Решение тригонометрических уравнений
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Опубликовано 08.05.2018 - 17:54 - Шамхалова Макка Алхасовна

Разработка открытого урока

Скачать:

ВложениеРазмер
Файл trigon._uravneniya.pptx157.4 КБ
Microsoft Office document icon reshen._trig-h_uravneniy.doc177 КБ

Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:

Слайд 1

«Решение тригонометрических уравнений» Учитель математики МКОУ « Султанянгиюртовская СОШ имени Ю.Акаева » Шамхалова Макка Алхасовна .

Слайд 3

«Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

Слайд 4

Ответьте на вопросы: 1) каково будет решение уравнения cos x = a при | a | > 1 2 ) при каком значении а уравнения sin x = a , cos x = a имеют решения? 3 ) назовите частные случаи решения уравнений sin x = a , cos x = a , если a = -1; 0; 1 4) чему равен ar с co s (- a ) ? 5 ) в каком промежутке находится arctg a ? 6 ) в каком промежутке находится arc с tg a ?

Слайд 5

1 вариант 2 вариант sin ( - π/3 ) cos 2π/3 tg π/6 ctg π/4 cos (π/6 ) sin 3π/4 cos (-π/4 ) sin π/3 ctg π/6 tg π/4 sin (-π/6) cos 5π/6 1 вариант 2 вариант sin ( - π/3 ) cos 2π/3 tg π/6 ctg π/4 cos (π/6 ) sin 3π/4 cos (-π/4 ) sin π/3 ctg π/6 tg π/4 sin (-π/6) cos 5π/6

Слайд 6

1 вариант 2 вариант sin (-π/3) cos 2π/3 tg π/6 ctg π/4 cos (-π/6) sin 3π/4 Ответы - √ 3/2 - 1/2 √ 3/3 1 √ 3/2 √ 2/2 cos (-π/4 ) sin π/3 ctg π/6 tg π/4 sin (-π/6) cos 5π/6 Ответы √2/2 √3/2 √3 1 - 1/2 - √3/2 количество верных ответов оценка 6 5 5 4 4 3 < 4 2

Слайд 7

sinx =а cosx = а tg х = а

Слайд 8

sinx =а х = (-1) k arcsin а + π k , k Z cosx = а х = ± arccos а + 2 π k , k Z tg х = а х = arctg а + π k , k Z . sinx =а cosx = а tg х = а

Слайд 9

1) cos x =1/2 , х = ± π/6 + 2π к , к Є Z sin x =√ 3/2 , x = π/3 + π к , к Є Z 3) cos x /3 =√ 2/2 , x /3 = ± π/4 + 2 π к ; x = ± 3π/4 + 2 π к /3, к Є Z 4) sin 2 x =1/3, x = (-1/2) n arcsin1/3 + π n , n Є Z 5) cos x =4/3, x = ± arc с o s 4/3 + 2 π n , n Є Z 6) tg x =-1, x =- π/4 + 2π n , n Є Z

Слайд 10

1) cos x =1/2 , х = ± π/6 + 2π к , к Є Z Верно : cos x =1/2 , х = ± π/3 + 2π к , к Є Z sin x =√ 3/2 , x = π/3 + π к , к Є Z Верно : sin x =√ 3/2 , x = (-1) к π/3 + π к , к Є Z 3) cos x /3 =√ 2/2 , x /3 = ± π/4 + 2 π к ; x = ± 3π/4 + 2 π к /3, к Є Z Верно : cos x /3 =√ 2/2 , x /3 = ± π/4 + 2 π к ; x = ± 3π/4 + 6 π к , к Є Z 4) sin 2 x =1/3, x = (-1/2) n arcsin1/3 + π n , n Є Z Верно : sin 2 x =1/3 , x = (-1) n /2 arcsin1/3 + π n /2, n Є Z 5) cos x =4/3, x = ± arc с o s 4/3 + 2 π n , n Є Z 6) tg x =-1, x =- π/4 + 2π n , n Є Z Верно : tg x =-1, x = -π/4 + π n , n Є Z

Слайд 11

A sin 2 х + В cos х + С =0 A sin 2 х + В sin х + С =0

Слайд 12

На оценку задания «3» « 4» « 5» 2 cos 2 х + 5 sin х - 4=0 3 sin x - 2 cos 2 x =0 cos 2 х + cos х =0 cos 2x + sin x =0 √ 2 sin (x/2) + 1 = cos х √2cos(x/2) + 1= cos x

Слайд 13

На оценку задания «3» «4» « 5» 2 cos 2 х + 5 sin х - 4=0 3 sin x - 2 cos 2 x =0 cos 2 х + cos х =0 cos 2x + sin x =0 √ 2 sin (x/2) + 1 = cos х 3 cos (x/2 ) + 1= cos x Ответы (-1) k π/6 + πk, k Є Z (- 1) k π/6 + πk, k Є Z π + 2πk, k Є Z; ± π/3 + 2 πn, n Є Z π/2 + 2πk, k Є Z ; (- 1) k+1 π/6 + πn, n Є Z 2 πk, k Z ; (- 1 ) k+1 π/2+2πn, n Є Z ± π/3 + 4πn, n Є Z

Слайд 14

1. А sin 2 х + В sin х cos х + С cos 2 х = D А sin 2 х +В sin х cos х +С cos 2 х = D ( sin 2 х + cos 2 х ) А sin 2 х + В sin х cos х + С cos 2 х - D sin 2 х - D cos 2 х=0 (А – D ) sin 2 х + В sin х cos х + (С- D ) cos 2 х =0. 2. A sin x + B cos x = С A sin 2 (x/2) + B cos 2(x/2) = С 2 A sin(x/2) cos (x/2)+ В (cos 2 (x/2)- sin 2 ( x/2 ))= = С (sin 2 (x/2)+cos 2 (x/2 ))

Слайд 15

Решить уравнение 2 sin x + cos x = 2, используя нужные методы sin x=2 sin x/2 cos x/2 cos x= cos 2 x/2- sin 2 x/2 2=2*1=2 * ( sin 2 x/2+ cos 2 x/2)

Слайд 16

На оценку 1 вариант 2 вариант «3» «4» «5» 3 sin x+ 5 cos x = 0 3 cos 2 х + 2 sin х cos х =0 2 sin x - 5 cos x = 3 2 cos x+ 3 sin x = 0 2 sin 2 x – sin x cosx =0 2 sin x - 3 cos x = 4

Слайд 17

1 вариант 2 вариант «3» «4» «5» - arctg 5/3+ πk , k Є Z . π /2 + πk ; - arctg 1,5 + πn , k , n Є Z . arctg (- 1 ± √5) + πk , k Є Z . - arctg 2/3+ πk , k Є Z . πk ; arctg 0,5 + πn , k , n Є Z . arctg ( 2 ± √11) + πk, k Є Z.

Слайд 18

Домашняя работа Решить уравнения, выбирая наиболее рациональный способ решения. √ 3 cos 2 x + sin 2 x = 2 cos x /2- sin x /2= √ 6/2 2 cos x + 5 sin x + 2=0 2 cos x + 3 sin x = 3

Слайд 19

“Уравнение - это золотой ключ, открывающий все математические сезамы”.



Предварительный просмотр:

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение –

Султанянгиюртовская средняя общеобразовательная школа им. Ю.Акаева.

Урок

 по алгебре и началам анализа

 в 10 классе

 по теме:  «Решение тригонометрических уравнений»

Учитель:  Шамхалова Макка Алхасовна

Цели урока:

  1. Образовательные - повторение, обобщение, систематизация и углубление материала темы.
  2. Развивающие –формирование умений применять приемы  сравнения, обобщения, выделения главного, логически излагать мысли, делать выводы, развивать речь, внимание и память.
  3. Воспитательные – воспитание ответственности, активности, настойчивости, мобильности, общей культуре.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование: экран, компьютер, мультимедийный проектор.

План урока.

  1. Организационный момент
  2. Устно (повторение изученного материала
  3. Самостоятельная работа №1:
  4. Найти ошибку:
  5. Решение тригонометрических уравнений по известным алгоритмам.
  6. Работа в группах. С\Р №2
  7. Физкультминутка
  8. Решить уравнение 2 sin x+ cos x=2,
  9. Проверочный тест С\Р №3
  10.   Работа с учебником: № 627(1,2).
  11.  Рефлексивно-оценочная часть урока.
  12. Домашняя работа
  13. Итог работы.

