Разработка урока по алгебре в 8 классе по теме «Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения»
методическая разработка по алгебре (8 класс) на тему

Министерство образования и наука Республики Татарстан 

Разработка урока по алгебре в 8 классе по теме «Определение квадратного уравнения.

Неполные квадратные уравнения»

Ларионова Надежда Леонтьевна

учитель математики первой квалификационной категории

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Чувашско- Бурнаевская средняя общеобразовательная школа» Алькеевского муниципального района Республики Татарстан

2017 год

Тема «Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения».

Тип урока: Урок усвоения новых знаний.

Цели урока: 

- ввести определение квадратного уравнения;

- уметь определять по внешнему виду уравнения, является ли оно квадратным или нет;

- уметь определять значения коэффициентов a, b и c;

- уметь отличать полные квадратные уравнения от неполных квадратных уравнений;

- уметь определять вид неполного квадратного уравнения и выбирать алгоритм его решения;

- научиться решать неполные квадратные уравнения;

- закрепить и систематизировать полученные знания в ходе выполнения упражнений;

- развивать память, логическое мышление;

- уметь проводить классификацию уравнений по общему виду;

- уметь выделять общее и находить различия;

- уметь проводить взаимоконтроль и самоконтроль;

- уметь работать в группах и в парах, развивая взаимовыручку, выслушивать мнения товарищей, отстаивать свою точку зрения.

Оборудование: Алгебра – учебник для 8 класса, мультимедийный проектор, карточки с заданиями, листочки (зеленого, синего и желтого цвета).

Ход урока.

I. Организационный момент.

Цель: обеспечить положительный эмоциональный настрой.

II. Актуализация опорных знаний. Проверка домашнего задания.

Цель: установить правильность и осознанность выполнения домашнего задания всеми учащимися, выявить пробелы и их коррекция; актуализировать знания о решении линейных уравнений; зафиксировать индивидуальное затруднение в деятельности, демонстрирующее на личностно-значимом уровне недостаточность имеющихся знаний.

Слайд 1

1. 4x = -20,
2. 6x2 -5x +1 = 0,
3. 2x2 – 18 = 0,
4. 8(y – 1) = 12,6 – 2,3y,
5. 3x2 = 0,
6. 9x2 + 16x = 0,
7. 4t + t2 – 10 = t2 + t + 8,  
8. x2 + 4x – 12 = 0,
9. x2 – 8x = - 2(5 + 4x),
10. (4x – 3)2 – 4x(4x – 1) = 49.

- В домашней работе вам нужно было решить, если возможно, уравнения и выписать в отдельные группы те, которые вы можете свести к одному и тому же виду.

- Поднимите руку, кому удалась классификация.

- Кому удалось выделить только одну группу?

- Выпишите на доске номера уравнений, вошедших в нее.

- У кого получилось две группы?

- Выпишите номера уравнений, вошедших в них.

- У кого больше?

- Сколько?

- Выпишите номера на доске.

- Посмотрите, в первой группе (1, 4, 7, 10) такие разные уравнения, а вы их записали вместе. Почему? (Они сводятся к одному и тому же виду).

- Кто сможет записать на доске этот одинаковый вид каждого из уравнений?

- Как называются уравнения, к которым можно их свести? (Линейные).

- А какой общий вид линейного уравнения? (ax+b=0).

Слайд 2

      Общий вид линейного уравнения:

      ax + b = 0

- В чем же отличие данных уравнений от линейных?  (В правой части нет нуля, а в левой – числа).

- Как можно их свести к линейным?  (Перенести слагаемое из левой части в правую).

- Что при этом должно произойти со знаком слагаемого?  (Он должен измениться на противоположный).  

- Посмотрите, на слайде показаны получившиеся линейные уравнения.

Слайд 3

      4x +20 = 0,

      10,3y – 20,6 = 0,

      3t – 18 = 0,

     -20x – 40 = 0.

- Назовите, чему равны в них коэффициенты a и b.

