"Снова учимся считать." (Элементы комбинаторики).
методическая разработка по алгебре (7, 8 класс)

Слайд 1

Снова учимся считать (Знакомство с элементами комбинаторики) Природа формулирует свои законы языком математики Галилео Галилей Я мог бы их пересчитать, Но мне не дали дописать.

Слайд 2

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучается сколько различных комбинаций, подчиняющихся тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Что такое комбинаторика?

Слайд 3

Что такое комбинаторика? Вперед пойдешь - голову сложишь, Направо пойдешь – коня потеряешь, Налево пойдешь – меча лишишься. Комбинаторная задача из русской народной сказки

Слайд 5

Что такое комбинаторика? Имеем: варенье сыр колбаса хлеб черный хлеб белый Сколько различных бутербродов мы можем сделать?

Слайд 6

Итак: варенье сыр колбаса хлеб черный хлеб белый хлеб черный хлеб белый хлеб черный хлеб белый 1 2 3 4 5 6 Итого имеем шесть различных бутербродов. А вы и не знали, что делая бутерброды, вы используете комбинаторику!

Слайд 7

Это простейший пример на Правило умножения Если число предметов первого типа равно n , а число предметов второго типа равно m , то число их комбинаций равно n m . Было два типа хлеба и три «наполнителя», итого два на три равно шесть.

Слайд 8

Сколько всего можно составить регистрационных номеров для автомобилей в Москве? Можно использовать 12 букв: А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 3 номера московского региона: 77, 99, 97 12 . 10 . 10 . 10 . 12 . 12 . 3 = 5 . 184 . 000 вторая буква первая цифра вторая цифра третья цифра первая буква третья буква номер региона Количество номеров По правилу умножения получаем:

Слайд 9

Перестановки Перестановкой из n предметов называется любой способ нумерации этих предметов (способ их расположения в ряд) Число перестановок n предметов равно n!=1 . 2 . 3 . … . ( n -1) . n . Такое произведение называется факториалом

Слайд 10

Сложили из карточек с буквами слово АПЕЛЬСИН , потом буквы перемешали и сложили в случайном порядке не глядя. Какова вероятность того, что получится слово СПАНИЕЛЬ ? Перестановки АПЕЛЬСИН СПАНИЕЛЬ

Слайд 11

В слове апельсин всего 8 букв, т.е. мы должны подсчитать сколькими способами можно расположить 8 букв в ряд. Это число перестановок из 8 букв и равняется это количество 8! 8! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 = 40 . 320 Из 40 320 способов нам подойдет только один - слово спаниель Значит вероятность получить это слово равна 1 40320 = 0,000025 = 0,0025%

Слайд 12

Дрессировщик выводит на арену цирка трех львов и двух тигров и сажает их в ряд на тумбы. При этом тигров нельзя помещать рядом , иначе драка между ними неизбежна. Сколько всего существует способов размещения зверей?

Слайд 13

львы тигры Сначала подсчитаем сколькими способами можно размесить тигров 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 2 2 2 3 12 На оставшиеся 3 места посадим 3-х львов. Это перестановка 3 из 3, т.е. 3!=6 способов По правилу умножения 6 . 12= 72 Всего 72 способа посадить зверей

Слайд 14

Сочетания Если есть n предметов, то число способов, которыми можно выбрать ровно k их них называется числом сочетаний из n по k . Обозначение Формула С k n n! k! (n-k)! С k = n

Слайд 15

Расписание одного дня содержит 5 уроков. Сколько всего можно составить таких расписаний при выборе из 10 различных предметов? Алгебра Геометрия Русский География Музыка Биология Английский История Физика Химия 1. 2. 3. 4. 5. ?

Слайд 16

Нужно выбрать 5 предметов из 10. Это число сочетаний из 10 по 5. Используем формулу n =10 k =5 n! k! (n-k)! С k = n 10! 5! (10-5)! С 5 = = = 10 10! 5! 5! 252 5 выбранных предметов еще надо распределить по 5 местам в расписании уроков. Это число перестановок 5!=120 Итого имеем 252 . 120 = 30240 способов составить расписание на один учебный день

Слайд 17

Сколько существует шестизначных натуральных чисел, у каждого из которых цифры расположены в порядке возрастания? Возьмем число 123456789 Если вычеркнуть из этого числа любые 3 цифры, то получим искомое число. Так как порядок вычеркиваемых цифр не имеет значения, то это сочетание 9! 3! (9-3)! С 3 = = = = 84 9 9! 3! 6! 9 . 8 . 7 1 . 2 . 3 Ответ: 84 числа

