3 конспекта уроков
план-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему

Тема: Вероятность равновозможных событий.

Цели: ввести понятия событий достоверных, невозможных и случайных; дать классическое определение вероятности, закрепить эти понятия в ходе решения задач; развивать логическое мышление учащихся.

Мотивация: игра (представить себя участником события с разным конечным исходом) – п. 2 урока.

Ход урока:

1.Устная работа (подготовка к изучению нового материала).

 Для того чтобы оценить вероятность интересующего нас события путем статистического исследования, необходимо провести большое число опытов или наблюдений, и только после этого можно определить приближенно вероятность этого события. В тоже время в ряде случаев вероятность события можно оценить непосредственно из условий самого опыта или наблюдения путем рассуждений, не прибегая к испытаниям

На примере  кубика с шестью гранями выяснить исход событий:

1. событие А – выпадает цифра 1,2,3,4,5 или 6;
2. событие Б – выпадает цифра 7,8 или 9;
3. событие С -  выпадает цифра 1.

Событие А обязательно наступит. Событие, которое в данном опыте обязательно наступит, называют достоверным событием. При этом нет оснований считать, что какой - нибудь из исходов более возможен, чем остальные. Говорят, что существует 6 равновозможных исходов опыта с бросанием кубика: выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков.

Исходы в определенном опыте или наблюдении считают равновозможными, если шансы этих исходов одинаковы.

Исходы, при которых происходит некоторое событие, называют благоприятным исходом для этого события.

Событие В  никогда не наступит. Это просто невозможно. Событие, которое в данном опыте наступить не может, называют невозможным событием.

Событие С  может наступить или не наступить, точно сказать нельзя. Событие, которое в данном опыте может  как наступить, так и не наступить, называют случайным событием.

2.Изучение нового материала.(Лекция)

1)Рассмотрим событие В, которое означает выпадение на кубике числа очков, кратного 3. Это событие происходит лиш при двух исходах испытания: когда выпало 3 очка и когда выпало 6 очков, т.е. для события В благоприятными являются два исхода из шести равновозможных исходов.

Отношение числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов в рассматриваемом примере равно . Это отношение считают вероятностью события В и пишут:

Р(В) =. Обозначение Р происходит от французского слова prоbabilite, что означает, «вероятность».

Определение: Если все исходы какого-либо испытания равновозможны, то вероятность события в этом испытании равна отношению числа благоприятных для него исходов к числу всех равновозможных исходов.

В отличии от статистического подхода к вычислению вероятности такой подход называется классическим. Статистический подход предполагает фактическое проведение испытания, а при классическом подходе не требуется, чтобы испытание было проведено в действительности.

2. Вероятность достоверного события считается равной 1. Вероятность невозможного события считается равной 0.

3. Классическая вероятностная схема (алгоритм). Этот способ применим только в тех случаях, когда все исходы некоторого испытания равновозможные.

Для нахождения вероятности случайного события А  при приведении некоторого испытания следует:

1) найти число N всех возможных исходов данного испытания;

2) найти количество N(A)  тех исходов испытания, в которых наступает событие А;

3) найти частное ; оно и будет равно вероятности события А.

Принято вероятность события А обозначать: P(A).

Формула нахождения вероятности события А:  .

3. Отработка навыка решения задач.

1.Рассмотрим решение примера. Из цифр 1, 5, 9 случайным образом составляют трёхзначное число без повторяющихся цифр. Какова вероятность того, что получится число: а) больше 500; б) квадратный корень из которого не больше 24; в) кратно 3; г) кратное девяти?

Решение: а) 159, 195, 519, 591, 915, 951 – возможные числа. 159<500 и 195<500, а все остальные числа больше 500 (их 4 из 6), т.е. эти числа составляют   общего числа исходов.  Следовательно, искомая вероятность равна.

б) Так как , то квадратные корни из чисел 159, 195, 519 меньше 24, значит, нужные нам числа составляют, половину общего числа исходов, т.е. искомая вероятность .

в) Сумма цифр значит каждое из шести чисел кратно 3, т.е. искомая вероятность равна 1.

г) Сумма цифр  не кратна 9. Следовательно, из шести чисел нет кратных девяти, то искомая вероятность равна 0

2)Рассмотрим пример. 17 точек из 50 покрашены в синий цвет, а 13 из оставшихся покрашены в оранжевый цвет. Какова вероятность того, что случайным образом выбранная точка окажется: а) синей; б) не оранжевой; в) окрашенной; г) неокрашенной?