- Какие тождественные преобразования вам пришлось выполнять при решении уравнений?  (Переносить слагаемые из одной части уравнения в другую,  изменяя их знаки на противоположные. Умножать и делить левую и правую части на одно и то же число, отличное от нуля).

- Итак, четыре таких различных уравнений путем тождественных преобразований можно свести к одному – линейному, алгоритм решения которого хорошо известен.

- А другие группы или другую группу домашних уравнений вы можете свести к одному и тому же виду? (Нет).

- А все ли уравнения вы смогли решить?  (Нет).

- Теперь проверьте домашнее задание. Корни уравнений, которые вы могли решить – на слайде.

Слайд 4

       x = -5,

       y = 2,

       t = 6,

         x = - 2.

• Поднимите руку, кто все правильно решил.
• Кто допустил ошибки.

Физминутка для глаз.

III. Восприятие и первичное закрепление нового материала.

Цель: организовать коммуникативное взаимодействие, в ходе которого выявляется и фиксируется отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности; согласовать цель и тему урока; обеспечить восприятия  осмысления и первичного запоминания знаний и способов действий, связей и отношений в объекте изучения.

- Сегодня вы убедитесь, что и оставшиеся шесть уравнений – это так же уравнения одного и того же вида. Попробуйте дать им имя.  (Квадратные уравнения).

- Запишите в тетрадях тему сегодняшнего урока: «Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения».

Записать тему урока на доске.

- Зная тему урока, давайте попробуем определить цели урока. Раз в теме написано «Определение квадратного уравнения», значит, в первую очередь, что вам предстоит сделать? (Выучить определение).

- Если написано «Неполные квадратные уравнения», значит… (Есть и полные).

- А раз есть те и другие, то чему вы должны научиться?  (Отличать их друг от друга).

- Итак, перед вами сегодня стоят следующие цели:

Слайд 5

   1) выучить определение квадратного уравнения;

  2) научиться определять по виду уравнения - является ли оно квадратным или нет;

  3) научиться определять вид квадратного уравнения – полное оно или неполное;

  4) научиться выбирать нужный алгоритм решения неполного квадратного уравнения.

- Значение квадратного уравнения в науке трудно переоценить. Умение решать его не раз выручит вас не только на уроках математики, но и на уроках физики, химии и даже информатики.

- Но вернемся к уравнениям, которые вы не смогли решить дома.

Слайд  6

6x2 -5x +1 = 0,

x2 + 4x – 12 = 0,

- Что в них можно выделить общего?  (1) есть х2; 2) есть х; 3) в правой части 0; 4) есть число).

- А чем отличаются данные уравнения?  (Числовыми коэффициентами при х и числом).

- Так как эти числа разные, то математики договорились обозначать коэффициент при x2 через a, при x - через b, число - через c. Тогда эти уравнения можно будет представить в виде:  ax2 + bx + c = 0.

Слайд 7

        ax2 +bx + c = 0

- А как вы думаете, любыми ли числами могут быть a, b и c?  (Нет, а не может быть 0).

- Почему?  (Уничтожается х2).

- Есть ли еще какие-нибудь ограничения a, b и c?  (Нет).

- Итак, определение квадратного уравнения.

1 уровень: с помощью учебника с.111, п.21.

2 уровень: без учебника дополнить:

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где:

1) х -

2) a, b и c -

3) а

3 уровень: самостоятельно дать определение квадратного уравнения.

Проверка.

Записывается на доске: ax2 + bx + c = 0, где х – переменная, a, b и c – некоторые числа, причем а ≠ 0.

- Запишите определение квадратного уравнения в тетради.

- Коэффициенты a, b и c имеют специальные названия: a – первый коэффициент (иногда называют старшим коэффициентом), b – второй коэффициент, c – свободный член.

- А только ли буквой х мы можем обозначать переменную? (Нет).

- Кто сможет записать на доске общий вид квадратного уравнения, где переменная будет обозначена другой буквой?

- Какое выражение стоит в левой части уравнения?  (Сумма).

- Какое преобразование можно выполнять с суммой, и при этом не изменится ее значение? (Переставлять местами слагаемые).

- Кто сможет написать на доске, как может выглядеть квадратное уравнение иначе?  (bx + ax2 + c = 0, c + ax2 +bx = 0, и т.д.).

- На слайде представлено несколько уравнений. Выпишите из них те, которые являются квадратными.

Слайд 8

1. 2,7х2 – 3х + 4 = 0,
2. 38х2 – х3 – 8 = 0,
3. 4 – 15х = 0,
4. – х2 = 0,
5. 2,1х2 + 3х – 2/3 = 0,
6. 4/х2 + 2х - 38 = 0,

7.      6х2 – 12 = 0.

- Почему другие уравнения не будут квадратными?  (Они другого вида).

- К найденным квадратным уравнениям я добавлю еще несколько уравнений. Все они представлены на слайде.

Слайд 9

1. 2,7х2 – 3х + 4 = 0,
2. – х2 = 0,
3. 2,1х2 + 3х – 2/3 = 0,
4. 6х2 – 12 = 0,
5. – х2 – 9х + 1 = 0,
6. – 7 + 3х + х2 = 0,

7.      х2/3 – 7х = 0.

- Подумайте, все ли они квадратные? (Да).

- Почему?  (Так как их можно привести к виду ax2 + bx + c = 0, где х – переменная,  a, b, c ϵ R,  а ≠ 0).

- Для каждого предложенного уравнения выпишите значения коэффициентов a=, b=, c=.

- Проверьте друг у друга ответы и исправьте ошибки. Правильные ответы на слайде.

Слайд 10

1. a = 2,7,  b = - 3, c = 4,
2. a = - 1, b = 0,  c = 0,
3. a = 2,1,  b = 3, c = - 2/3,
4. a = 6, b = 0,  c = - 12,
5. a = - 1, b = - 9,  c = 1,
6. a = 1,  b = 3,  c = - 7,

7.      a = 1/3,  b = - 7,  c = 0.

- А теперь придумайте и запишите каждый свое квадратное уравнение. Постарайтесь для коэффициентов использовать любые допустимые значения.

- Проверьте друг у друга – квадратные ли уравнения получились, если нет – исправьте ошибку.

Один из учеников запишет свое уравнение на доске.

- Итак, коэффициенты b и c в отличие от a могут быть и нулями. Что произойдет в этом случае с общим видом квадратного уравнения? (В этом случае в квадратном уравнении пропадает одно или несколько слагаемых).

- Как можно назвать получившиеся уравнения?  (Неполными).  

- Запишем в тетрадях: если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то уравнение называется неполным квадратным уравнением.

- Что значит «хотя бы один»? (Один или больше).

- От чего же зависит вид неполного квадратного уравнения?  (От того, какой коэффициент b или c равен нулю).

- Давайте рассмотрим все возможные варианты.

1 уровень: с помощью учебника с.112 выписывают виды неполных квадратных уравнений.

2 уровень: Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:

1.                               , где с ≠ 0;
2.                               , где b ≠ 0;
3.                               , где b = 0 и c = 0.

3 уровень: самостоятельно записывают виды неполных квадратных уравнений.

Проверка: соответствующий слайд с неполными квадратными уравнениями.

Слайд 11

1. ax2 + c = 0, где с ≠ 0;
2. ax2 + bx = 0, где b ≠ 0;

3)      ax2 = 0, где b = 0 и c = 0.

- На предложенном слайде выберите неполные квадратные уравнения и выпишите в тетрадь под каждым видом неполного квадратного уравнения соответствующий порядковый номер найденного уравнения.

Один из учеников выполняет работу у доски с листочками.

Слайд 12

1. 2,7х2 – 3х + 4 = 0,
2. – х2 = 0,
3. 2,1х2 + 3х – 2/3 = 0,
4. 6х2 – 12 = 0,
5. – х2 – 9х + 1 = 0,
6. – 7 + 3х + х2 = 0,

7.      х2/3 – 7х = 0.

