Задачи на концентрацию
консультация по алгебре (8, 9, 10, 11 класс) на тему

Решение задач на концентрацию, растворы, сплавы.

§1. Элементы текстовых задач на смеси, сплавы, растворы. Формула

Все текстовые задачи на смеси, сплавы и растворы содержат в себе три основных элемента.

Это ЦЕЛОЕ – масса смеси, сплава или раствора, выраженная в граммах, литрах или других мерах веса и объёма; 
ЧАСТЬ – масса определённого вещества в составе смеси, сплава или раствора, выраженная в граммах, литрах или других мерах веса и объёма;
ДОЛЯ – доля вещества в смеси, сплаве или растворе, выраженная в процентах или, чаще, дробным числом без наименования.

Все три элемента взаимосвязаны между собой формулой

Для более быстрого запоминания этой формулы её удобно записать в треугольник, разбитый на три части. В верхней части запишем ЧАСТЬ, а в двух нижних частях – ЦЕЛОЕ и ДОЛЯ. При этом горизонтальная черта означает деление, а вертикальная – умножение.

Согласно формуле, для того,
- чтобы найти ЧАСТЬ, надо ЦЕЛОЕ умножить на ДОЛЮ;

- чтобы найти ЦЕЛОЕ, надо ЧАСТЬ разделить на ДОЛЮ;

- чтобы найти ДОЛЮ, надо ЧАСТЬ разделить на ЦЕЛОЕ.

§2. Решение простейших текстовых задач на смеси, сплавы, растворы

Рассмотрим простейшие задачи на применение этой формулы.

ЗАДАЧА 1. Сколько граммов поваренной соли содержится в 200граммах 9%-ного солёного раствора?

РЕШЕНИЕ.

В этой задаче ЦЕЛОЕ – это масса солёного раствора, 9% = 0,09 – это ДОЛЯ соли в растворе, ЧАСТЬ – это масса соли в растворе. Таким образом, в задаче надо найти часть. Для этого надо ЦЕЛОЕ 200г умножить на ДОЛЮ 0,09. Получили, что 18граммов поваренной соли содержится в 200граммах 9%-ного солёного раствора.

ЗАДАЧА 2. Определить концентрацию раствора 50граммов сахара в 450граммах воды.

РЕШЕНИЕ.

В этой задаче ЦЕЛОЕ – это масса сладкого раствора, равная 450г + 50г =500г, ЧАСТЬ – это масса сахара в растворе 50г. Таким образом, в задаче надо найти ДОЛЮ, которая и является концентрацией сахара в растворе. Для этого надо ЧАСТЬ 50г разделить на ЦЕЛОЕ 500г. Получили, что концентрация раствора равна 0,1 или 10%.

§3. Решение более сложных текстовых задач на смеси, сплавы, растворы

В жизни чаще встречаются более сложные задачи, в которых взаимодействуют несколько смесей, сплавов и растворов. Все такие задачи условно можно разбить на группы:
-задачи на понижение концентрации;
- задачи на высушивание;
- задачи на смешивание растворов разных концентраций;
- задачи на переливание;
-задачи на повышение концентрации.

Рассмотрим примеры решения таких задач.

ЗАДАЧА. Сколько килограммов воды надо добавить к 60г 16%-ной соляной кислоты, чтобы получить 10%-ный раствор этой кислоты?

РЕШЕНИЕ.

1 арифметический способ.

Так как к соляной кислоте добавляют воду, не содержащую кислоту, то увеличившаяся масса раствора будет обратно пропорциональна концентрации, то есть с увеличением массы раствора концентрация будет уменьшаться во столько же раз. Значит, масса нового раствора относится к массе соляной кислоты 60г так же, как концентрация 16% относится к концентрации 10%. Из пропорции несложно вычислить массу нового раствора из числового выражения произведение 60-ти и 16-ти, делённое на 10. Масса чистой воды равна разности 96-ти и 60-ти, то есть 36г или 0,036кг.
Мы решили задачу арифметическим способом и ответили на главный вопрос задачи: 0,036кг воды надо добавить в 16%-ную  соляную кислоту.

2 алгебраический способ.

Запишем условия задачи в виде таблицы – схемы. Смоделируем  данные жидкостей в прямоугольники. В первом прямоугольнике запишем массу соляной кислоты 60г, над ним – концентрацию 16% = 0,16, под ним – массу кислоты в растворе, равную 0,16 умноженной на 60г. Далее поставим знак «плюс», так как по условию к раствору добавляют воду, с отмеченной массой воды mг. В результате должен получиться 10% - ный раствор массой (60 + m)г. Значит, изобразим его в виде прямоугольника с записью 60 + m внутри его, над ним запишем 10% = 0,1, под ним – 0,1(m + 60). Из выражений под прямоугольниками получаем уравнение 0,1 (60 + m) = 0,16∙ 60. Решая его, находим значение переменной m равной 36г.

ЗАДАЧА. Имеется сплав меди с оловом массой 12кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить, чтобы получить сплав, в котором содержится 40% меди?

РЕШЕНИЕ:

1 схематический способ. 

Запишем в прямоугольнике концентрацию меди в первом сплаве 45%, ниже в другом прямоугольнике запишем концентрацию меди 0% второго куска, содержащего только олово. В центре второго столбца в прямоугольнике запишем концентрацию нового сплава с концентрацией меди  40%. В третий столбик, применяя правило «крестика»,  сверху вниз запишем результаты разности 40 – 0% и разности 45 – 40%. Получили числа 40% и 5%. Разделим их на 5 и результаты запишем в 4-й столбик в соответствующих строках. Таким образом, для получения 40% сплава меди с оловом, надо взять 8 частей 45%-ного сплава и 1 часть чистого олова. По условию задачи 45% -й сплав меди с оловом имеет массу 12кг, что составляет 8 частей. Значит, на одну часть приходится 12кг делённое на 8, то есть 1,5кг. Следовательно, чистого олова надо взять 1,5кг. Мы решили задачу схематическим способом.

2 геометрический способ.  Смоделируем 45%-ный сплав меди с оловом в виде прямоугольника условной длиной в 12кг и условной шириной 45%. На него наложим прямоугольник условной длиной (12 + m)кг и условной шириной 40%. Оба прямоугольника должны быть равновелики, так как содержат одинаковые массы меди. Следовательно, площади их частей S1 = 5∙12 и S2= 40m равны между собой. Значит, решая уравнение 40m = 5∙12, имеем, что m = 1,5. Таким образом, с помощью геометрического способа мы ответили на главный вопрос задачи 1,5 кг чистого олова надо добавить для получения 40% -ного содержания меди в сплаве.

ЗАДАЧА. Индийский чай дороже грузинского на 25%. В каких пропорциях нужно смешать индийский чай с грузинским, чтобы получить чай, который дороже грузинского на 20%.

РЕШЕНИЕ:

Цена индийского чая дороже на 25%, значит, составляет 125%  от цены грузинского чая, следовательно, доля цены индийского чая равна 1,25, а доля цены грузинского чая равна 1-ой  единице. Решим задачу схематическим способом по правилу «крестика». В  первом столбике друг под другом запишем доли цен грузинского и индийского чая соответственно, то есть 1 и 1,25. Во втором столбике в центре поместим долю смеси, которая дороже грузинского чая на 20%, то есть 120% равно 1,2. В третьем столбике «крестиком» друг под другом запишем разности 1,25 – 1,2 = 0,05 и 1,2 – 1 = 0,2. Чтобы избавиться от дробных чисел, домножим оба результата третьего столбика на 20. Получили числа 1 и 4, которые показывают доли грузинского и индийского чая соответственно для получения нужной смеси. Таким образом, мы ответили на главный вопрос задачи  индийский и грузинский чай надо взять в отношении 4 к 1 соответственно.

§4. Решение текстовых задач на смеси, сплавы, растворы с помощью уравнений

Рассмотрим текстовые задачи на смеси, сплавы и растворы, которые решаются с помощью линейных уравнений и с помощью систем линейных уравнений.

ЗАДАЧА: Пчёлы перерабатывают цветочный нектар в мёд, освобождая его от воды. Нектар обычно содержит 84% воды, а полученный из него мёд – 20%. Сколько килограммов нектара приходится перерабатывать пчёлам, чтобы получить 2кг мёда?

РЕШЕНИЕ:

В процессе переработки нектара в мёд неизменном остаётся масса сухого вещества этих продуктов. Поэтому найдём долю сухого вещества в нектаре и в мёде. Она будет равна
100% - 84% , то есть 16-ти% или 0,16 в нектаре и 100% - 20%, то есть 80-ти % или 0,8 в мёде. Пусть х кг нектара надо переработать пчёлам, тогда сухого вещества в нектаре будет 0,16х кг, а в мёде 0,8 умноженное на 2кг, то есть 1,6кг. Решая простейшее уравнение 0,16х =1,6, получаем х = 10. Таким образом, мы ответили на главный вопрос задачи 10кг нектара надо переработать пчёлам для получения 2кг мёда.

ЗАДАЧА: Смешали два сорта творога. Жирный творог массой 400г содержит 20% жира, а нежирный творог массой 500г  содержит 2% жира. Определить процент получившегося творога.

РЕШЕНИЕ:

Решим задачу комбинированным схематическим и алгебраическим способом.

В первый столбик выпишем данные жирности творога в порядке возрастания. Обозначим процент получившегося творога буквой р% и запишем в центре второго столбика. Тогда в третьем столбике друг под другом по правилу «крестика» запишем разности 20-р и р-2. Эти выражения показывают части жирного и нежирного творога, взятые для получения р%-ной жирности. Таким образом, имеем 20-р частей приходится на 500г нежирного творога и р-2 частей приходится на 400г жирного творога.

Из пропорции (20 – р) относится к (р – 2) так же как 500 относится к 400, получаем простое уравнение 400(20 – р) = 500(р – 2). Решив его, имеем р = 10.

Мы ответили на главный вопрос задачи, получится 10% -ный творог из 400г жирного и 500г нежирного творога.

§5. Решение текстовых задач на смеси, сплавы, растворы с помощью систем уравнений

ЗАДАЧА: Имеются два сосуда, содержащие 30кг и 35кг раствора кислоты различной концентрации. Если смешать оба раствора, то получится раствор, содержащий 46% кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Какова концентрация данных растворов?

РЕШЕНИЕ:

Решим задачу алгебраическим способом, приняв неизвестные концентрации за х - долю кислоты в 30кг и у – долю кислоты в 35кг раствора. Запишем условия задачи в виде таблицы – схемы. Из первой части задачи в двух  прямоугольниках, разделённых знаком «плюс» выпишем массы растворов 30кг и 35кг, над ними запишем их концентрации х и у соответственно, а под прямоугольниками запишем выраженные массы чистой кислоты в каждом растворе 30х и 35у соответственно. Затем поставим знак равно и в третьем прямоугольнике запишем массу нового раствора  30 + 35 = 65кг. Над прямоугольником поставим концентрацию нового раствора, выраженную в доле, то есть 46% равную 0,46, а под прямоугольником - массу чистой кислоты 0,46 ∙ 65кг равную 29,9кг.

Получили уравнение с двумя переменными 30х + 35у = 29,9. 

Из второй части задачи в двух  прямоугольниках, разделённых знаком «плюс» выпишем массы растворов m кг и m кг, так как по условию они равны. Над прямоугольниками  запишем их концентрации х и у соответственно, а под прямоугольниками запишем выраженные массы чистой кислоты в каждом растворе mх кг и mу кг соответственно. Затем поставим знак равно и в третьем прямоугольнике запишем массу нового раствора  m + m = 2m кг. Над прямоугольником поставим концентрацию нового раствора, выраженную в доле, то есть 47% равную 0,47, а под прямоугольником - массу чистой кислоты 0,47 умноженное на 2m кг равную 0,94m кг.

Получили уравнение mх + mу = 0,94m.  Разделив обе части уравнения на m, получаем уравнение с двумя переменными х + у = 0,94.

Решая систему двух линейных уравнений с двумя переменными, имеем х = 0,6 = 60%  и у = 0,34 = 34%. Таким образом, 30-ти кг раствор имеет концентрацию 60%, 35-ти кг раствор – 34% кислоты.