Выступление на семинаре
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

ЛОГИЧЕСКИЕ УНИВЕРСАЛЬНЫЕ УЧЕБНЫЕ ДЕЙСТВЯ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ.

      Для успешного обучения, для самостоятельного освоения новых знаний и умений большое значение имеют познавательные универсальные учебные действия. Универсальными такие действия называются потому, что используются в разных учебных предметах и не зависят от специфики предметов. Познавательные действия, наряду с другими универсальными учебными действиями, составляют основу организации учебной деятельности, «учат учиться» не зависимо от содержания предмета.

      Мы уже слышали сегодня, что логическими универсальными действиями являются:

• Анализ объектов  с целью выделения признаков (существенных, несущественных)
•   Синтез – составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание с восполнением недостающих компонентов.
• Выбор оснований и критериев для сравнения, сериации, классификации объектов.
• Подведение под понятие, выведение следствий.
• Установление причинно – следственных связей, представление цепочек объектов и явлений.
• Построение логической цепочки рассуждений, анализ истинности утверждений.
• Доказательство.
• Выдвижение гипотез и их обоснование.

    Таким образом, к числу логических универсальных учебных действий относятся:

АНАЛИЗ – расчленение предмета, явления, ситуации и выявление составляющих их элементов, частей.

СИНТЕЗ – соединение частей предметов или явление в одно целое, а также мысленное сочетание отдельных их свойств.

СРАВНЕНИЕ – сопоставление предметов с целью выявления признаков сходства или признаков различия.

ОБОБЩЕНИЕ – нахождение существенно общего в заданных предметах или явлениях.

АБСТРАГИРОВАНИЕ – отчленение, выделение общего, существенного и его противопоставление частному, несущественному.

КЛАССИФИКАЦИЯ – распределение предметов и явлений определенного типа по классам и подклассам в зависимости от сходства и различия.

       При изучении каждого  учебного предмета данные логические универсальные действия конкретизируются и специализируются. На уроках математики производится анализ доказательства теорем и задач, приходится сравнивать геометрические фигуры, обобщать решений уравнений.

        Одним из важных умений учащихся при поиске учебно – математических идей является способность в любом объекте видеть его часть и, наоборот, включать один объект в другой.

    Большинство школьных задач решаются по определенному алгоритму. Быстрое их решение обычно зависит от знания формул и умелого их применения, что достигается решением громадного количества однотипных задач. Многие этапы решения у школьников приобретают автоматический характер, и они не задумываются над каждым из них. Отсюда возможны ошибки, и в итоге неправильный результат. Вот поэтому необходимо формировать у ребят потребности в выполнении анализа условия задачи на самом первом этапе ее решения.

   При подготовке к уроку, необходимо следить за тем, чтобы каждая задача требовала анализа описанной в ней ситуации.

   Так для урока алгебры в 7 классе по теме: «Решение уравнений» было подготовлено пять уравнений, каждое из которых сводилось к квадратному. Но семиклассники не умеют решать квадратные уравнения, поэтому им приходилось придумывать способ, который позволил бы обойти этот момент. Вот тут-то появилась возможность для анализа и догадок.

   Итак, первое уравнение  х(х-1) = х

Его надо решить устно. Класс рассудил так: корень уравнения, это такое число, при подстановке которого в уравнение, обе части уравнения будут равны одному и тому же числу, поэтому  х-1 должно равняться 1, тогда получим равенство х = х. Отсюда х = 2 – корень уравнения. После этого легко найти еще один корень х = 0.

Второе уравнение:      х( – 3) = х

Это уравнение закрепляет прием, которым был решен первый пример, но оно имеет уже три корня.

Если  – 3 = 1,то х =х

 = 4 ,     х = 2      х = -2

И опять находится еще один корень   х = 0

Конструкция третьего уравнения   ( - 9)( - 2) = 9 -

 включает возможность автоматического применения рассмотренного выше приема. И когда высказались предположения  - 2 = 1 стало понятно, что не все учащиеся начали с анализа условия. Разобравшись, почему в этом случае равняться 1, дали решение:

т.к.  - 9 и 9 -  противоположные, то  - 2 = -1, х = 1 и х = -1,

и еще корень  – 9 = 0, то х =3 и х = -3

Четвертое уравнение  ( - 16) ( + 2) = 16 -   опять возвратило к предыдущему. Хотя числа – 16  и 16 -   противоположные, но в этом случае нельзя получить решение, приравняв  + 2 = -1. Корни получаются из уравнения  – 16  = 0,  х = 2 и х = -2.

Пятое уравнение    ( - 5х + 1) =  - 18 + 81 внешне отличается от предыдущих, но нетрудно заметить, что  - 18 + 81 = . И уравнение сводится к решению:  , х = 3 и х = -3,      - 5х + 1 = 1,      - 5х = 0,   х(х – 5) = 0,  х = 0 и х = 5.

     Итак, уравнения подобраны так, что каждое следующее по своей конструкции казалось повторением предыдущего. Вот это узнавание, с одной стороны, помогало ребятам, делало их действия более уверенными. Они смело приступали к решению очередного примера, думая, что прием решения известен. С другой стороны, приводило к автоматическому выполнению действий, а значит, и к ошибкам.

    Каждый пример, конечно же, можно было решить письменно, но это привело бы к механическому раскрытию скобок, перенесению членов уравнения из одной части в другую.

      Ребята должны понять, что в обеих частях уравнения стоит одно и тоже число, выраженное разными способами, а именно этот момент они обычно упускают из виду. Да и смысл знака =  выпадает из поля их внимания и они просто «перерисовывают» две черточки, не задумываясь. Поэтому для класса неожиданным было предложение решить такие трудные уравнения устно. Им ничего не оставалось делать, как внимательно разглядеть обе части уравнения и догадаться как найти то неизвестное, при котором в обеих частях стояло бы одно и тоже число.

    При решении любой задачи важно уметь выполнять анализ и синтез условия. На уроках математики  уделяется большое внимание формированию этих учебных действий.

   Так более ста лет тому назад  для развития сообразительности инженеров им предлагались особые задания:

1). Рассмотреть рисунок машины, на котором удалена часть деталей. Нарисовать эскизы удаленных деталей.

2). Рабочие части механизма отпечатаны на бумаге, дан неполный комплект таких частей. Восстановить весь механизм.

     Очевидно, что изобретателю, чтобы выполнить такие задания, необходимо установить связи между частями механизма, в том числе и с отсутствующими, и между частью и самим механизмом.

     Аналогичные ситуации может создать учитель в обучении школьников математике. К примеру, разбивая объект на части, включая объект в другой объект ученики, так или иначе соотносят полученные объекты между собой или с исходными. При этом ученик, разбивая объект, стремиться, чтобы его части оказались как – то связаны: например, находились в определенном отношении, имели общее свойство, обладали какой–либо сходной особенностью и т.д. Например, ученик вырезает из картона треугольник, проводит в нем медиану и разрезает его по этой линии. Другому ученику надо найти связь между данными двумя треугольниками (равенство площадей) и обосновать их равновеликость.

     Особый случай этого подхода состоит в том, чтобы ученики получили часть данного математического объекта, которая обладает тем же свойством, что и сам объект. Иными словами, «внутри» объекта существует объект той же структуры.

Например, рассмотрим сумму:  S = 1 + 2 + 4 + 8 + … +  = 1 + (1 +  +  +…+ ) = 1 + 2( S - )

S = 1 + 2S -

S =  - 1

После этого примера ученикам уже легко выйти на идею частных сумм:

; + ;  +  + ;   . . . +  +  + . . . +

Они запоминают этот подход и впоследствии уже самостоятельно находят решение задач с помощью этой идеи.

Задача: существует ли такое натуральное число, что число 1111…11 ( п единиц)  делится на 2007?

    Формирование составление целого из частей можно продемонстрировать на такой задаче – шутке: летом на полянке лежат два уголька, морковка, шарф  и старое ведро. Как вы это объясните?

   Для ответа на данный вопрос надо объединить данные объекты в одно целое. Тогда и возникает догадка: это снеговик растаял.

Объединение объектов часто дает новое качество. Например:

1). Соединение нескольких листов стекла придает новому объекту особую прочность.

2). В 1609 году дети одного мастера по изготовлению очков играли в линзы. Поставив, случайно две линзы друг против друга, они обнаружили, что получилось увеличенное изображение предмета. Это свойство было положено в основу телескопа.

3). Берем нож, удваиваем его , соединяя их лезвия, и получаем . . . ножницы.

    Аналогично и в математике: объединение нескольких объектов дает полученному объекту новые свойства. На этом основаны и группировка алгебраических выражений, и переконструирование геометрических фигур.

СЛАЙД :  Удвоив прямоугольный треугольник, ученики получают еще одно доказательство теоремы Пифагора.

СЛАЙД: Известно, что треугольники с равными сторонами и равными высотами, равновелики. Удвоим треугольники.  =

Что отсюда можно извлечь? Мы получили простой способ разбиения выпуклого четырехугольника на равновеликие части, а значит и пирамиды, если этот четырехугольник мыслить ее основанием.

СЛАЙД: Идею удвоения полезно перенести и в другую область, где о ней догадаться сложнее.

Пусть дан трехчлен  - 6х + 9, удвоим его, т.е. запишем рядом с ним еще такой же трехчлен: - 6х + 9) + - 6х + 9) .

Скроем второе слагаемое, сохранив его структуру, например, умножив каждый его член на  :  - 6х + 9) + - 6х + 9) .