- Подумайте, а не встречались ли нам уже неполные квадратные уравнения? (Да, в домашней работе).

- Теперь нам осталось только записать решение таких уравнений в общем виде.

- А как можно назвать не выбранные уравнения?  (Полные).

- Решать их вы научитесь уже через два урока.

- Итак, ax2 + c = 0, где с ≠ 0.

- Прочитайте текст на стр. 112.

- Решим неполные квадратные уравнения, которые встретились у вас в домашней работе.

Записывается решение и проговаривается алгоритм.

2х2 – 18 = 0

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

2х2 = 18

Разделим обе части получившегося уравнения на 2: 

х2 = 9

Отсюда х = 3 или х = - 3. 

Ответ: х1 = 3, х2 = - 3 .

х2 - 8х = - 2(5 + 4х)

Раскроем скобки и приведем подобные члены многочлена:

х2 – 8х = - 10 – 8х,

х2 – 8х + 10 + 8х = 0,

х2 + 10 = 0

Перенесем свободный член в правую часть:

х2 = - 10

Так как квадрат числа не может быть отрицательным числом, то получившееся уравнение не имеет корней. А, следовательно, не имеет корней и равносильное ему уравнение

 х2 + 10 = 0 .

Ответ: корней нет

Слайд 13

      Алгоритм решения квадратного уравнения вида:  ax2 + c = 0 при c ≠ 0

1. перенести свободный член в правую часть;
2. разделить обе части уравнения на а;
3. если – с/а0, то два корня х1 =  и х2 = - ; если – с/а, то корней нет;

4)      записать ответ.

- Значит, сколько может быть корней в неполном квадратном уравнении такого вида? (Два или вообще нет корней).

- Решите неполное квадратное уравнение, применяя данный алгоритм: I в. - № 515(а), II в. -- № 515(д).

- Теперь проверьте свои решения, сравнив с решениями на слайде, исправив ошибки.

Слайд 14

Iвариант                                                  II вариант

4х2 – 9 = 0,                                              6v2 + 24 = 0,

4х2 = 9,                                                    6v2 = - 24,

 х2 =  2,25,                                               v2 = - 4.

   х = 1,5 или х = - 1,5.                              Ответ: корней нет.

   Ответ: х1 = 1,5, х2 = - 1,5.                            

- Следующий вид неполного квадратного уравнения: ax2 + bx = 0,  где b ≠ 0.

- Из домашней работы:

9х2 + 16х = 0

Записывается решение и проговаривается алгоритм.

Разложим левую часть уравнения на множители:

х(9х + 16) = 0

Отсюда х = 0 или 9х + 16 = 0.

Решим уравнение

9х +16 = 0,

9х = - 16,

х = - 1 .

Ответ: х1 = 0, х2 = - 1 .

Слайд 15

         Алгоритм решения квадратного уравнения вида: ах2 + bx = 0 при b ≠ 0

1. разложить левую часть на множители;
2. используя условие равенства произведения нулю,  уравнение заменяется на два уравнения;
3. решается каждое уравнение;
4. записывается ответ.

- Сколько корней всегда будет в таком уравнении?  (Два).

- Причем, один из них обязательно какой?  (Нуль).

- Решите неполное квадратное уравнение, применяя этот алгоритм: I в. - № 517(а), II в. – № 517(б).

- Теперь проверьте свои решения, сравнив с решениями на слайде, исправив ошибки.

Слайд 16

         I вариант                                           II вариант

         3х2 – 4х = 0,                                       - 5х2 + 6х = 0,

      х(3х – 4) = 0,                                      х(- 5х + 6) = 0,

         х = 0 или 3х – 4 = 0,                          х = 0 или – 5х + 6 = 0,

                          3х = 4,                                                 - 5х = - 6,

                           х = 1 .                                                х = 1 .

         Ответ: х1 = 0, х2 = 1 .                          Ответ: х1 = 0, х2 = 1 .

- Последний тип неполного квадратного уравнения ах2 = 0, где b = 0, c = 0.

- Из домашней работы:

3х2 = 0

Записывается решение и проговаривается алгоритм.

Разделим обе части на 3:

х2 = 0,

х = 0.

Ответ: х = 0.

Слайд 17

       Алгоритм решения квадратного уравнения вида: ах2 = 0, при b = 0 и c = 0.

1. разделим обе части на а;
2. х2 = 0, х = 0;
3. записать ответ.

- Сколько корней в таком неполном квадратном уравнении?  (Один).

- Какой?  (Нуль).

Физминутка.

IV. Закрепление изученного материала.

Цель: проверить свое умение применять новое учебное содержание в типовых условиях на основе сопоставления своего решения с эталоном для самопроверки.

- Как вы думаете, для чего надо четко различать друг от друга виды неполных квадратных уравнений?  (Чтобы применять нужный алгоритм при решении уравнения).

- Объединитесь в группы (1 ряд – 1 группа, 2 ряд – 2 группа, 3 ряд – 3 группа) и выберите, какой алгоритм нужно применить для решения каждого из предложенных уравнений: 1-й, 2-й или 3-й. А один представитель от группы наклеивает напротив каждого уравнения листочек соответствующего цвета: синий – 1, желтый – 2, зеленый – 3.

Слайд 18

1. 5х2 – 12 = 0,
2. 3z – 12z2 = 0,
3. 10m2 = 0,
4. 7y2 – 2y = 0,
5. 2n + n2 = 0,
6. 17 – p2 = 0.

• Решите по одному уравнению из каждого вида на выбор.
• Сравните решения уравнений на слайде.

Слайд 19

1. 5х2 – 12 = 0, 5х2 = 12, х2 = 2,4, х1 = , х2 = - .

Ответ: х1 =  , х2 = - .

2. 3z – 12z2 = 0, z(3 – 12z) = 0, z = 0 или 3 – 12z = 0, - 12z = - 3, z = 0,25.

Ответ: z1 = 0, z2 = 0,25.

3. 10m2 = 0, m2 = 0, m = 0.

Ответ: m = 0.

4. 7y2 – 2y = 0, y(7y – 2) = 0, y = 0 или 7y – 2 = 0, 7y = 2, y = .

Ответ: y1 = 0,  y2 = .

5. 2n + n2 = 0, n(2 + n) = 0, n = 0 или 2 + n = 0, n = - 2.

Ответ: n1 = 0, n2 = - 2.

6. 17 – p2 = 0, - p2 = - 17, p2 = 17, p1 =, p2 = - .

Ответ:  p1 = , p2 = -  

V. Подведение итогов урока. Рефлексия.

Цель: дать анализ и оценку успешности достижения цели и наметить перспективу последующей работы; поблагодарить учащихся, которые помогли получить результаты урока.

- Итак, давайте проверим, достигли ли вы целей сегодняшнего урока.

- Сформулируйте определение квадратного уравнения.

- На какие два вида делятся квадратные уравнения?

- Какое квадратное уравнение называется  неполным?

- Сколько существует алгоритмов его решения?

- От чего зависит выбор нужного алгоритма?

- Сколько корней может иметь неполное квадратное уравнение?

- Достигли ли вы поставленных целей?

- А чему вы должны будете научиться на ближайших уроках? (Решать полные квадратные уравнения).

VI. Обсуждение домашнего задания.

П. 21, №№ 518, 519.

Литература

1. Алгебра. Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, и др. – М.: Просвещение, 2009.

2.        Алгебра. 8 класс. Поурочные планы  по учебнику Ю.Н. Макарычева и др. / Авт.-сост. Т.Л. Афанасьева, Л.А. Тапилина. – Волгоград: Учитель – АСТ,  2008.

3.        Поурочные разработки по алгебре: 8 класс. / Сост. А.Н. Рурукин. – М.: ВАКО, 2008.