Слайд 18

Даны две параллельные прямые. На одной отмечены 6 точек, на другой – 8. Сколько существует треугольников с вершинами в данных точках? Число треугольников, у которых две вершины на первой прямой, а одна – на второй равно С 1 8 С 2 6 . =15 . 8 = 120 С 2 8 С 1 6 . =6 . 28 = 168 Аналогично число треугольников, у которых одна вершины на первой прямой, а две – на второй равно 120 + 168 = 288 Ответ: 228 треугольников

Слайд 19

Треугольник Паскаля

Слайд 20

Находить биномиальные коэффициенты по формуле не очень удобно С k n Французский математик Блез Паскаль подробно описал нахождение этих чисел 000000000 1 0000000000 00000000 1 2 1 000000000 0000000 1 3 3 1 00000000 000000 1 4 6 4 1 0000000 00000 1 5 10 10 5 1 000000 0000 1 6 15 20 15 6 1 00000 000 1 7 21 35 35 21 7 1 0000 00 1 8 28 56 70 56 28 8 1 000

Слайд 21

000000000 1 0000000000 1 00000000 1 2 1 000000000 2 0000000 1 3 3 1 00000000 3 000000 1 4 6 4 1 0000000 4 00000 1 5 10 10 5 1 000000 5 0000 1 6 15 20 15 6 1 00000 6 000 1 7 21 35 35 21 7 1 0000 7 00 1 8 28 56 70 56 28 8 1 000 8 С 1 n С 0 n С n n С 2 n ( a +b) n = a n b 0 + a n-1 b 1 + a n-2 b 2 + … + a 0 b n . ( a +b) 5 = a 5 b 0 + 5 a 5 -1 b 1 + 10 a 5 -2 b 2 + 10 a 5 - 3 b 3 +5 a 5 - 4 b 4 + a 0 b 5 = а 5 + 5 a 4 b + 10 a 3 b 2 + 10 a 2 b 3 + 5 ab 4 + b 5 .

Слайд 22

Немного о графах Графом называют набор точек, некоторые из которых соединены линиями Точки называются вершинами графа, а линии - ребрами 11 вершин 13 ребер 7 вершин 9 ребер 33 вершин 36 ребер

Слайд 23

Схема метро Петербурга

Слайд 25

Крыса бежит по лабиринту, который устроен так, что сначала она должна выбрать одну из двух дверей, потом одну из трех, а за каждой из них ее ожидают четыре двери. Пройдя через какую-либо дверь, крыса не может вернуться через нее обратно. Сколькими путями крыса может пройти лабиринт от начала до конца?

Слайд 26

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 202122 2324 2 Всего существует 24 различных пути 1

Слайд 27

Ранним утром на рыбалку улыбающийся Игорь мчался босиком. Вопрос: Сколько осмысленных предложений можно составить, вычеркивая некоторые слова этого предложения? Немного о графах

Слайд 28

Игорь мчался улыбающийся улыбающийся улыбающийся улыбающийся улыбающийся улыбающийся улыбающийся улыбающийся улыбающийся улыбающийся улыбающийся улыбающийся ранним утром утром на рыбалку на рыбалку на рыбалку босиком босиком босиком босиком босиком босиком 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24 предложения

Слайд 29

Альбрехт Дюрер Гравюра «Меланхолия» 1514 Магические квадраты

Слайд 30

Магические квадраты Магический квадрат – это квадрат, разбитый на клетки, в который вписаны числа Сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце, и в каждой из диагоналей равны одному и тому же числу 2 7 6 9 5 1 4 3 8 n = 3 С 2 n 2 +1 n (n 2 + 1)n 2 = С 2 3 2 +1 3 (3 2 + 1)3 2 = = 15 15

Слайд 31

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Магические квадраты можно сделать самим. Например, на клетчатой бумаге записывают в диагональный квадрат все числа с 1 до 25. Потом выделяют в центре квадрат 5 на 5.

Слайд 32

22 21 16 4 5 10 24 20 25 2 6 1 3 7 8 9 11 12 13 14 15 17 18 19 23 Теперь каждый числовой «уголок» перенесем к противоположной стороне квадрата

Слайд 33

3 16 9 22 15 20 8 21 14 2 7 12 13 1 19 24 5 18 6 25 11 4 17 10 23 Магический квадрат 5 на 5 готов, его сумма равна С 2 5 2 +1 5 ( 5 2 + 1) 5 2 = = 6 5