задать вопросы тех, у кого не получилось, объяснить их, где была их ошибка, поняли ли они, как нужно было действовать. 

На этом этапе основным действие учащихся является моделируемое самостоятельное действие.

Учитель предлагает учащимся еще ряд заданий:

Приведем пример возможных мини диалогов на этапе генезиса.

Учитель: Определите, какого вида следующее уравнение  ?

Ученик: Замечаем, что .

Перенесем всё в левую часть и преобразуем.

Замечаем, что слагаемые левой части можно сгруппировать и вынести из каждой группы общий множитель.

Учитель: Значит, каким способом будем решать данное уравнение?

Ученики: Способом разложения на множители.

Учитель: Доведите решение до конца.

Ученики записывают решение, опираясь на алгоритм решения ключевой задачи

  или  

Ответ:

Учитель ходит по рядам и контролирует процесс выполнения задания. Далее просит учеников озвучить ответ. Если с заданием справились не все, то учитель совместно с учащимися выясняет: какие были затруднения и их причины.

Приведем еще один пример мини диалога:

Учитель: А как будем решать такое неравенство ?

К какому типу оно относится?

Ученики: Т.к. показатель первого слагаемого в 2 раза больше показателя второго слагаемого, значит, оно подходит под тип неравенств, сводящихся к квадратным, но основания степеней разные.

Учитель: Посмотрите на основания степеней внимательнее. Возможно они равны.

Ученики: Избавимся от иррациональности в знаменателе числа :

.

Ученики: Тогда получаем неравенство , сводящееся к квадратному. Ученики доводят решение до конца и сообщают ответ.

Т.к.

Ответ:

Учитель выясняет причины возникших затруднений и ошибок (ошибки могут возникнуть на этапе возврата к старой переменной) и проводит работу по их устранению.

На этом совместная деятельность обучающего и обучающихся завершается.

После того, как все уравнения и неравенства решены в совместной деятельности обучающего и обучающихся, учитель предлагает выполнить следующие задания, которые выполняются обучающимися самостоятельно в коллективной деятельности.

Задания для самостоятельного решения: