Урок изучения нового «Формула разности квадратов» (7 класс)
план-конспект занятия по алгебре (7 класс) по теме

Деятельность учителя

Деятельность учеников

Мотивационно – ориентировочный этап

Актуализация:

Идёт фронтальная устная работа, учитель ведёт беседу с учениками.

 - Возведите в квадрат:

1) 0,2m

2) 5y3

3) (2/7)xy2

 Решение:

1) 0,04m2

2) 25y6

3) (4/49) x2y4

- Представьте в виде квадрата одночлена:

1) 9b2

2) 0,16m10

3) (16/25)x4y6.

Решение:

1)(3b)2

2)(0,4m5)2

3) (4/5 x2y3)2

Прочитайте выражения

1)  а - в

2) х + 13у

3) (а – 10в)(а+10в)

4) а2 - (10в) 2

 Ответы:

1)разность чисел а и в

2)сумма чисел х и 13у

3)произведение разности чисел а и 10в на сумму этих чисел.

4)Разность квадрата первого числа а и квадрата второго числа 10в

Мотивация: 

- Разложите многочлен на множители устно:

1) 41х·у2+82х2·у

 - Сформулируйте правило.

2) 5а2 – 5ах – 7а +7х

- Сформулируйте правило

3) а2 – в2

Возникает проблемная ситуация

Выполните умножение: (а-b)(a+b)

- Что получаем?

 - Сегодня мы «открыли» новый способ разложения на множители и новую формулу. Эта формула называется формулой разности квадратов двух чисел

Решение:

1)Вынесем общий множитель за скобку: 41ху(у+2х)

 - Чтобы разложить многочлен на множители способом вынесением общего множителя за скобки  нужно:

Найти этот общий множитель, и вынести его за скобку

Воспользуемся способом группировки

  5а2 – 5ах – 7а +7х = (5а2 – 5ах) –( 7а -7х)=

= 5а(а-х)-7(а-х) = (а-х)(5а-7)

 - Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки нужно объединить члены многочлена в такие группы, которые имеют общий множитель в виде многочлена, и вынести этот общий множитель за скобки

Учащиеся думают, что нельзя разложить на множители

(а-b)(a+b)= а2 +ав - ав –в2 = а2 – в2 

 - Получили, что (а-b)(a+b)= а2 – в2

Учебная задача урока: целью нашего урока будет: учится пользоваться этой формулой для разложения многочлена на множители и решения других задач.

Деятельность учителя

Деятельность учеников

Содержательный этап

Итак, мы умножили  сумму двух чисел на их разность и получили: (a+b)(a-b)  = a2-b2.

Полученную формулу: (a+b)(a-b) = a2-b2 или a2-b2 = (a+b)(a-b) называют формулой разности квадратов  и читается она так:

1) Произведение разности и суммы двух чисел равно разности квадратов этих чисел.

Т.к. с помощью этой формулы можно в дальнейшем быстро умножать сумму и разность двух чисел, то она относиться к формулам сокращённого умножения.

2)Разность квадратов двух чисел равна произведению разности  и суммы этих чисел.

Рассмотрим, какие примеры решаются на основе данной формулы:

№ 1. Разложите многочлен на множители:

А) 4b4 – c2 

 1.Cначала представим 4b4  и  c2 в виде квадратов одночленов: (2b2)2 и (c)2

2. Подставим (2b2)2 и (c)2 в 4b4 – c2, получим :

4b4 – c2 = (2b2)2 – (c)2

3. Воспользуемся формулой разности квадратов:

(2b2)2 – (c)2 = (2b2 – c) (2b2 + c)

Проанализируем решённый пример. Какое правило разложения двучлена на множители можно сформулировать на основе данной формулы?

Б) а2 – с3   

- прочитайте полученное выражение?

Чтобы разложить двучлен на множители на основе формулы разности квадратов, нужно выделить квадрат первого числа, квадрат второго числа, проверить стоит ли между ними знак «-» и воспользоваться формулой.

Не можем разложить на множители  с помощью формулы разности квадратов.

352.

1) 25х2 – 9

3) 64у2 – 36х2

Решение:

1) 25х2 – 9 = (5х)2 – 32 = (5х-3)(5х – 3)

3) 64у2 – 36х2 = (8у)2 – (6х)2 =

= (8у-6х)(8у+6х).

353.

1) (1/9) у2-(16/25)х2

-Прочитайте запись?

3) 0,25а2 – 0,49 в2 

Решение:

1) (1/9) у2-(16/25)х2 = ((1/3)у)2 – ((4/5)х)2 =

= ((1/3)у –(4/5)х) ((1/3)у +(4/5)х)

3) 0,25а2 – 0,49 в2 = (0,5а)2 – (0,7в)2 =

= (0,5а-0,7в)(0,5а+0,7в)

354.

1) 36х2у2 – 1

3) х2у4 – 16

Решение:

1) 36х2у2 – 1 = (6ху)2 – 1 = (6ху-1)(6ху+1)

3) х2у4 – 16 = (ху2)2 – 42 = (ху2 – 4)(ху2 +4)

355.

1) а4 – в4

3) а4 – в 8

Решение:

1) а4 – в4 = (а2)2 – (в2)2 = (а2 –в2)(а2+в2)

3) а4 – в 8 = (а2)2 – (в4)2 = (а2 – в4)(а2+в4)

356.Выполнить умножение

1) (2в+а)(2в – а)

Почему воспользовались формулой разности квадратов?

3) (у+6х)(6х-у)

Решение:

1) (2в+а)(2в – а) = (2в)2 – а2=4в2 – а2

-Перед нами произведение суммы чисел 2в и а на их разность.

3) (у+6х)(6х-у) = (6х)2 – у2=36х2 – у2

357.

1) (с2+d2)(c2-d2)

3)(x4 – y3)(y3+x4)

Решение:

1) (с2+d2)(c2-d2) = ((c2)2-(d2)2) = c4 – d4

3) (x4 – y3)(y3+x4) = (x4)2 – (y3)2=

= x8 – y6

358.

1)(3а2+4в3)(3а2-4в3)

3)(0,2t3+0,5p4)(0,5p4 – 0,2t3)

Решение:

1) (3а2+4в3)(3а2-4в3) = (3a2)2 – (4b3)2=

= 9a4 – 16b6

3) (0,2t3+0,5p4)(0,5p4 – 0,2t3) =

= (0,5p4)2 - (0,2t3)2=?

№ 2. Вычислите

 98·102

Почему воспользовались формулой разности квадратов?

359.

1) 48·52

3)43·37

Решение:

98·102  = (100-2)·(100+2) = 1002 - 22= 10000 – 4 = 9996

-потому что представили числа 98 и 102 в виде суммы и разности, с одинаковым слагаемым.         

1) 48·52  = (50+2)(50-2) = 502 – 22 = 2500 – 4 = 2495

3) 43·37 = (40-3)(40+3) = 402 – 32 = 1600 – 9 = 1591

360.

1) 47·33

3) 84·76

Решение:

1) 47·33= (40+7)(40-7) = 402 – 72 = 1600 – 49 = 1551

3) 84·76 = (80+4)(80 -4) = 802 – 42 = 6400 – 16 = 6384

363.

1)472 – 372

- Почему можем воспользоваться формулой?

3)50,72 – 50,62

5)(6 )2 – (5  )2

Решение:         

1) 472 – 372= (47-37)(47+37) = 10·84 = 840

Потому что у нас есть разность квадратов двух чисел, и она будет равна произведению разности этих чисел на их сумму.

3) 50,72 – 50,62= (50,7 – 50,6)(50,7 +50,6) =

=10·101,3 = 1013

5) (6 )2 – (5  )2  = (6  - 5  ) (6  + 5 ) = 1·12 =12.

364.

1)(х-1)(х+1) = х2 -2(х-3)

3)(2х +3)(2х+3) – 4(х-1)(х+1) = 49

Решение:

1) (х-1)(х+1) = х2 -2(х-3)

      х2 – 1 = х2 – 2х+6

       -1-6 = -2х

         2х=7

         х = 7/2

3) (2х +3)(2х+3) – 4(х-1)(х+1) = 49

     4х2 +12х+9 -4х2+4 = 49

       12х=49-9-4

         12х = 36

             х=3

Рефлексивно – оценочный  этап

- какова была цель урока?

- достигли ли мы её?

-как мы её достигли? Какие примеры решали на основе этой формулы?

учится пользоваться формулой разности квадратов для разложения многочлена на множители и решения других задач.

- Да.

-Решали задания и примеры, где нужно было разложить многочлен на множители, при этом пользовались формулой разности квадратов. Также вычисляли с помощью этой формулы сложные числовые примеры. Решали алгебраические уравнения.

Домашняя работа: номера 351 – 360 ( под цифрами 2,4)+ выучить правило

351.

2) (1/9)а2в2; 0,25х2у2; 0,16 m4; 0,81n6

Решение:

2) (1/9)а2в2 = ((1/3) ав)2

     0,25х2у2 = (0,5ху)2

      0,16 m4 = (0,4m2)2

      0,81n6 = (0,81n3)2

352.

2) 4a2 – 9

4) 81a2 – 16b2

Решение:

2) 4a2 – 9 = (2а)2 – 32 = (2а – 3)(2а +3)

4) 81a2 – 16b2 = (9а)2 – (4в)2 = (9а – 4в)(9а +4в)

353.

2) (4/9)а2 – (1/16)в2

4) 0,09х2 – 0,16у2

Решение:

2) (4/9)а2 – (1/16)в2 = ((1/3)а)2 – ((1/4)в)2 = ((1/3)а – (1/4)в)((1/3)а – (1/4)в)

4) 0,09х2 – 0,16у2 = (0,3х)2 – (0,4у)2 =

(0,3х – 0,4у)(0,3х+0,4у)

354.

2) 81а6 – 49в4

4) 25а2 – 9в6

Решение:

2) 81а6 – 49в4 = (9а3)2 – (7в2)2 =

(9а3 – 7в2)(9а3+7в2)

4) 25а2 – 9в6 = (5а)2 – (3в3)2 = (5а – 3в3)(5а+3в3)

355.

2) а4 – в8

4) в4 - 81

Решение:

2) а4 – в8 = (а2)2 – (в4)2 = (а2 – в4)(а2 +в4)

4) в4 – 81 = (в2)2 – 92 = (в2 – 3)(в2 +3)

356.

2) (с+3d)(c – 3d)

4) (3m-2n)(2n +3m)

Решение:

2) (с+3d)(c – 3d) = с2 – 9в2

4) (3m-2n)(2n +3m) = 9m2 – 4n2

357.

2)(a2+b3)(a2 – b3)

4) (m3 – n3)(m3+n3)

Решение:

2) (a2+b3)(a2 – b3) = а4 – в6

4) (m3 – n3)(m3+n3) = m6 – n6

358.

2)(2m4-5n2)(5n2 +2m4)

4) (1,2a2 – 0,3b2)(1,2a2 +0,3b2)

Решение:

2) (2m4-5n2)(5n2 +2m4) = 4m8 – 25n4

4) (1,2a2 – 0,3b2)(1,2a2 +0,3b2) = 1,44a4 – 0,09b4)

359.

2) 68·72

4) 47·53

Решение:

2) 68·72 = (70-2)(70+2) = 4900 – 4 = 3896

4) 47·53 = (50 – 3)(50+3) = 2500 – 9 = 2491

360.

2) 44·36

4) 84·76

Решение:

2) 44·36 = (40+4)(40-4) = 1600 – 16 = 1584

4) 84·76 = (80+4)(80-4) = 6400 – 16 = 6384