Внеурочное мероприятие по алгебре и началам математического анализа «Тригонометрия без формул и таблиц»
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

Муниципальное общеобразовательное учреждение

гимназия №19 им. Н.З.Поповичевой

«Тригонометрия без формул и таблиц»

Внеурочное мероприятие

по алгебре и началам математического анализа

в 10 классе.

Учитель: Алябьева Е.А.

Липецк

Тема занятия: «Тригонометрия без формул и таблиц»

«В математике следует помнить

 не формулы, а процессы мышления»

Ермаков В.П.

Формы организации деятельности: фронтальная, индивидуальная, групповая (парная).

Методы организации деятельности: словесный, наглядный, проблемный.

Цели занятия.

Образовательные.

 Научить учащихся находить синусы острых углов с точностью до 2% и углы по заданному значению синусов с точностью до 1°, пользуясь лишь определением синуса, не прибегая ни к таблицам, ни к формулам.

Развивающие.

 Развитие интереса к предмету.

 Активизация мыслительной деятельности.

 Развитие научного мировоззрения, творческого мышления посредством создания проблемной ситуации. Познакомить учащихся с историей возникновения термина «синус».

Воспитательные.

Формирование навыков решения практических задач, используя математические знания.

Выработка внимания.

Оборудование:

Раздаточный материал – рабочие листы для каждого ученика (приложение 1). Наглядные материалы (Приложения 2 - 6).

Ход занятия.

I. Организационно-мотивационный момент.

   Вообразите, что вы еще не знакомы с тригонометрией или забыли ее без остатка. Давайте начнем знакомиться с ней заново. Начнем с понятия синуса острого угла.

Историческая справка. Откуда взялось слово «синус»? Греки брали за синус хорду удвоенной дуги 2α – дуга АС (Приложение 2) и называли ее «джива» – тетива. Индусы понимали под синусом отрезок АВ (как в современной тригонометрии), но название греков, однако, сохранили – «джива», произведения индусов дошли до нас через арабов, которые из «джива» сделали «джиба». «Джиба» – слово ничего не значащее по- арабски, но  так как арабы пишут без гласных букв, а только одни согласные, то с течением времени слово «джиба» переделали в «джаиб», значившее «грудь». В XII веке арабские труды по тригонометрии были переведены на латинский язык, а слово «джаиб» по-латински звучит «синус» (грудь). Так название, не соответствующее геометрическому представлению об этом понятии, удержалось до наших дней.

II. Актуализация опорных знаний .

Повторить определение синуса острого угла прямоугольного треугольника, как отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Повторить определение синуса угла через отношение ординаты точки окружности к радиусу (Приложение 2).

III. Решение задач.

III.1 Вычисление значений синусов углов от 1° до 15°.

Учитель: Чему равны синусы различных углов от 1 до 90 градусов? Как узнать это? Нельзя пользоваться калькулятором и таблицами. Весьма просто: надо составить эту таблицу самому. Этим мы сейчас и займемся.

Будем считать, что несколько ключевых табличных значений синуса вы помните: sin30°=0,5; sin45°= ≈0,707; sin90°=1.

Этого вполне достаточно, чтобы вычислить синусы остальных углов через каждый градус. Оговоримся: способы вычисления являются приближенными, но дают значения синуса с точностью до 0,01 (т. е. значения синусов верны в первых  двух десятичных знаках).

Для сравнения точности вычислений с таблицами необходимо выбрать группу экспертов, которая будет корректировать неверные арифметические действия. Результаты вычислений вы будете записывать в таблицу, которая находиться в рабочих листах, лежащих перед каждым из вас (Приложение 1).

Выбирается экспертная группа (2 человека).

Объяснение способа вычисления синусов углов от 1° до 15° (Приложение 3).

sin α = .

Для малых углов можно вместо хорды АВ брать значение дуги АС.

Показать примеры вычисления синусов углов 1°, 2°, 3°.

Экспертная группа проверяет правильность вычислений.

Задание классу: Найдите синусы углов от 4° до 15° (индивидуально каждому ученику). Занесите найденные значения в таблицу.

Как далеко можно продолжать эту таблицу, не делая большой погрешности?

Задание классу: Найдите sin30° и сравните полученное значение  с табличным (0,5).

Найденное значение 0,524 > 0,5 на 0,024, т. е. относительная погрешность равна  . Очень грубо!

Поэтому для углов от 15° до 30° воспользуемся другим способом вычислений.

III.2 Вычисление значений синусов углов от 15° до 30°.

Объяснение способа вычисления синусов углов от 15° до 30° (Приложение 4).

sin15°≈0,26; sin30°=0,5. sin30° – sin15°≈0,24.

Допустим, что при увеличении угла на каждый градус, его синус возрастает приблизительно на  этой разницы, т. е.  на .

sin16°=0,26+0,016≈0,28;  sin17°=0,26+2∙0,016≈0,29 … sin30°=0,26+15∙0,016=0,5.

Экспертная группа проверяет правильность вычислений.

Задание классу: Найдите синусы углов от 18° до 29° (индивидуально каждому ученику). Занесите найденные значения в таблицу.

III.3 Вычисление значений синусов углов от 30° до 45°.

Учитель: Аналогично поступают при вычислении синусов углов от 30° до 45°.

Задание классу: Выведите формулу для вычисления синусов углов от 30° до 45°.

Вывод формулы у доски (Приложение 5).

III.4. Вычисление значений синусов углов больших 45°.

Объяснение способа вычисления синусов углов больших  45° (Приложение 6).

В этом нам поможет теорема Пифагора.

Предположим, необходимо найти sin53°.ΔВАС: ∟А=53°; ∟В=37°.

sin37°=0,5+7∙0,014=0,598≈0,6

sinВ=

sinА=.

. sin53°=0,8.

Задание классу: Найти sin65° (У доски решает ученик).

III.5. Вычисление значений углов по их синусам.

Объяснение способа вычисления углов  по их синусам.

Задание классу: Найти угол α по значениям его синуса:

1 ряд : sinα = 0,38 ;  2 ряд : sinα = 0,62;  3 ряд : sinα = 0,91.

IV. Подведение итогов занятия.

V. Домашнее задание.

Заполнить таблицу синусов до конца.

Приложение 1.

Тема урока:

Тригонометрия без формул и таблиц.

 ______________________________________

                             Фамилия, имя

Вычисление синуса данного угла.

Приложение 2