Методическая разработка темы "Пропорция" 6 класс
методическая разработка по алгебре (6 класс) на тему

МАТЕМАТИКА  ПСИХОЛОГИЯ  ИНТЕЛЛЕКТ

Методическая  разработка  темы  «Пропорция»

6 класс

Объем темы :      5 уроков, проверочная работа.

Учитель               Волкова  Виктория  Александровна

Урок 1.   Tема :  Что называют пропорцией. Какие задачи решают с помощью пропорций.

Цель урока :

Продолжив разговор об отношениях, ввести понятие «пропорция» :  дать определение, выяснить, что означает  это слово, как записать, как читать пропорции, как называются элементы пропорции. Сформулировать свойства пропорции.

План урока:      

1. Проверка домашнего задания

2. Введение нового понятия по главе 20 учебника

3. Закрепление изученного материала по специальным заданиям главы 20.

4. Домашнее задание.

5. Подведение итогов урока.

ХОД    УРОКА

-  Проверяем домашнее  задание. Что получилось?  В чем были проблемы? Как сними справиться?

- Продолжим разговор об отношениях  дальше.

а)    Что же в математике называют отношением?  Еще раз вернемся к грамотке в которой собраны все признаки этого понятия (стр. 82 глава 18 )

И так, мы умеем изображать, читать, записывать математические отношения. Знаем ,где они нужны.  Поэтому вам будет не трудно выполнить задание 1 из главы 20 :  « Прокомментируйте , используя понятие «отношение» рисунки.»

Что изображено? Что можно сказать о высоте, ширине елочек? Как соотносятся их размеры?

Говорят , что елочки похожи, пропорциональны. Новое слово. Слышали вы его? Где?

б)  Теперь выполним  Задание 2  из главы : « На фотографии изображен мальчик ростом 115 см. , стоящий возле здания. Чему равна высота здания , если отношение между размерами объектов на фотографии соответствует отношению этих размеров в действительности?»

*  Как вы думаете, достаточно ли данных, чтобы найти высоту здания?

*  Какие отношения можно составить, используя данную фотографию? Какие связи между этими отношениями определены условием задачи?

*  Составьте краткую запись, характеризующую эту ситуацию.

*   Сравните свою краткую запись с расположенной  на стр. 85 ,заполните в ней пропуски.

в)   Работаем далее.   Прослушайте следующую задачу : « В греческом городе стоял храм, имевший 30 шагов в ширину и 80 шагов в длину. Горожане  захотели построить новый храм, но больших размеров- такой, чтобы в длину он имел 120 шагов. Какой должна быть ширина храма, чтобы форма его основания осталась прежней?»

*  Как вы думаете, какие величины или их отношения определяют форму основания?

*  Опишите данную ситуацию в форме краткой записи.

*  Предложите способ поиска ширины храма.

А теперь сравним наши рассуждения с приведенными на стр. 85.

Таким образом, во всех рассмотренных ситуациях пришлось иметь дело с разными отношениями. Если имеются два отношения а: в и с: d, то, вообще говоря, эти два отношения могут быть не равными друг другу. Но если окажется, что они равны :

                                           а : в = с : d ,

то такое равенство будем называть ПРОПОРЦИЕЙ.

Древние греки называли пропорцию  аналогией.

Далее опять обратимся к тексту  главы 20 и узнаем еще много интересного из истории этого слова.

Ну а теперь пришло время подвести итог работы над новым понятием. Ответим на вопрос: « Что полезно знать о пропорциях?» (учитель на доске выписывает предложения детей )

И так, в нашей грамотке должно быть отражено следующие :

* определение пропорции

* как обозначить ( записать)

* особые сведения ( учитель говорит о крайних и средних членах пропорции)

* как прочитать ( учитель просит записать каждому пропорцию и прочитать ее , далее показывает три способа прочтения пропорции)

А теперь сравним  с тем, что полезно знать о пропорциях  в учебнике на стр. 86.

Мы видим  что жизненные ситуации учат нас составлять и разрешать пропорции . Сегодня мы с ними только познакомились с этим понятием и текстовые задачи пока решать не будем, а потренируемся  в составлении и чтении пропорций . Для чего выполним задание №4 из главы 20

«Из чисел 2, 8, 12, 4, 24 составь разные отношения. Найди среди них равные отношения. Запиши получившиеся пропорции и найди произведения их средних и крайних членов. Что ты заметил? Проверь свои выводы на следующих пропорциях:

1)1:3 = 18;        3)0,1:0,5 = 2:10;

2)2:9 = 4=18;        4)8:6 = 1/3 : 1/4.