Решение:

а) ;

 б) ;

в) ;

г) .

3) Из цифр 4, 6, 7 случайным образом составляют трёхзначное число без повторяющихся цифр. Какова вероятность того что получится: а) наибольшее из всех таких чисел; б) число у которого вторая цифра 7; в) число заканчивающееся на 6; г) число кратное 5?

Ответы: а)  б) в) г) 0.

4) Монету подбрасывают три раза Какова вероятность того, что: а) в последний раз выпадет «решка»; б) ни разу не выпадет «орёл»; в) число выпадений «орла» в два раза больше числа выпадений «решки»; г)  при первых двух подбрасываниях результаты будут одинаковы?

Решение: составим дерево вариантов.

                           О                                                  Р

                    О                      Р                        О                             Р

             О           Р         О            Р       О             Р               О           Р

          ООО     ООР    ОРО       ОРР    РОО      РОР           РРО       РРР

а) ; б) в) г) .

4) Случайным образом выбрали двузначное число. Найдите вероятность того, что оно: а) оканчивается 0; б) состоит из одинаковых цифр; в) больше 27 и меньше 46; г) не является кубом другого целого числа.

Решение: Общее число двузначных чисел: а)  б)  в) г) ,  ,

5) Из четырёх тузов случайным образом поочерёдно вытащили две карты. Найдите вероятность того, что: а) обе карты – тузы чёрной масти; б) вторая карта – пиковый туз; в) первая карта – туз красной масти; г) среди выбранных карт есть бубновый туз?

Ответы:  . а) б) в) г)

4 Подведение итогов.

Оцениваются знания учащихся..

5.Домашнее задание:

1) Имеются четыре кандидата:  Владимир Владимирович, Василий Всеволодович, Вадим Владимирович и Владимир Венедиктович. Из них случайно выбирают двоих. Какова вероятность того, что: а) будет выбран Владимир Венедиктович; б) отца одного из кандидатов, зовут также как и самого кандидата; в) будут выбраны кандидаты с одинаковыми именами; г) будут выбраны кандидаты с разными отчествами?

Решение: общее число возможных исходов при выборе двух кандидатов из четырех: . а) б)  в) г)  (12-2=10, 2 исхода с одинаковыми отчествами).

2) Случайным образом выбрали двузначное число. Найдите вероятность того, что: а) его цифры различаются больше чем на 8; б) его цифры различаются больше чем на 7; в) при перестановке цифр местами двузначное число меньше исходного; г) оно ближе к 27, чем к 72?

Решение: Общее число двузначных чисел равно .

а) такие цифры только 9 и 0, т.е. число 90. Следовательно,  вероятность равна .

б) такие цифры только 0, 9, 8, 1, т.е. числа 90, 80, 91, 19. Следовательно, вероятность равна .

в) в первом десятке нет таких чисел, во втором – одно число, в третьем  - 2 числа, в четвёртом – 3 числа, …, в девятом – 8. Следовательно, этих чисел будет 36. Т.е. вероятность равна

г) .

3) Найдите вероятность того, что при одном бросании игрального кубика выпадет: а) четвёрка; б) чётное число очков; в) число очков больше четырёх, г) число очков, не кратное трём?

Решение: а) ; б) в) г)

Глава V

«Элементы комбинаторики и теории вероятностей»

                          (13 часов)

Основная цель: ознакомить учащихся с понятиями перестановки, размещения, сочетания и соответствующими формулами для подсчёта их числа; ввести, понятия относительной частоты и вероятности случайного события.

Урок 1.

  Примеры комбинаторных задач

Цель: повторить и обобщить основные понятия комбинаторики, ввести комбинаторное правило умножения.

Мотивация: просмотр видеосюжета по теме урока (правило умножения).

Ход урока:

I .  Организационный момент.

II . Актуализация знаний:  Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый задачам выбора и расположения предметов из раздела множеств. Типичной задачей комбинаторики является задача перечисления комбинаций, составленных из нескольких предметов.

Вспомним примеры таких задач:

1.Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде 3-х горизонтальных полос одинаковых по ширине и цвету: синий, красный и белый. Сколько стран могут испытать такую символику при условии, что у каждой страны свой отличный от других флаг?

    Решение: Будем искать решение с помощью дерева возможных вариантов.

Ответ: 6 комбинаций.

2.Сколько чётных двузначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,4,5,9.

    Решение:

Ответ: 15 чисел.

3.На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их может кофеем, соком или кефиром.  Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать?

     Решение:         КП          КБ           КПр         КК

                             СП           СБ           СПр         СК

                             К-рП       К-рБ      К-рПр      К-рК                   Ответ: 12 вариантов.

Во всех задачах был осуществлён перебор всех возможных вариантов или комбинаций. Поэтому эти задачи называют комбинаторными. Слово комбинация происходит от латинского combino – соединяю. Действительно при получении любой комбинации мы составляем её из отдельных элементов последовательно соединяя  их друг с другом. С этой точки зрения: число – это комбинация цифр, слово – это комбинация букв, меню – это комбинация блюд.

Во всех предложенных задачах для подсчёта числа комбинаций мы использовали простой способ подсчёта – прямое перечисление (опираясь на «дерево возможных вариантов», таблицу, кодирование). Но способ перебора возможных вариантов далеко не всегда применим, ведь количество комбинаций может исчисляться миллионами.

Здесь на помощь приходят несколько замечательных комбинаторных правил, которые позволяют подсчитать количество комбинаций без их прямого перечисления.

III. Изучение нового материала.

Просмотр видеосюжета. Мы рассмотрели примеры 3-х разных задач, но получили совершенно одинаковые решения, которые основаны на общем правиле умножения:

Пусть имеется n элементов и требуется выбрать из них один за другим к элементов. Если первый элемент m1выбрать n1 способами, после чего второй элемент m2 выбрать n2 способами из оставшихся, затем третий элемент m3 выбрать n3 способами из оставшихся и т.д., то число способов могут быть выбраны все к элементов, равно произведению

Примени это правило к каждой из решённых задач.

1-я задача: выбор верхней полосы  -  из 3-х цветов, т.е. n1=3;  средняя полоса – из 2-х цветов, т.е.n2=2; нижняя полоса – из 1-го цвета, т.е. n3=1.

2-я задача: заметим, что в этой задаче задействованы  два независимых исхода.

IV. Закрепление. Решение задач .

№714. В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник — и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из первого и второго блюд, которые может заказать посетитель. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов.

Решение.

   Что бы указать все обеды из двух блюд, будем рассуждать так.

   Выберем одно блюдо (борщ) и будем добавлять к нему поочерёдно разные вторые блюда, получая пары:

Б, г; б, к; б, с; б, п (4 пары).

    Теперь в качестве первого блюда выберем рассольник и будем добавлять к нему поочерёдно разные вторые блюда:

Р, г; р, к; р, с; р, п (4 пары).

 Согласно правилу комбинаторного умножения всего обедов: 24=8.

 Построив дерево возможностей, получим 8 вариантов.

Ответ: б, г; б, к; б, с; б, п; р, г; р, к; р, с; р, п.; получим восемь разных обедов из двух блюд.

 №716  Стадион имеет четыре входа: А, В, С и D. Укажите все возможные способы, какими посетитель может войти через один вход, а выйти через другой. Сколько таких способов?

Решение.  

   Из условия ясно, что порядок выбора имеет значение: АВ означает, что посетитель вошёл через А и вышел через В, а ВА означает, что вошёл через В, а вышел через А.

   Чтобы перечислить все варианты выбора двух входов, будем придерживаться следующего правила.

    Выпишем обозначения всех входов в ряд: А, В, С, Д. Берём первый вход и дописываем к нему поочерёдно каждый из остальных входов, получаем 3 пары: А В, А С, А Д.

    Берём второй вход и дописываем к нему поочерёдно каждый из остальных входов, кроме него самого начиная с начала ряда, т. е. с первого входа: ВА, ВС, ВД.

     Выбирая третий, а затем четвёртый вход, получаем СА, СВ, СД; ДА, ДВ, ДС.

    Общее количество способов выбора: 4*3=12 (к каждому из 4 входов мы дописывали 3 других).

     Замечание. Подсчитать количество способов выбора, не составляя пары, можно по правилу произведения: первый выбор (через какой вход войти) можно сделать 4 способами (А, или В, или С, или Д); после этого второй выбор (через какой вход войти) можно сделать 3 способами ( любой  вход, кроме того, через который вошли). Общее количество выбора равно 4*3=12.

Ответ: 12 способов.

   №718. Составьте все возможные двузначные числа из указанных цифр, используя в записи числа каждую из них не более одного раза:

а) 1, 6, 8;        б) 0, 3, 4.