Эпиграф к уроку: Альберт Эйнштейн говорил: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

Ход урока:

1.Организационный момент

Сегодня заключительный урок по теме «Решение тригонометрических уравнений». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения   тригонометрических уравнений. Задания по решению тригонометрических уравнений встречаются в вариантах ЕГЭ.  Перед вами стоит задача - показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений. Итак,  приступаем.

2. Устно (повторение изученного материала)

А) Ответьте на вопросы:

1) каково будет решение уравнения cos x=a при |a | > 1 ?  [Нет решения]

2) при каком значении а уравнения sin x =a ,  cos x=a  имеют решения?  [Если |a | ≤ 1]

3) назовите частные случаи решения уравнений sin x =a ,  cos x=a  , если      a  = -1; 0; 1

4) чему равен  arсcos(-a) ?       [π- arсcos a]

5) в каком промежутке находится  arctg a  ?  [-π/2; π/2],  

6) в каком промежутке находится arcсtg a ?    (0;π)

  3.   Самостоятельная работа №1:

Учитель: А теперь выполним самостоятельную работу. Работа предлагается в 2 вариантах, после чего проверим правильность ее выполнения.

Найдите значения тригонометрических выражений:

На экране проецируется задание.

1 вариант

2 вариант

sin (-π/3)

cos  2π/3

tg  π/6

ctg π/4

cos (-π/6)

sin 3π/4

Ответы

- √3/2

-  1/2

  √3/3

     1

  √3/2

  √2/2

cos  (-π/4 )

sin π/3

ctg π/6

tg π/4

sin  (-π/6)

cos 5π/6

Ответы

  √2/2

  √3/2

 √3

    1  

 - 1/2

 - √3/2

Учитель:  Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:  

количество верных ответов

оценка

6

5

5

4

4

3

           < 4

2

Учитель: Перейдем к решению простейших тригонометрических уравнений. Напомните, пожалуйста, формулы решения уравнений вида sinx =а,  cosx = а, tg х=а.

Учащиеся называют формулы решения уравнений

sinx =а                

х = (-1)k arcsin а + π k,  k   Z

cosx = а              

х = ±  arccos а + 2 π k,  k   Z

tg х = а                

х = arctg а + π k,  k  Z.

  1. Найти ошибку:

 В каждом из приведенных примеров сделаны ошибки. Назовите верный ответ и подумайте о причине ошибки.

1) cos x=1/2 ,    х =  ± π/6 + 2πк, к$\in$ Z

Верно :  cos x=1/2 , х =  ± π/3 + 2πк, к$\in$ Z

Ошибка в вычислении значений тригонометрической функции

2)  sin x =√ 3/2 ,    x = π/3 + πк, к$\in$ Z

Верно : sin x =√ 3/2 , x = (-1)к π/3  + πк, к$\in$ Z

Ошибка в формуле нахождения решения уравнения sin x =a

3)   cos x/3 =√ 2/2 ,   x/3 = ± π/4 + 2 πк ;   x = ± 3π/4 + 2 πк/3, к$\in$ Z

Верно : cos x/3 =√ 2/2 ,  x/3 = ± π/4 + 2 πк ; x = ± 3π/4 + 6 πк, к$\in$ Z

Ошибка в выполнении деления

4)  sin 2x =1/3,    x = (-1/2)narcsin1/3 + πn, n$\in$ Z

Верно : sin 2x =1/3 ,   x = (-1)n/2 arcsin1/3 + πn/2, n$\in$ Z

Вычислительная ошибка

5) cos x =4/3, x = ± arcсos4/3 + 2πn, n$\in$ Z

x- не существует, так как 4/3 не удовлетворяет условию             | cos x | ≤ 1

6) tg x =-1, x =- π/4 + 2πn, n$\in$ Z

Верно : tg x =-1, x = -π/4 + πn, n$\in$ Z

В периоде

  1. Решение тригонометрических уравнений по известным алгоритмам.

Учитель: Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений.

а) тригонометрические уравнения, приводимые к линейным или квадратным:

A sin2 х + В sin х + С =0 или

A sin2 х + В cos х + С =0

Решим уравнение:

sin2 х + 5 sin х - 6 =0.

Учащиеся решают уравнение,  вводят замену sin х = z, решая квадратное уравнение

 z2 + 5 z - 6 = 0, находят z1  = 1; z2  = -6

Решением уравнения sin х = 1 являются числа вида х =  π/2  +2 π k, k Z.

Уравнение sin х = - 6 не имеет решения, так как  -6 не принадлежит  области значения              ( sin х ),  т.е.   -6  не принадлежит  [-1; 1]

Учитель: При решении  уравнения вида A sin2 х + В cos х + С =0 вводим замену sin2 х  = 1 - cos2 х, а затем решаем уравнение способом, аналогичным предыдущему.

Решите уравнение    2 sin2 х + 3 cos х -3 =0.

Учащиеся решают уравнение, вводят замену sin2 х  = 1 - cos2 х, получили        

   2 (1 - cos2 х) +3 cos х -3 =0.

 - 2 cos2 х + 3 cos х - 1 = 0   | (-1)

    2 cos2 х  - 3 cos х  + 1 = 0  

 Замена cos х= t

Решая квадратное уравнение 2 t 2 - 3t +1 = 0,

 находят t1  = 1; t2  = 0,5

Решением уравнения cos х = 1 являются числа вида х = 2 π k, k   Z.

Решением уравнение cos х = 0,5 являются числа вида  х =  ± arccos 0,5+ 2π n,  n   Z.

х=± π/3+2π n,  n   Z.

  1. Работа в группах.

Учитель:  А теперь  выберите одно из предложенных уравнений и самостоятельно решите его.

На экране проецируется задание.

На оценку

задания

«3»

«4»

«5»

2 cos2х + 5 sin х - 4=0

3 sin x - 2 cos2x =0

cos 2х + cos х =0

cos 2x + sin x =0

√2 sin (x/2) + 1 = cos х

3cos(x/2) + 1=cos x

  Ответы

(-1)k π/6 + πk, k  Z

(-1)k π/6 + πk, k   Z

 

π + 2πk, k   Z;         ± π/3 + 2 πn, n   Z

π/2 + 2πk, k   Z;     (-1)k+1 π/6 + πn, n   Z

 2 πk, k   Z  ;          (-1)k π/2+2πn,n   Z

±  π/3 + 4πn, n   Z

Проверьте свое решение с  ответами

На экране проецируются ответы

  1. Физкультминутка

А сейчас давайте немного отдохнем. Для этого я предлагаю выполнить упражнение.

Цель этого упражнения - устранение вредных эффектов от неподвижного сидения в течение длительного периода времени и профилактика грыжи межпозвоночных дисков поясничного отдела.

  • В положении стоя положите руки на бедра.
  • Медленно отклоняйтесь назад, глядя в потолок.
  • Вернитесь в исходное положение.

Повторите 5 раз.

К  однородным уравнениям после применения формул тригонометрии могут быть сведены различные тригонометрические уравнения, которые первоначально не были однородными.

Рассмотрим уравнение: А sin2 х  + В sinх  cos х + С  cos2х = D, преобразуем данное уравнение А sin2 х  + В sinх  cos х + С  cos2х =D (sin2 х  +   cos2х)

или           (А –D) sin2 х  + В sinх cos х + (С-D)  cos2х =0.

Уравнение A sin x+ B cos x = С также не является однородным. Но после выполнения ряда преобразований данное уравнение становится однородным уравнение второго порядка:

      A sin x+ B cos x = С

       A sin 2 (x/2) + B cos 2(x/2)  = С

       2 A sin(x/2)  cos(x/2)   + В (cos2(x/2)  - sin2(x/2)  )= С (sin2(x/2)   +   cos2(x/2)).  А теперь  давайте решим следующее уравнение.

  1. Решить уравнение 2 sin x+ cos x=2, используя нужные методы

sin x=2 sin x/2 cos x/2

cos x= cos2 x/2- sin2 x/2

2=2*1=2 *(sin2 x/2+ cos 2x/2)

4 sin x/2 cos x/2+ cos 2x/2- sin2 x/2=2 sin2 x/2+2 cos 2x/2

4 sin x/2 cos x/2+ cos 2x/2- sin2 x/2-2 sin2 x/2-2 cos 2x/2=0

4 sin x/2 cos x/2- cos 2x/2-3 sin2 x/2=0

  Если cos x/2=0 , то должно выполняться равенство sin2 x/2=0, а синус и косинус одновременно быть равными нулю не могут. Поэтому можно обе части уравнения разделить на cos 2x/2  и получить уравнение, равносильное данному

3tg 2x/2-4 tg x/2+1=0

Пусть tg x/2=у, получим квадратное уравнение

3у2-4у+1=0

Д=16-12=4, Д>0, уравнение имеет два различных корня

у1=1; у2=1/3

     Итак, tg x/2=1                            или       tg x/2=1/3

           x/2= arctg1 +πn, n$\in$ Z                  x/2= arctg1/3 +πк, к$\in$ Z  

            x/2= π/4 +πn, n$\in$ Z                       x= 2arctg1/3 +2πк, к$\in$ Z  

           x= π/2 +2πn, n$\in$ Z                      

 Ответ:  x= π/2 +2πn, n$\in$ Z , x= 2arctg1/3 +2πк, к$\in$ Z  

Вопрос: Какие методы были использованы при решении уравнения (тригонометрические тождества, однородное уравнение,  введение новой переменной)  

  1. Проверочный тест

 На экране проецируется задание.

На оценку

1 вариант

2 вариант

«3»

«4»

«5»

3 sin x+ 5 cos x = 0

3 cos2х + 2 sin х cos х =0

2 sin x -  5 cos x = 3

2 cos x+ 3 sin x = 0

2 sin2 x – sin x  cosx =0

2 sin x - 3 cos x = 4

Учитель:   Ребята, проверьте свое решение с  ответами.

На экране проецируются ответы

1 вариант

2 вариант

«3»

«4»

«5»

- arctg 5/3+ πk,  k   Z.

π/2 + πk;   - arctg 1,5 + πn,   k, n   Z.

 

arctg ( - 1 ± √5) + πk,   k   Z.

- arctg 2/3+ πk,  k   Z.

πk;    arctg 0,5 + πn,   k, n   Z.

arctg ( 2 ± √11) + πk,   k   Z.

10.  Работа с учебником: № 627(1,2).

11.   Рефлексивно-оценочная часть урока.

 Обсуждение результатов индивидуальной работы.

Задачи этапа: дать качественную оценку работы каждого ученика по выполнению самостоятельной работы.

Содержание этапа:

Учитель: А теперь вы оцените свою работу на уроке.  Вы  самостоятельно выполнили 4  упражнений:

1 – активно участие в устной работе;

2 – находили значения тригонометрических функций;

3 – решение уравнений по известным алгоритмам;

4 – решение однородных тригонометрических уравнений;

5 – решение уравнений вида a sinx+b cosx = c

Найдите среднее арифметическое всех выставленных оценок, округлите результат,  и эти оценки я вам выставляю в журнал.  

        Информация о домашнем задании.

Задачи этапа: сообщить  учащимся о домашнем задании, обеспечить понимание цели, содержания и способов решения.

  1. Домашняя работа

Решить уравнения, выбирая наиболее рациональный способ решения.

  1. √3 cos 2 x+ sin 2x=2

  1. cos x/2- sin x/2=√6/2

  1. 2 cos x+5 sin x+2=0

  1. 2 cos x+3 sin x=3

  1. Итог работы

         Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомнили формулы решения простейших тригонометрических уравнений, рассмотрели общие подходы решения тригонометрических уравнений, закрепили навыки и проверили умения решать тригонометрические уравнения, познакомились с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

Я думаю, что у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения. И у меня появилась уверенность, что с решением тригонометрических уравнений большинство из вас справится.

Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока:

- Что нового узнали на уроке?

- Испытывали ли вы затруднения при выполнении самостоятельной работы?

- Какие из способов решения тригонометрических уравнений  из рассмотренных оказались наиболее трудными?

- Какие проблемы у вас возникли по окончании урока? 

И в конце нашего урока хочу обратить ваше внимание на такие слова Станислава Коваля

“Уравнение - это золотой ключ, открывающий все математические сезамы”.

 

Спасибо вам за работу на уроке. Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе.

Оценочный лист Ф.И. учащегося:    ___________________________________________                                                                                              

№

Вид работы

оценка

Среднее арифметическое всех оценок

1

Активное  участие в устной работе;

2

находили значения тригонометрических функций;

3

решение уравнений по известным алгоритмам;

4

решение однородных тригонометрических уравнений у доски:

5

решение уравнений вида a sinx+b cosx = c

Нахождение  значения тригонометрических функций;

1 вариант

2 вариант

sin (-π/3)

cos  2π/3

tg  π/6

ctg π/4

cos (-π/6)

sin 3π/4

Ответы

cos  (-π/4 )

sin π/3

ctg π/6

tg π/4

sin  (-π/6)

cos 5π/6

Ответы

 

Проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:  

количество верных ответов

оценка

6

5

5

4

4

3

           < 4

2

Найти ошибку:

1) cos x=1/2 ,    х =  ± π/6 + 2πк, кОписание: $\in$ Z

2)  sin x =√ 3/2 ,    x = π/3 + πк, кОписание: $\in$ Z

3)   cos x/3 =√ 2/2 ,   x/3 = ± π/4 + 2 πк ;   x = ± 3π/4 + 2 πк/3, кОписание: $\in$ Z

4)  sin 2x =1/3,    x = (-1/2)narcsin1/3 + πn, nОписание: $\in$ Z

5) cos x =4/3, x = ± arcсos4/3 + 2πn, nОписание: $\in$ Z

6) tg x =-1, x =- π/4 + 2πn, nОписание: $\in$ Z

Решение уравнений по известным алгоритмам;

На оценку

задания

«3»

«4»

«5»

2 cos2х + 5 sin х - 4=0

3 sin x - 2 cos2x =0

cos 2х + cos х =0

cos 2x + sin x =0

√2 sin (x/2) + 1 = cos х

3cos(x/2) + 1=cos x

 

Проверочный тест: решение уравнений вида a sinx+b cosx = c

На оценку

1 вариант

2 вариант

«3»

«4»

«5»

3 sin x+ 5 cos x = 0

3 cos2х + 2 sin х cos х =0

2 sin x -  5 cos x = 3

2 cos x+ 3 sin x = 0

2 sin2 x – sin x  cosx =0

2 sin x - 3 cos x = 4

  1. Домашняя работа

Решить уравнения, выбирая наиболее рациональный способ решения.

√3 cos 2 x+ sin 2x=2                                cos x/2- sin x/2=√6/2

2cos x+5 sin x+2=0                                  2 cos x+3 sin x=3


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Решение тригонометрических уравнений и систем уравнений

видеоурок интегрированного урока по математике и информатике...

урок по теме "Примеры решения тригонометрических уравнений и систем уравнений"

Класс 10Урок закрепления....

решение тригонометрических уравнений с применением тригонометрических формул

конспект урока в 10 классе и презентация к нему по теме "решение тригонометрических уравнений с помощью тригонометрических формул". Цели урока: знакомство обучающихся со способами решения тригонометри...

урок в 10 классе «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений, используя свойство периодичности тригонометрических функций»

Тема урока «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений,...

Обратные тригонометрические функции. Решение тригонометрических уравнений.

Вопросы, включенные в программу курса недостаточно изложены  в школьных учебниках, поэтому необходимо расширить количество часов, отводимых на их  изучение  и круг задач, связанных как ...

План урока по теме "Решение тригонометрических уравнений, неравенств, систем уравнений".

Подбор разноуровневых тематических заданий для организации самостоятельной работы учащихся 10 классов....

Конспект урока «Решения тригонометрических уравнений с помощью тригонометрического круга»

Конспект урока в 10 классе по теме «Решения тригонометрических уравнений  с помощью тригонометрического круга» с использованием интерактивных презентаций по объяснению и тренажеры по проверке усв...