* Попытайся сформулировать полученные результаты для пропорции

       а/в = с/d »

Что получилось?

А получилась очень важная закономерность , которую называют основным свойством пропорции .

СВОЙСТВО ПРОПОРЦИИ

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов, то есть

если a/b =c/d, то ad=cb

Верно и обратное утверждение:

если а, Ь, с, d не равные нулю числа и а • d = b • c,то a/b=c/d.

Итак, для пропорции выполняется равенство ad = bс.

Вернемся к задаче о храме . Получилось уравнение 8/3=120/x. Примените к нему основное свойство . Получилось линейное уравнение , которое легко разрешимо. Найдите x.

* Ещё один вывод : Если по известным членам пропорции можно найти её неизвестные члены, то говорят, что можно решить пропорцию .

* Можно ли было составить другие пропорции в этой задаче?

Подведем итоги урока

• что нового узнали ?
• что полезного для себя ?
• что поможет составить полный рассказ о новом понятии?

Дома тренируемся читать , составлять пропорции , определять основные  элементы пропорций и читаем главу 20 , в ней задание №5 ;  №259 , №262 , №263 , №265 .

УРОК 2     Тема  :  Пропорции

ЦЕЛЬ  УРОКА :

1. Отработка с помощью упражнений из практикума основных признаков понятия «пропорция»

2. Рассмотреть на примере № 268 свойства пропорции.

ПЛАН УРОКА:  

 1. Проверка домашнего задания.

 2. Актуализация знаний. Работа по плану с понятием   « пропорция»

 3   Рассмотрение свойств пропорций.

 4.  Домашнее задание.

 5.   Итоги урока.

                                           ХОД УРОКА

-  В задании № 263 необходимо было составить пропорции по данным условиям. Что у вас получилось?          №259 – это своеобразный математический диктант. Как справились?

- На прошлом уроке мы познакомились с новым понятием «пропорция» Вернем к грамотке на стр. 85. Будем работать с этим понятием по плану

УЧИМСЯ                 - читать

                                  - составлять

                                  - называть правильно все элементы                     ПРОПОРЦИИ

                                  - распознавать

                                  - решать

Для этого выполним  № 264,    № 267  ( фронтально у доски )

-   И так, мы хорошо поработали над основными признаками понятия. Но может, есть еще, что полезно знать о пропорции?     В практикуме есть интересное задание №  268

Дана пропорция             16 : 8 = 130 : 65.

Выясните, получится ли вновь пропорция, если:

а)        поменять местами средние члены данной пропорции;

б)        поменять местами крайние члены этой пропорции;

в)        переставить одновременно крайние и средние члены
данной пропорции;

г)        увеличить в три раза оба члена отношения, находящиеся в левой части данного равенства;

д)        уменьшить в пять раз оба члена отношения, записанного в правой части данного равенства;

е)        увеличить в два раза предыдущие члены обоих отношений;

ж)        уменьшить в четыре раза последующие члены обоих
отношений пропорции;

з)        увеличить в полтора раза первый крайний и второй средний члены пропорции;

и)         увеличить все члены пропорции в три раза.

( ученики по цепочке выполняют задание у доски )

* Сформулируйте полученные результаты для пропорции

                                                         а / в =с/d

Вывод :   Если в верной пропорции поменять местами крайние и средние члены, умножить или разделить на одно и тоже число соответствующие крайние, средние члены или члены отношений, то пропорция останется верной.

- Подведем итоги урока. * О чем шла речь на уроке?

                                           * Какие полезные навыки приобрели?

* Как вы думаете, какие задания из практикума вы получите на дом?

Домашнее задание № 266, № 271.

А   № 272 задание-« разговорник». С разборки этой задачи начнем следующий урок.

УРОК  3         Тема :   Решение текстовых задач с помощью пропорций.

ЦЕЛЬ УРОКА :

1. Продолжать формировать умения  решать уравнения, записанные в виде пропорций.

2.Научить применять пропорции для решения определенного вида текстовых задач  ( оформлять условие задачи специальной таблицей;  на примере задачи № 272  рассмотреть несколько способов решения и оформления задачи)

ПЛАН УРОКА :    

1. Актуализация знаний с помощью проверки домашней задачи №272.

2. Решение текстовых задач с помощью пропорции по известному плану работы над задачей.

3. Подведение итогов урока.