 Решение.  

 а) Выбираем поочерёдно:16, 18, 61, 68, 81, 86. Всего 6 различных чисел.

 б) Выбрать первый 0 мы не можем (число должно быть двузначным), поэтому выбираем на первую позицию только вторую и третью цифры 30, 34, 40, 43. Всего четыре различных двузначных числа.

Ответ: а) 16, 18, 61, 68, 81, 86; б) 30, 34, 40, 43.

№721. В шахматном турнире участвуют 9 человек. Каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?

Решение.

   Поскольку каждая пара участников играла между собой только один раз, порядок выбора не имеет значения (когда Иванов играл с Петровым, это то же самое, что Петров играл с Ивановым).

   Выбрать первого участника партии можно 9 способами, а второго- 8 оставшимися способами; по правилу произведения всего можно образовать 98=72 пары,  но в это число каждая пара входит дважды: сначала Иванов-Петров, затем Петров- Иванов.

Поскольку порядок выбора не имеет значения, то общее количество партий равно.

Ответ: 36 партий.

V. Д/з 715, 717, 723, подготовить устное сообщение из истории комбинаторики. 

Доп. задания  (резерв времени).

№715.   У Ирины пять подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина и Светлана. Она решила двух из них пригласить в кино. Укажите все возможные варианты выбора подруг. Сколько таких вариантов?

Решение.  

И.В.З.            И.З.М.            И.М.П.            И.С.П.         

И.В.М.           И.З.П.            И.М.С.         
И.В.П.            И.З.С

И.В.С.     Ответ: 10 вариантов.

    № 717. Укажите все способы, какими можно разложить три яблока в две вазы (учтите при этом случаи, когда одна из ваз окажется пустой).

Решение.  

    Заметим, что для указания способа раскладки яблок в две вазы достаточно указать способ заполнения одной вазы, поскольку все, что не попадает в первую вазу будет положено во вторую, т. е. определяя способ заполнения первой вазы, мы одновременно определяем и заполнение второй. Поэтому подсчитаем способы заполнения первой вазы: 1) пусто; 2) одно яблоко; 3) два яблока; 4) три яблока.

    При этом все способы, какими можно разложить три яблока в две вазы, таковы:

3 и 0; 2 и 1; 1 и 2; 0 и 3.

Ответ: 4 способа.

№723.

   При встрече 8 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Решение. 

  Порядок не имеет значения: если Иванов пожимает руку Петрову, то и одновременно Петров пожимает руку Иванову, поэтому общее количество рукопожатий (пар) равно .

Ответ: 28 рукопожатий.

VII. Итог.

Д/з №724,725.

Урок 2.

Комбинаторные задачи. Перестановки

Цель: закрепить правило умножения при решении комбинаторных задач; повторить другие способы решения задач, провести самостоятельную работу, ввести понятие «перестановка» и решать задачи, решаемые с помощью этой простейшей комбинацией.

Мотивация: игровой момент «Кто быстрее составит комбинацию из предложенных элементов?» (пункт 3  урока).

I. Организационный момент.

II. Устный счёт.

Вопрос 1: Сколько флагов получится, если для их создания использовать цвета белый, синий, красный, зелёный?

(24)

Вопрос 2: Сколькими способами можно поставить на полке рядом 5 разных книг?

(120)

Вопрос 3: У Светланы 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций из юбок и кофт имеется у Светланы?

(15)

Вопрос 4: Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1,3,5?

(6 )

При решении этих задач мы использовали правило умножения. Напомните его (учащиеся формулируют его). Пусть имеется n элементов и требуется выбрать из них один за другим к элементов. Если первый элемент m1выбрать n1 способами, после чего второй элемент m2 выбрать n2 способами из оставшихся, затем третий элемент m3 выбрать n3 способами из оставшихся и т.д., то число способов могут быть выбраны все к элементов, равно произведению

III. Изучение новой темы:

       Сегодня на уроке и на последующих уроках мы пытаемся классифицировать, разбить на типы те комбинации, с которыми вы уже сталкивались при решении задач. Обратимся к последней задаче: в ней даны 3 объекта, нужно  составить из них все возможные комбинации, переставляя их между собой. Такие комбинации называются перестановками из n элементов.

Итак, перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определённом порядке (т.е. перестановки отличаются друг от друга только порядком расположения элементов)

Для 3-х элементов (n=3) мы получили 6 перестановок, т.е.

