Площадь криволинейной трапеции
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

Негосударственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

 «Московский институт современного академического образования»

Федеральный институт повышения квалификации и переподготовки

Факультет дополнительного профессионального образования

КОНСПЕКТ  УРОКА

Тема: Площадь криволинейной трапеции

Предмет: алгебра и начала анализа

Класс: 11

Выполнил:

Слушатель факультета ДПО

Годунова Н.В.

учитель математики

г. Москва, 2016 г.

Конспект урока

Тема: «Площадь криволинейной трапеции»

Цели:

1. Воспитательные:

1. воспитание положительного отношения к знаниям;
2. воспитание дисциплинированности;
3. воспитание эстетических взглядов.

2. Развивающие:

1. развитие психических качеств учащихся: мышления, умений применять полученные знания на практике;
2. развитие познавательных умений (выделять главное, вести конспект);
3. развитие общетрудовых и политехнических умений;
4. развитие умений учебного труда (читать, писать);
5. развитие воли, самостоятельности).

3. Образовательные:

1. закрепить навыки нахождения определенного интеграла;
2. добиться усвоения учащимися понятия «криволинейная трапеция»;
3. обеспечить усвоение учащимися различных способов нахождения площади криволинейной трапеции;
4. отработать навыки нахождения площади криволинейной трапеции.

Тип: комбинированный

Оборудование: Компьютер, проектор, карточки-задания.

Демонстрационный материал: презентация PowerPoint.

План урока

ХОД УРОКА:

I. Самоопределение к деятельности

Здравствуйте, садитесь. Дежурный, кто сегодня отсутствует?

Тема нашего урока «Площадь криволинейной трапеции».

Вы знакомы с понятием «определенный интеграл» и научились его вычислять.

Сегодня мы сформулируем понятие «криволинейная трапеция» и научимся вычислять ее площадь с помощью определенного интеграла.

II. Проверка домашнего задания

На дом было задание:

Вычислить: ( слайд 3)

III. Актуализация опорных знаний

Вспомним материал предыдущих уроков по теме «Первообразная. Определенный  интеграл».

Контроль будет осуществляться с помощью тестирования с последующей взаимопроверкой. (слайд 4 ,5) Оценка «5» ставится за 10 правильных ответов, «4» - за 8-9 правильных ответов,  «3» -  за 6-7 правильных ответа.

Для прохождения тестирования выбираю 5-7 человек

Таблица правильных ответов на тест  (слайд 6)

Тест  

Первообразная. Определенный  интеграл

А1. Выберите первообразную для функции  .

  1)         2)      3)        4)  

А2. Какая из данных функций не является первообразной для функции   ?

  1)    2)    3)    4) 

А3. Найдите общий вид первообразных для функции   .

  1)                                    2)                        3)                              4)  

А4. Вычислите интеграл   .              1)                2)             3)                      4)  

А5. Вычислите интеграл   .                  1)                2)            3)                      4)  

А6. Вычислите интеграл   .                 1)                 2)           3)                       4)  

А7. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями  .                        

  1)                                   2)                              3)                                   4) 

А8. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 1.

  1)              2)                  3)                    4)                   Рис. 1             

А9. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 2.

 1)              2)                  3)                    4)                  

                                                                                                                  Рис. 2             

А10. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 3.

 1)              2)                  3)                    4)                  

                                                                                                                  Рис. 3             

Пока ребята отвечают на вопросы теста,  мы ответим на вопросы у доски.

Найти первообразную (слайд 7):

IV. «Открытие» новых знаний

1) Итак, определенный интеграл – это площадь фигуры, ограниченной графиком положительной функции f(х), осью абсцисс и прямыми х=а, х=в. Такая фигура называется криволинейной трапецией.

Сегодня мы узнаем, что такое криволинейная трапеция и рассмотрим различные способы нахождения ее площади с помощью определенного интеграла.

Запишите в тетрадях тему урока: «Площадь криволинейной трапеции» (слайд 8).

2) Что же такое криволинейная трапеция?

Пусть на отрезке [a; b] оси абсцисс определена функция у=f(х)>0. Фигура, ограниченная графиком этой функции, отрезком [a; b] и прямыми х=а, х=b называется криволинейной трапецией (слайд 9). В тетрадях сделайте чертеж и запишите определение.