                                          ХОД УРОКА

-  Дома вам была предложена  задача о яхте. Нужно было решить ее и сравнить свое решение с предложенными решениями авторами учебника.

* Все ли справились ?

* Кто решал по действиям?

* Кто решал с помощью уравнения?

* В какой форме вы записали условие задачи?

(ученик у доски делает краткую запись с помощью таблицы; далее обсуждаются все другие варианты краткой записи , предложенные детьми )

• ** Какие отношения можно было составить по этой задаче?
• ** Что показывают  эти отношения?
• ** Как они соотносятся?

* Можно ли было для решения задачи составить такую пропорцию : 800 / 1200 = 40 / x.

Если да , то обоснуйте эту пропорцию.

_ Из всего вышесказанного можно сделать следующий вывод :

Если в процессе поиска решения установили, что задача может быть решена с помощью пропорции, то вопросы * *   являются главными вопросами, которые необходимо себе задавать, решая задачу.(Все вопросы * *  учитель записывает на доске)

А теперь решим задачи  №274, №275.

№274

«Чтобы получить голубую краску, маляр смешал 6л синей и 14л белой краски. Сколько синей краски нужно добавить к 35 л белой краски, чтобы получить голубую краску  такого же оттенка?»

№275.

«Из 24 кг молока получается 3 кг сливок, из 20 кг сливок — 4 кг сливочного масла, а из 12 кг сливочного масла — 9 кг.  топленого масла. Сколько килограммов топленого масла можно получить из 2400 кг молока?»

У нас есть план работы с любой задачей. Этот план на этапе поиска решения дополним важными вопросами **  для задач на пропорцию. И дальше работаем с задачей как обычно.

- Подведем итоги урока.     Скажите, справились ли вы с двумя последними  задачами, если бы вас на уроке не было , а вы пользовались бы только материалами главы 20 и № 272 ?

- Домашнее задание :  задачи №273   №276     Задание №278  (составить и решить свою задачу) выполнить на отдельном листе.

УРОК 4       Тема :     Решение текстовых задач с помощью пропорции.

ЦЕЛЬ УРОКА :      

1. Проверить умения  и навыки учащихся  составлять и решать пропорции в форме математического диктанта.

2. Продолжить работу с задачами на пропорцию и рассмотреть задачи с прямо и обратно пропорциональными зависимостями на примере задания из практикума №280.

ПЛАН  УРОКА :      

1. Актуализация знаний.

2. Математический диктант  (10 минут )

3. Решение задач на прямо и обратно пропорциональные зависимости  ( № 280)

4. Подведение итогов урока.

                            ХОД УРОКА

На прошлом уроке мы решали текстовые задачи на пропорции , используя известный план работы над задачей . Дома вы продолжили эту работу и в завершении должны были составить свои задачи .

Обменяйтесь условием задач с соседом по парте . Дома надо решить эту задачу и отдать на проверку автору .

Проведём математический диктант , целью которого является проверка умений составлять , распознавать и решать пропорции.

Рассмотрим разновидности задач на пропорции, выполним задание №280

План работы с этим заданием.

1 Прочтите все 8 задач .

2 Составьте краткие записи условия  каждой задачи.

1. Какой путь проедет поезд за 2 ч 40 мин, если, двигаясь с постоянной скоростью, он проезжает 240 км за1 ч 20 мин?
2. Стоимость подписной цены на газету за 2 месяца —32 р., а за 6 месяцев — 96 р. Найдите стоимость подписки за год.
3. Для варки варенья из жимолости на 5 кг ягод берут 7,5 кг сахара. Сколько килограммов сахара потребуется  на 7 кг ягод?

61099816. Дюжина тюльпанов стоит 360 рублей. Сколько нужно заплатить за 15 тюльпанов?
61099817. Некто получил за работу, выполненную им за 6 ч, 600 р. Сколько он получит за сорокачасовую рабочую неделю?
61099818. Поезд, скорость которого 60 км/ч, затратил на некоторый отрезок пути 3,5 ч. За сколько часов проедет этот же путь поезд, скорость которого 70 км/ч?
61099819. Оркестр, состоящий из 120 музыкантов, играет симфонию в течение 40 мин. Сколько минут будут играть эту же симфонию 40 музыкантов?
61099820. На 60 р. некто решил купить несколько бутылок минеральной воды. Как зависит количество бутылок, которое он сможет купить, от цены одной бутылки минеральной воды?

