Логарифмические уравнения.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

Логарифмические уравнения.

   Логарифмическим называется уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком логарифма. Простейшее логарифмическое уравнение  с множеством допустимых значений  и имеет решение  Логарифмическое уравнение, в котором под знаком логарифма стоит некоторая функция ,     .  Имеет множество допустимых значений задаваемых неравенством                и эквивалентно уравнению

   Теорема: Уравнение , где  равносильно системе      

уравнения другого неравенства, используя более простое)

Пример 1.  Решим уравнение:

  корнями уравнения являются числа  и  – посторонний корень т.к.  удовлетворяет неравенству             ,   не удовлетворяет.

Ответ:  

Пример 2. Решить уравнение

             .

Ответ:

Логарифмические уравнения вида решается с помощью подстановки  заданного уравнения.

Пример 3.  

Ответ: 9.

Примеры решения логарифмических уравнений.

Пример 1.  

Область определения .    Уравнение равносильно системе

    или     

Решение этой системы и, следовательно, исходного уравнения  

 Ответ: 3.

Эти и подобные логарифмические уравнения можно решать и без перехода к смешанной системе. В таком случае проверка полученных корней подстановкой в исходное уравнение обязательна, т.к. в процессе решения может расширяться область определения и могут появиться посторонние корни.

Пример 2.

Уравнение равносильно системе ,  или, ссылаясь на определение логарифма

Полученное иррациональное уравнение имеет два корня:

, из которых системе удовлетворяет только один  значит, заданное уравнение имеет единственное решение.

Пример 3.                     E:  

  Пусть     

 т.е.  

   т.е.          т.е.  

Уравнение имеет три корня: 0,5; 1; 16.

Пример 4.              E:

(, то корень уравнения должен удовлетворять условию

т.е. . С другой стороны, при

  Значит, Е: (0,1).

получим  

корень  посторонний.

Ответ:

Решение логарифмических уравнений методом логарифмирования. Если неизвестное входит в уравнение как под знаком логарифма, так и в основании степени, то в некоторых случаях уравнения решаются логарифмированием обеих частей уравнения с последующим использованием приведенных выше методов решения.

Пример 5.   .    Прологарифмируем обе части уравнения:

    пусть  

 возвращаемся к замене

Ответ:

Пример 6. Решить уравнение с помощью свойств логарифмической функции:

Решение: подстановкой проверяем, что - решение уравнения. Функция стоящая в левой част, возрастает, а в правой убывает, следовательно, графики этих функций не могут иметь более одного пересечения.

Ответ: .

При решении уравнений, содержащих логарифмические и тригонометрические функции, наиболее трудной задачей является отбор корней.

Пример 7.    

Пусть  , тогда     

Получим =0,     y=1,4    и  

 не подходит, т.к не выполняется

Значит , теперь найдем .

Если

Ответ: