«Решение целых и дробно рациональных уравнений.»
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс)

Тема «Решение целых и дробно рациональных уравнений.»

Учитель: Незнамова Н.И

( Использовать при подготовке к ЕГЭ в 11 классе)

Рациональные уравнения – это уравнения, в которых и левая, и правая части рациональные выражения.

Этапы решения рационального уравнения.

1. Определить ОДЗ (ни один знаменатель не может равняться нулю).
2. Найти наименьший общий знаменатель всех дробей.
3. Умножить уравнение на этот знаменатель и решить полученное целое уравнение.
4. Включить в ответ только те корни, которые входят в ОДЗ.

Решение целых уравнений

Решение таких уравнений обычно сводится к преобразованию их в равносильные алгебраические уравнения. Достичь этого можно путем проведения равносильных преобразований уравнений в соответствии со следующим алгоритмом:

• сначала получим ноль в правой части уравнения, для этого на необходимо перенести выражение, которое находится в правой части уравнения, в его левую часть и поменять знак;
• затем преобразуем выражение в левой части уравнения в многочлен стандартного вида.

Мы должны получить алгебраическое уравнение. Это уравнение будет равносильным по отношению к исходному уравнению. Легкие случаи позволяют нам для решения задачи свести целое уравнение с линейному или квадратному. В общем случае мы решаем алгебраическое уравнение степени n

Пример 1

Решить уравнение: .

Решение:

В самом начале перенесем все слагаемые в левую сторону, чтобы справа остался 0. Получаем:

Теперь приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда ее числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.

Получаем следующую систему:

Первое уравнение системы – это квадратное уравнение. Прежде чем его решать, поделим все его коэффициенты на 3. Получим:

Коэффициенты данного уравнения: . Вычисляем дискриминант: 

Далее, по формуле корней квадратного уравнения находим:

Получаем два корня: ; .

Теперь решим второе неравенство: произведение множителей не равно 0 тогда и только тогда, когда ни один из множителей не равен 0.

Поскольку 2 никогда не равно 0, то необходимо, чтобы выполнялись два условия: . Поскольку ни один из полученных выше корней уравнения не совпадает с недопустимыми значениями переменной, которые получились при решении второго неравенства, они оба являются решениями данного уравнения.

Ответ: .

Пример 2

Решить уравнение: .

Решение

В самом начале перенесем все слагаемые в левую сторону, чтобы справа остался 0. Получаем:

Теперь приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

Данное уравнение эквивалентно системе:

Первое уравнение системы – это квадратное уравнение.

Коэффициенты данного уравнения: . Вычисляем дискриминант: 

Далее, по формуле корней квадратного уравнения находим:

Получаем два корня: ; .

Теперь решим второе неравенство: произведение множителей не равно 0 тогда и только тогда, когда ни один из множителей не равен 0.

Необходимо, чтобы выполнялись два условия: . Получаем, что из двух корней первого уравнения подходит только один – 3.

Ответ:3

 Пример 3

Решение:

Раскрыв скобки в знаменателях, получаем уравнение:

Полагая, что x2 + 3х + 2 = t  ,приходим к системе уравнений

Решив первое уравнение системы, получаем корни t1 = 2, t2 = 18. Далее, из второго уравнения системы, получаем корни исходного уравнения: .

Ответ :

Пример 4

Решение

Прибавим к числителю второй дроби выражение 2х - 2х, тождественно равное нулю:

Решив первое уравнение системы, получаем корни: t1 = -1, t2 = 2. Из второго уравнения системы, получаем корни исходного уравнения:

Ответ: