Признаки делимости их применение.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре на тему

Тема: «Признаки делимости на 2-11, 13, 19, 25, 36».

• Признаки делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра есть число четное или нуль.

Например:14 : 2=7, 106:2=53, 1378:2=689

• Признаки делимости на 3. Число  делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Например: 384→3+8+4=15:3=5, 384:3=128

129→1+2+9=12:3=4, 129:3=43

145→1+4+5=10 не делится на 3, 145 не делится на 3

• Признаки делимости на  4. Число делится на 4, если две его последние цифры – нули или образуют число, делящееся на 4.

Например: 936→36:4=9, 936:4=234

78516→16:4=4, 78516:4=19629

8422 →22 не делится на 4, 8422 не делится на 4

• Признаки делимости на 5. Число делится на 5, если его последняя цифра либо нуль, либо 5.

Например: 15:5=3

1125:5=245

1300:5=260

47 не делится на 5

• Признаки делимости на 6. Число делится на 6, если оно в одно время делится на 2 и 3.

Например: 396→3+9+6=18, 18:3=6, 18:2=9, 396:6=66

771→7+7+1=15, 15:3=5, 15 не делится на 2, 771 не  

делится

• Признаки делимости на 7. Число делится на 7, если разность между числом десятков и удвоенной цифрой единиц  делится на 7.

Например:119→2*9-11=7:7=1, 119:7=17

169→2*9-16=-2, 2 не делится на 7, 169 не делится на 7

455→2*5-45=-35:7=5, 455:7=65

• Признаки делимости на 8. Число делится на 8, если три последние его цифры – нули или образуют число, делящееся на 8.

Например: 1872→872:8=109, 1872:8=234

4368→368:8=46, 4368:8=546

8155→155 не делится на 8, 8155 не делится на 8

• Признаки делимости на 9. Число  делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Например: 783→7+8+3=18:9=2 783:9=87

455→4+5+5=14 не делится  на 9, 455 не делится на 9

• Признаки делимости на 10. Число делится на 10, если его последняя цифра нуль.

Например:10:10=1

1120:10=112

1234 не делится на 10

• Признаки делимости на 11. Число делится на 11, если разность между суммой  цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой  цифр стоящих на четных местах, делящееся на 11.

Например: 87635064:11=7966824

8+6+5+6=25

7+3+0+4=14

25-14=11, 11:11=1

46816:11=4256

4+8+6=18

6+1=7

18-7=11, 11:11=1

5425 не делится на 11

5+2=7

4+5=9

7-9=-2, 2 не делится на 11

• Признаки делимости на 13. Чтобы узнать делится ли число  на 13, необходимо от этого числа без последних трех цифр отнять число из трех последних цифр, если разность делится на 13 то и заданное число делится на 13.

Например: 5525→5-525=-520:13=-40, 5525:13=425

5100→5-100=-95 не делится на 13

18928→18-928=-910:13=-70, 18928:13=1456

• Признаки делимости на 19. Число делится  на 19, если данное число представим в виде суммы и  первое слагаемое – число единиц увеличить в два раза, а второе слагаемое – число, стоящее перед единицами.

Например:76→6*2+7=19, 19:19=1, 76:19=4

418→8*2+41=57, 57:19=3, 418:19=22

47063→3*2+4706=4712→2*2+471=475→5*2+47=57:19

• Признаки делимости чисел оканчивающихся на цифру 9. Число делится  на 29, если данное число представим в виде суммы и  первое слагаемое – число единиц увеличить в три раза, а второе слагаемое – число, стоящее перед единицами.

Например:87→7*3+8=29:29=1

319→9*3+31=58→8*3+5=29:29=1

• Число делится  на 39, если данное число представим в виде суммы и  первое слагаемое – число единиц увеличить в четыре раза, а второе слагаемое – число, стоящее перед единицами.

Например: 156→6*4+15=39

702→2*4+70=78→8*4+7=39

• Теорема: если сумма (mb+a), оканчивается на   цифру 9 – делится на (10m-1), тогда число (10 a+b) делится на (10m-1)

Доказательство  (10а+b)=10(10mb+a)-b(10m-1)

Число b(10m+b) делится на (10 m-1), тогда (10а+b) и 10(mb+а) делятся на (10 m-1). Чтобы проверить число (10а+b) делящееся на (10 m-1): возьмем   число (mb+a) делится ли оно на  (10m-1) m=6 тогда проверим признаки делимости на 59

118→8*6+11=59

• Признаки делимости на 25. Число делится на 25, если его последние две цифры – нули или образуют число, делящееся на 25.

Например: 75:25=3

100:25=4

625:25=25

413 не делится на 25

• Признаки делимости на 36. Число делится на 36, если оно в одно время делится на 4 и 9.

Например: 108→8:4=2, 1+0+8=9:9=1,108:36=3

123→23 не делится на 4, 123 не делится на 36

15300 → две последние нули : 4, 1+5+3+0+0=9:9=1,            

                  15300:36=425