А если объектов 4? (n=4).  То

А если объектов 5? (n=5).  То 5·

А если n?  То  n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1.

Это произведение выражает количество перестановок из n элементов и обозначают Pn.

Pn=1·2·3·(n-2)·(n-1)· n.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n, т.е. 1·2·3·(n-2)·(n-1)· n обозначают n! (читают эн факториал)

Например: 1!=1               2!=1·2=2                  6!=1·2·3·4·5·6=720

Следовательно, число перестановок n предметов равно n!

Примеры разобрать из учебника №1-3 (с177), с комментариями.

Пример 1. Сколькими способами можно расставить 8 участниц финального забега на 8 беговых дорожках?

Решение: Число способов равно числу перестановок из 8 элементов. По формуле числа перестановок находим, что . Значит существует 40 320 способов расстановки участниц забега на 8 беговых дорожках.

Пример 2. Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6?

Решение: Из цифр 0, 2, 4, 6 можно получить перестановок. Из них надо исключить те перестановки, которые начинаются с 0, так как натуральное число не может начинаться с цифры 0. Число таких перестановок равно . Значит, искомое число четырехзначных чисел равно . Получаем =4! – 3! = 24 – 6 = 18.

Пример 3. Имеется девять различных книг, четыре из которых – учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?

Решение: Сначала будем рассматривать учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не девять а шесть книг. Это можно сделать способами. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить перестановок учебников. Значит, искомое число способов расположения книг на полке равно произведению .

Получаем =6! 4! = 720  24 = 17 280.

IV. Закрепление.       №738(б), №740(б), 741  

№738.  Сколько среди четырехзначных чисел, составленных из цифр 3, 5, 7, 9 (без их повторения), таких, которые: а) начинаются с цифры 3; б) кратны 15?

Решение:а)  Из цифр 3, 5, 7, 9 составляем четырёхзначные числа, начинающиеся с цифры 3. Фиксируем цифру 3 на первом месте; тогда на трёх оставшихся местах в произвольном порядке могут располагаться цифры 5, 7, 9. Общее количество вариантов их расположения равно Р=3!=6. Столько и будет различных четырехзначных чисел, составленных из данных цифр и начинающихся с цифры 3.

б) Заметим, сумма данных цифр 3+5+7+9= 24 делится на 3, следовательно,  любое четырёхзначное число, составленное из этих цифр,  делится на 3. Для того чтобы некоторые из этих чисел делились на 15, необходимо, чтобы они заканчивались цифрой 5.

Фиксируем цифру 5 на последнем месте; остальные 3 цифры можно разместить на трёх местах перед 5 Р=3!=6 различными способами. Столько и будет различных четырёхзначных чисел, составленных из данных цифр, которые делятся на 15.

Ответ: а) 6 чисел; б) 6 чисел.

№740.Сколько чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 (без их повторения), таких, которые: а) больше 3000;   б) больше 2000?

Решение: а) Среди чисел составленных, составленных из цифр 1, 2, 3, 4 (без повторения), больше 3000 будут четырёхзначные числа, начинающиеся с цифр 3 или 4.  Фиксируем на первом месте 3, количество чисел равно Р=3!=6.

 Фиксируем на первом месте 4, количество чисел равно Р=3!=6.

 Таким образом, среди чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, есть 6+6=12 чисел больше 3000.    

 б) Среди чисел составленных, составленных из цифр 1, 2, 3, 4 (без повторения), больше 2000 будут четырёхзначные числа, начинающиеся с цифр 2, 3 или 4. Количество таких чисел равно 6 (фиксирована 2)+6(фиксирована 3)+ (фиксирована 4)=18.  Можно применить метод исключения ненужных вариантов:Р- Р(фиксирована 1) =4!-3!=24-6=18.Ответ: а) 12 чисел; б) 18 чисел. 

 № 741.Семь мальчиков, в число которых входят Олег и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций, если:

а) Олег должен находиться в конце ряда;

б) Олег должен находиться в начале ряда, а Игорь — в конце ряда;

в) Олег и Игорь должны стоять рядом.

Решение:

а) Всего 7 мальчиков на 7 местах, но один элемент фиксирован, не переставляется (Олег находится в конце ряда). Число возможных комбинаций равно числу перестановок 6 мальчиков, стоящих перед Олегом: Р=6!=720.

б) Два элемента фиксированы. Число возможных комбинаций равно числу перестановок 5 мальчиков, стоящих между Олегом и Игорем: Р= 5!= 120.

в) Воспользуемся приёмом «склеивания» элементов. Пусть Олег и Игорь стоят рядом в порядке ОИ. Будем рассматривать эту пару как единый элемент, переставляемый с другими пятью элементами. Число возможных комбинаций будет равно Р=6!=720 Пусть Олег и Игорь стоят рядом в порядке ИО. Тогда  получим ещё Р=6!=720 других комбинаций.

 Общее число комбинаций, в которых Олег и Игорь стоят рядом (любом порядке) равно 720+720=1 440.

Ответ: а) 720; б) 120; в) 1 440 комбинаций.

V. Обучающая самостоятельная работа:

VI. Д/з №734;№737(б);№738(а);№740(а);№742.

№734.  Сколькими способами 9 человек могут, встать в очередь в театральную кассу?

Решение: Присвоим каждому человеку номер 9 (от 1 до 9). Тогда каждый способ расположения этих людей в очереди будет представлять собой последовательность из 9 цифр, порядок которых может меняться.

Количество способов, которыми 9 человек могут встать в очередь, равно Р= 9!=362 880.

Ответ: 362 880 способов.

№737(б)   Сколько шестизначных чисел, в записи которых каждая цифра используется только один раз, можно составить из цифр:

б) 0, 2, 5, 6, 7, 8?

Решение:б) Дано 6 цифр 0, 2, 5, 6, 7, 8, из них нужно составить различные шестизначные числа. Отличие от предыдущей задачи состоит в том, что 0 не может стоять на первом месте.

   Можно напрямую применить правило произведения на первое место можно выбрать любую из 5 цифр (кроме нуля); на второе-любую из пяти оставшихся цифр ( 4 «нулевые» и теперь считаем ноль); на третье место- любую из 4 оставшихся после двух первых выборов цифр, и т. д. Общее количество вариантов равно: 5•5•4•3•2•1=600.

    Можно применить метод исключения лишних вариантов. 6 цифр можно переставить Р= 6!=720 различными способами. Среди этих способов будут и такие,  в которых на первом месте стоит ноль, что не допустимо. Подсчитаем количество этих недопустимых вариантов. Если на первом месте стоит ноль, он (фиксирован), то на последующих пяти местах могут стоять в произвольном порядке «ненулевые» цифры 2, 5, 6, 7, 8. Количество разных способов, которыми можно разместить 5 цифр на пяти местах, равно Р=5!=120, т. е. количество перестановок чисел, начинающихся с нуля, равно120.

   Искомое количество различных шестизначных чисел в этом случае равно: Р- Р=720-120=600.

Ответ: а) 720; б) 600 чисел.

№738(а)  Сколько среди четырехзначных чисел, составленных из цифр 3, 5, 7, 9 (без их повторения), таких, которые: а) начинаются с цифры 3; б) кратны 15?

Решение:а)  Из цифр 3, 5, 7, 9 составляем четырёхзначные числа, начинающиеся с цифры 3.

     Фиксируем цифру 3 на первом месте; тогда на трёх оставшихся местах в произвольном порядке могут располагаться цифры 5, 7, 9. Общее количество вариантов их расположения равно Р=3!=6. Столько и будет различных четырехзначных чисел, составленных из данных цифр и начинающихся с цифры 3.

№740(а) Сколько чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 (без их повторения), таких, которые: а) больше 3000;   б) больше 2000?

Решение:а) Среди чисел составленных, составленных из цифр 1, 2, 3, 4 (без повторения), больше 3000 будут четырёхзначные числа, начинающиеся с цифр 3 или 4. Фиксируем на первом месте 3, количество чисел равно Р=3!=6.

Фиксируем на первом месте 4, количество чисел равно Р=3!=6.

Таким образом, среди чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, есть 6+6=12 чисел больше 3000.    

№742.   В расписании на понедельник шесть уроков: русский язык, алгебра, геометрия, биология, история, физкультура. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли рядом?

Решение: Всего 6 уроков из них два урока должны стоять рядом.

«Склеиваем» два элемента (алгебра и геометрия) сначала в порядке АГ, затем в порядке ГА.

 При каждом варианте «склеивания» получаем Р= 5!= 120 различных вариантов расписания. Общее количество способов составить расписание равно 120+120=240.

Ответ: 240 способов.

VII. Итог.

Д/З №743,744.