 Какие из фигур являются криволинейными трапециями: (слайд 10)

3) Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, площадь криволинейной трапеции равна:  (слайд 11), где пределы интегрирования – это отрезок [a; b] оси абсцисс, на котором мы рассматриваем трапецию, а подинтегральная функция – та, график которой ограничивает трапецию сверху.

4) Рассмотрим следующие фигуры.

а)  (слайд 12)  Фигура ограничена графиком функции у = f(x), отрезком [a, в] и прямыми х = а, х = в.  Заштрихуйте  фигуру, ограниченную этими линиями.

Как можно определить площадь этой фигуры? (Проинтегрировать функцию  у = f(x) на отрезке [a, в]). 

Но эта фигура находится «ниже» оси Ох и вычисляя интеграл мы получим отрицательное значение, чего не может быть при вычислении площади.

Следовательно, площадь равна: (прописать).

Запишите в тетрадях правило нахождения площади рассмотренной фигуры. (слайд 13)

б) (слайд 14). Покажите криволинейную трапецию, ограниченную графиками функций g(x) и f(x).

На каком отрезке рассматривается данная фигура?

Как найти концы этого отрезка? (Концы отрезка – это точки пересечения графиков. Чтобы найти абсциссы этих точек функции надо приравнять).

А как вычислить площадь этой фигуры? (Эта фигура является разностью фигур с площадями  S1 и S2). 

Следовательно, S=S1–S2 (прописать).

Запишите в тетрадях правило нахождения площади рассмотренной фигуры. (слайд 15)

в) (слайд 16). Заштрихуйте фигуру, ограниченную графиками функций g(x) и f(x) и осью абсцисс.

В чем особенность  этой фигуры? (Она состоит из двух частей, одна сверху ограничена графиком функции f(x) и рассматривается на отрезке [а,0], другая – графиком g(x) на отрезке[0, в]).

Следовательно, S=S1+S2 (прописать).

г) Заштрихуем фигуру, ограниченную графиком функции   f(x).  Эта фигура состоит из 4-х одинаковых фигур. Если проинтегрировать функцию у=f(x) на отрезке [0; A] и умножить на 4, то получим искомую площадь.

Следовательно, S = 4S1 (прописать).

Запишите в тетрадях правило нахождения площади рассмотренных фигур. (слайд 17)

Назовите формулу для вычисления площади изображенных фигур (слайд 18), кроме  S4  . К этой фигуре мы вернемся чуть позже

. Докажите, что площади криволинейных трапеций, заштрихованных на рисунке равны (слайд 19)

V.  Применение знаний, формирование умений

Решение разноуровневых задач.

Задача 1. – базовый уровень (оценка «3»)

Задача 2. – средний уровень (оценка «4»)

Задача 3. – высокий  уровень (оценка «5»)

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

Задача 1.  y = x 2    y = 0  x – 0  x = 2

Задача 2.  y =  sin x   y = 0   x = π   x = - π\2

Задача 3.  y = x 2   -1   y = 2x + 2

 VI. Самостоятельная работа

Работа в тетрадях. Ответы (краткие) сдать на листочках.

1. На каком рисунке изображена фигура, не являющаяся криволинейной трапецией?

2. С помощью формулы Ньютона-Лейбница вычисляют:

А. Первообразную функции;                  Б. Площадь криволинейной трапеции;                  В. Интеграл;                  Г. Производную.

3. Найдите площадь заштрихованной фигуры:

А. 0;                 Б. –2;                В. 1;                 Г. 2.

4. Найдите площадь фигуры ограниченной осью Ох и параболой у = 9 – х2

А. 18;                 Б. 36;                  В. 72;                  Г. Нельзя вычислить.

5. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = sin x, прямыми х = 0, х = 2 и осью абсцисс.

А. 0;     Б. 2;      В. 4;     Г. Нельзя вычислить.

Ответы: 1. Б;Г       2. Б,В;        3. Г        4. Б;         5. В.

VI. Подведение итогов урока, домашнее задание 

Собрать выполненные самостоятельные работы.

Кто выполнял задание на «5», кто – на «4», кто – на «3»? Оценки  за самостоятельную работу вы узнаете на следующем уроке, а сегодня на уроке получили оценки:

а) тест –

б) за ответ у доски –

Д/З:  № 49.15(а)   49.11(б) 49.23(а)  

Дополнительное задание: 

Найти в Интернет примеры практического применения вычисления площади криволинейной трапеции.