Раскроем скобки, получим многочлен, который можем разложить на множители способом группировки. После этого формулируем задачу:

 - 6 + 9- + 6х – 9 ≤ 0

Таким образом, объединение нескольких математических объектов одной природы часто позволяет ученику сдвинуть мысль с мертвой точки, выйти на новое свойство или идею.

Следующим логическим действием является умение устанавливать причинно – следственные связи, представлять цепочку объектов и явлений.

В математике формулы тригонометрии дают богатую базу для получения полезных следствий. Поэтому уже при доказательстве этих формул ставятся аспекты на приемах получения новых формул. Рассмотрим некоторые из таких приемов.

СЛАЙД: Рассмотрение частных случаев

Cos(a + b) = cosa cosb – sina sinb

Замена в = а , то cos2a = a - a  

Замена в =  (любое табличное значение), то cos(a + ) = cosa cos – sina sin = = (cosa - sina)  

Выходим на идею вспомогательного угла

 cosa + cosb= 2coscos

Замена в = 3а, получаем равенство  cosa + cos3a = 2cos2a cosa, откуда сразу же следует формула косинуса тройного угла.

СЛАЙД: Рассмотрение общих случаев

сos(a + b) = cosa cosb – sina sinb

1). Заменив тригонометрические функции в формуле буквами a, b, c, d, получаем, что |ab – cd|1, если |a|1,  |b|  |c|1, |d|1. В результате  ученики выходят на идею тригонометрической подстановки ( которую целесообразно использовать при доказательстве данного неравенства).

2). Если в данной формуле сделать только две замены:  cosa = x.  sinb = y, тогда получаем задачу: Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения  x - y.

Здесь даже не пришлось указывать, что |х|1,  |у|, ибо оно следует из условия задачи.

Сам факт замены тригонометрических функций буквами подсказывает перспективный методический прием. В каком-либо тригонометрическом тождестве ученик делает подобные замены и полученные равенства предлагает одноклассникам для угадывания формул.

Например:   +  = 1

                      = 1 + 2ав

                      = (1 - а)(1 + а)

                     (а + в - 1)(а + в + 1) = 2ав

                     в =

Им нужно вместо букв а и в  записать такие тригонометрические функции, чтобы получились тождества. Эта тренировка позволяет школьникам научиться видеть структура формул (причем не только тригонометрических).

СЛАЙД: Соотнесение формул

Например, соотнося  cos2a = a - a  и тригонометрическую единицу a + a = 1 , ученики получают сразу несколько полезных фактов:

1).  Эти равенства можно почленно сложить и вычесть, получая формулы понижения степени

2). Если равенства почленно перемножить или разделить, то получим тождества    =  =

                  cos2a*1 =  (a + a )a - a ) =  -

Замечаем, что если бы вместо cos2a мы взяли cosa, то получили бы однородное выражение третьей степени. При этом важно отметить, что любой момент такой работы дает импульс к новым находкам и учащихся, и учителя.

Т.о. за короткое время ученики выходят на значительное количество фактов, идей и приемов.

Наконец, изученный материал требует обобщения. Такими уроками заканчивается изучение больших тем учебного материала, проводится итоговое повторение при подготовке к ЕГЭ и ГИА.

Обобщение метода решения задач можно проследить на примере урока геометрии.

Слайд:  Задача 1.  В трапеции, основания которой а и в, проведена через точку пересечения диагоналей прямая, параллельная основаниям. Найти длину отрезка этой прямой, отсекаемого от нее боковыми сторонами.

Задачи на доказательство:

Задача 2.  Докажите, что в трапеции отрезок прямой, параллельной основаниям, которому принадлежит точка пересечения диагоналей и концы которого находятся на боковых сторонах трапеции, делится в этой точке пополам.

СЛАЙД: изменим рисунок, продолжив боковые стороны до пересечения в точке Е и проведем прямую ОЕ, которая пересекает основания в точках F и Н.

Задача 3.  Докажите, что в произвольной трапеции середины оснований, точка пересечения боковых сторон и пересечения диагоналей лежат на одной прямой.

Решение следует из предыдущей задачи, т.к. ЕН – медиана в треугольниках ЕВС, EMN, ЕАД.

Задачи на построение:

Задача 4.  На каждой из двух параллельных прямых расположены по одному отрезку длиной а и в. С помощью одной линейки построить отрезок

 x =

СЛАЙД:

И, наконец, наша задача связана с неравенствами: отрезок MN является геометрической интерпретацией среднего гармонического чисел а и в (здесь они основания трапеции).

MN - среднего геометрического чисел а и в, который изображается отрезком, параллельным основаниям и располагается так, что трапеции ВС и АД подобны.

MN - средняя линия трапеции – он является интерпретацией среднего арифметического чисел а и в.

MN – среднего квадратичного двух чисел а и в – отрезка, разбивающего трапецию на две равновеликие части и параллельного основаниям, т.е.