Презентация "Геометрические приемы в алгебре"
презентация к уроку по алгебре (10 класс) на тему

Слайд 1

«Геометрические приемы в алгебре» Учитель математики МБОУ лицей «Технический» г.Самары Сергеева Наталья Викторовна

Слайд 2

Например, если из условия следует, что допустимые значения переменной Х определяются неравенством |X| ≤ 1 , то удобны замены Х =sin α, α∈ [- П/2;П/2 ] или X= cos α, α∈ [0 ;П ] . В случаях, когда переменная может принимать любые значения, используются замены X= tg α , α∈ [- П/2;П/2 ] или X= ctg α , α∈ [0 ;П ] .

Слайд 3

Решите уравнение √(1- х 2 ) = 4х 3 - 3х Решение : |x| ≤ 1 – из условия. Пусть х= cos α , α∈ [0 ;П ], тогда получим √ (1 - cos 2 α ) = 4cos 3 α – 3cos α или |sin α | = cos3 α , но в нашем случае sin α ≥ 0 , так что sin α = cos3 α , или cos3 α = cos( П/2 - α ) = 0 продолжение на сл. слайде

Слайд 4

cos Решая последнее уравнение, имеем: α =П/8 + Пк /2, к ∈ z или α = 3П/4 + П n, n ∈ z Условию 0 ≤ α ≤ П удовлетворяют три значения: α 1 = П/8; α 2 = 5П/8; α 3 = 3П/4 Поэтому Х1 = cos (П/8) = √( 1+cos п/4)/2 = = √ (1+ (√ 2/2))/2 = 1/2 √ (2+ √ 2) Х2 = cos ( 5 П/8) = -√(1+ cos (5п/4))/2 = = -√(1- cos п /4)/2 = - 1/2 √ (2- √ 2) Х3 = cos 3П/4 = - cos П/4 = - (√ 2)/2 Ответ: -(√2)/2; -1/2 √ (2- √ 2); 1/2 √ (2+ √ 2).

Слайд 5

Негеометрические задачи и их геометрическое решение. Дано: X 2 + Y 2 = 9 Y 2 + Z 2 = 16 Y 2 = XZ Найти: XY+YZ B 4 3 y C z D x A Решение: т.к. X>0, Y>0 и Z>0, то задачу можно интерпретировать геометрически. По теореме, обратной теореме Пифагора, числа x, y и 3 являются длинами соответственно катетов и гипотенузы тр. ABD (угол D прямой). Тогда, рассмотрев второе уравнение системы, можно сделать вывод, что y, z и 4 являются соответственно длинами катетов и гипотенузы тр. CBD (угол D прямой ).

Слайд 6

Третье уравнение системы разрешает утверждать, что число Y есть среднее пропорциональное чисел X и Z. Тогда по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике, угол ABC прямой. Теперь, чтобы ответить на главный вопрос задачи, рассмотрим выражение XY+YZ . XY + YZ = (X + Z) * Y = B = 2 S ABC = 3 * 4 = 12. 4 y 3 A z D x C Ответ: xy + yz = 12

Слайд 7

Дано : X+Y+Z = 60 X 2 + Y 2 = Z 2 XY/Z = 12 Решить систему уравнений. A D Y z 12 C x B Решение: 1) Если X>0, Y>0 и Z>0, то существует тр. ABC , с прямым углом C, у которого X и Y – катеты, а Z – гипотенуза. Периметр этого треугольника равен 60 , а длина его высоты, проведенной из вершины прямого угла, равна 12 . Из первого уравнения получаем, что ( x+y ) 2 = (60-z) 2 , а из второго и третьего уравнений: ( x+y ) 2 = z 2 + 24z. Приравняв правые части последних уравнений, заметим, что 144z = 60 2 , т.е. z = 25

Слайд 8

Далее наша система позволяет получить другую: X + Y = 35 XY = 300 В этой системе одно неизвестное равно 15, а второе 20 . Значит, исходная система имеет решения: ( 15 ; 20 ; 25) и (20 ; 15 ; 25 ). 2) В условии системы не оговаривается, что x, y и z – положительные числа. Из третьего уравнения следует, что два из трех неизвестных могут быть отрицательны. Однако по ходу решения мы убеждаемся, что Z>0 . Значит, могут быть только X<0 и Y<0 . Но это невозможно, так как X + Y = 35 Ответ: ( 15 ; 20 ; 25) , (20 ; 15 ; 25).

Слайд 9

Спасибо за внимание!