Урок алгебры "Логарифмические уравнения"
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

        Цель урока:

— продолжить формирование умений и навыков по решению логарифмических уравнений;

— систематизировать методы их решения, чтобы вы могли применять полученные знания при решении заданий повышенной сложности;

— формировать научное мировоззрение учащихся путём использования исторической и культурологической информации.

Организационная часть.

Сегодня у нас заключительный урок по теме «Решение логарифмических уравнений». (слайд 1)

      Но вначале вспомним свойства логарифмов с помощью теста. Свои знания вы оцените сами, сверив ответы с предложенными, используя предоставленные нормы оценок. (слайд 2)

Тест:

Вычислите:

а)   log216;     [4]                                       б)   log432;     [2,5]

   1) 3;   2) 4;   3) 8;   4) 32.                          1) 8;   2) 4;   3) 5;   4) 2,5.

в)  ;      [5]                                      г)   log42 + log48;   [2]

    1) 2;   2) 10;   3) 4;   4) 5.                          1) 10;   2) 16;   3) 2;   4) 4.

д)  log354 – log32;    [3]                        e)  ;           [8]

     1) 27;   2) 53;   3) 9;   4) 3.                      1) 7;   2) 8;   3) – 1;   4) 1.        

ж)  ;        [3]                        з)log327;    [– 1]

     1) 9;   2) 4;   3) 2;   4) 3.                          1) 3;   2) 9;   3) – 1;   4) – 3.

 и)    ;         [2]                 к)   .   [7]

     1) 1;   2) 2;   3) 4;   4) 6.                         1) 5;   2) 6;   3) 7;   4) 4.   (слайд 3)

Решение уравнений (слайд 4)

1. Решите уравнения методом потенцирования:

а)        log2 (3x – 6) = log2 (2х – 3);

б)        log6 (14 – 4х) = log6 (2х + 2);

в)        log0,5 (7х – 9) = log0,5 (х – 3);

г)      log0,2(12х + 8) = log0,2(11х + 7).

2. Решите уравнения методом введения вспомогательной переменной:

а)        log22 х – 4 log2 х + 3 = 0;

б)        lg2 х3 – 101g х + 1 = 0;

в)        3log20,5 x + 5log0,5 x – 2 = 0;

г)        2log20,3 х – 7log0,3 х – 4 = 0.

Учитель. Кроме этих методов, есть и другие методы решения логарифмических уравнений. Это метод решения логарифмического уравнения с переходом к другому основанию. Рассмотрим решение такого уравнения, но прежде вспомним формулу перехода к логарифму по другому основанию (слайд 5)

(loga b =  , , где а > 0, b > 0, с >0,а1,c1).

3. Решите уравнение методом перехода к новому основанию: (слайд 6)

log2 х + log4 x + log16 х=7.

Решение. Используя свойство   ,

 где а > 0, b > 0, а1,п0, получаем:

log2 х + 0,51og2 x + 0,251og2 x = 7,

откуда log2 x = 4, х = 16.

Ответ: 16.

Динамическая пауза

Упражнения для мышц шеи, рук и спины.

Самостоятельная работа

б) log6 (14 – 4x) = log6 (2x + 2);       г) log0,2 (12x + 8) = log0,2 (11x + 7);

б) lg2 x3 – 10lg x + 1 = 0;                  

в) №  348 (1).                                     в) №  348 (1).

 Итог урока

Учитель. Какие методы мы применяли для решения логарифмических уравнений?

[1) Метод решения с помощью определения; 2) метод потенцирования; 3) метод введения вспомогательной переменной; 4) метод перехода к новому основанию.]

Домашнее задание:

№ 348 (2, 4), тренажёр № 6.

Историческая страничка (слайд 7)

Открытие логарифмов было связано с быстрым развитием астрономии в XVI в., уточнением астрономических наблюдений и усложнением астрономических выкладок. Но вряд ли кто из вас задумывался о том, что логарифмы применяются и в самых далеких от точных наук сферах нашей жизни.

Известный физик Эйхенвальд вспоминал: «Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математику. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика друг с другом не имеют ничего общего. “Правда, Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями, — но ведь как раз пифагорова-то гамма для нашей музыки и оказалась неприемлемой”. Представьте же себе, как неприятно был поражен мой товарищ, когда я доказал ему, что, играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах».

И действительно, так называемые ступени темперированной хроматической гаммы (12-звуковой) частот звуковых колебаний представляют собой логарифмы. Только основание этих логарифмов равно 2.

Положим, что ноте «до» самой низкой октавы — будем ее называть нулевой — соответствует частота, равная п колебаниям в секунду. В октаве частота колебаний нижнего звука в 2 раза меньше верхнего. Тогда ноте «до» первой октавы будут соответствовать 2 п колебаний в секунду, а ноте «до» т-й октавы — 2т • п колебаний в секунду. Октава состоит из 12 полутонов, поэтому на каждый полутон приходится увеличение частоты в раз. Частоту ноты с номером р из т-й октавы можно выразить формулой

Nm = n • 2m .

Логарифмируя эту формулу и принимая частоту самого низкого «до» за единицу (п = 1), получаем:

log2 Nmp = m +  . 

        В соответствии с равномерно темперированным строем расстояния между ладами гитары образуют геометрическую прогрессию с коэффициентом 1/r, где r = .

 Известный музыкант Иоган Себастьян Бах способствовал популяризации равномерно темперированного строя, написав «Хорошо темперированный клавир», который содержал все тональности. (слайд 8)

Тест:

Вычислите:

а)   log216;                                             б)   log432;      

 1) 3;     2) 4;     3) 8;     4) 32.              1) 8;     2) 4;     3) 5;     4) 2,5.

в)  ;                                             г)   log42 + log48;    

1) 2;     2) 10;     3) 4;     4) 5.                1) 10;     2) 16;     3) 2;     4) 4.

д)  log354 – log32;                             e)  ;           

1) 27;     2) 53;     3) 9;     4) 3.             1) 7;     2) 8;     3) – 1;     4) 1.        

ж)  ;                                 з)log327;    

1) 9;     2) 4;     3) 2;     4) 3.                1) 3;     2) 9;     3) – 1;     4) – 3.

 и)    ;                           к)   .    

 1) 1;     2) 2;     3) 4;     4) 6.              1) 5;     2) 6;     3) 7;     4) 4.  

Самостоятельная работа

I вариант                                  II вариант

б) log6 (14 – 4x) = log6 (2x + 2);       г) log0,2 (12x + 8) = log0,2 (11x + 7);

б) lg2 x3 – 10lg x + 1 = 0;                 б)  

в) №  348 (1).                                     в) №  348 (1).