Назовите величины, которые встречаются в каждой из приведенных выше задач

Попытайтесь описать зависимость между ними, используя выражения:

Чем больше ..., тем больше

Чем больше ..., тем меньше

Чем меньше ..., тем больше

Чем меньше..., тем меньше

Что у вас получилось?

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

Решите сформулированные задачи, составляя пропорции, и укажите, о каких величинах — прямо пропорциональных или обратно пропорциональных — идет речь в этих задачах.

Подведем итоги урока .  Что нового, что полезного узнали ?

Домашнее задание :

Задача  №281

Предлагаем вам составить несколько задач на использование прямо пропорциональных и обратно пропорциональных величин.

УРОК  5      Тема :   Проверочная работа  по теме «Пропорции»

ЦЕЛЬ УРОКА :    

Проверить умения и навыки учащихся применять пропорции при решении различных задач.

ПЛАН УРОКА :  

1. Анализ результатов математического диктанта.

2. Смотр задач, составленных учащимися, на использование прямо пропорциональных и обратно пропорциональных величин.

3. Тест  ( 20 минут ).

4. Подведение итогов.

                               ХОД    УРОКА

*Разбираем ошибки, допущенные учащимися на математическом диктанте.

*  Смотр задач .           На перемене учащиеся вывесили на доску составленные ими задачи. На уроке идет обсуждение :   - какая задача понравилась, почему?

                                                                - самая интересная задача

                                                                 - лучшее оформление

                                                                 - самая трудная задача

В итоге дети выбирают себе задачу для решения на дом.

* ТЕСТ

*  Подведение итогов.

ТЕСТ            « ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ»

                                 1 Вариант

1.  Найдите отношение длин отрезков РК и АС

         1)  5/9   2) 9 : 4 3)  4/9 4 )  9 : 5

2.  Найдите отношение 7 г к 2 кг

   1) 7: 2000  2) 7: 2   3) 7/200  4) 2000 : 7

3.  Реши пропорцию        12 : 5 = 20 : x

   1) 5/6    2)  6/5  3)  48   4 ) 1/48

4.  На  24 м. забора израсходовали 9 кг.  краски.  Сколько краски израсходуют на 28 м. этого забора?

        1) 5 1/7 кг     2) 10,5 кг    3)  21кг     4) 6 кг

5.  Девять рабочих могут выполнить задание за 8 дней. Сколько рабочих надо пригласить еще , чтобы все вместе они выполнили задание за 6 дней.

       1) 3 чел.       2)   12 чел.   3) 6 чел.      4)  8 чел.

6.  В гараже число исправных машин относится к числу неисправных машин как 13 : 2. Найдите отношение числа исправных машин к числу всех машин в гараже.

       1) 13:2        2) 13: 15        3) 2 : 13        4) 2 : 15

                        2 Вариант

1. Найдите     отношение     длин     отрезков     AD     и     ВМ.

      1)  11 : 7    2) 7/11   3) 11:8    4) 7/6

2. Найдите отношение 7 см к  Зм.

      1)  7 :  3   2) 7 : 300   3) 300 : 7    4) 7/3000

3. Реши пропорцию        7/6 =35/x  

      1) 40 5/6    2) 30   3) 40    4) 1/30

4. На  24м. забора израсходовали 7 кг. краски. Сколько краски израсходуют  на 36 м. этого забора ?

      1) 4 2/3 кг.  2) 2/21 кг.     3) 12 кг.    4)  10,5 кг.

5. Восемь рабочих могут выполнить задание за 6 дней .  Сколько рабочих надо пригласить еще, чтобы все вместе они выполнили это задание за 4 дня?

      1) 12 чел.     2)  4 чел.    3) 5 чел.   4) 6 чел.

6. Бревно распилили на 2 части, длины которых относятся как 7 : 4. Найдите отношение длины большей части бревна к длине всего бревна.

      1) 7:4       2) 4:7       3) 4: 11      4) 7: 11

Этапы решения задач.

1)        Анализ условия задачи и его схематическая запись.

2)        Поиск способа решения задачи .

3)        Оформление решения задачи.

4)        Проверка решения и запись ответа.

5)        Исследование задачи.

Вопросы, которые задаются на этапе анализа задачи

1)        О чем речь в задаче?

2)        Что происходит по условию задачи ?

3)        Какие части можно выделить в задаче ?

4)        Какие величины характеризуют движение?

5)        Что известно по условию задачи?

6)        Что требуется найти?

7)        Есть ли связь между основными характеристиками?