электронный справочник
учебно-методическое пособие по алгебре (8 класс)
Данный электронный справочник – это справочник, содержащий информацию по видам уравнений и способам их решения в школьном курсе 7-9 классов. Также данный справочник может быть использован учителями, работающими в 7 – 9 классах для работы на уроке при первичном закреплении изученных понятий и алгоритмов решений уравнений или повторении и систематизации знаний по данной теме при итоговом повторении и при подготовке к ОГЭ выпускников 9 классов по математике, а так же для исторических справок. Так же справочник может быть предложен ученикам 7 – 9 классов для самостоятельного повторения алгоритмов решение различных видов уравнений при наличии компьютера дома или возможности индивидуальной работы за компьютером в школе.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 дробно-рациональные уравнения | 1.75 МБ |
| квадратные уравнения | 1.81 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Глава I. Краткий теоретический справочник. Глава II. Алгоритмы решения типовых задач. Глава III. Учебно-тренировочные задания. Глава IV. По страницам истории. Содержание Содержание справочника Завершение работы
Глава I. Краткий теоретический справочник Дробные рациональные уравнения составлены из дробных выражений или дробных и целых выражений.
Алгоритм решения дробных рациональных уравнений. I способ Дробь равна нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, т.е Пример
II способ Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель. Решить получившееся целое уравнение. Исключить из его корней те числа, которые обращают в ноль общий знаменатель. Пример Алгоритм решения дробных рациональных уравнений
Алгоритм решения дробных рациональных уравнений III способ Найти допустимые значения дробей, входящих в уравнение. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель. Решить получившееся уравнение. Исключить корни, не входящие в допустимые значения дробей уравнения. Пример
Глава II. Алгоритмы решения типовых задач Решим уравнение: I способ. 25- х ² 3 х = 0 Решение: 25- х ² 3 х = 0 Ответ: -5; 5.
Глава II. Алгоритмы решения типовых задач Решим уравнение: I I способ. х-3 х-5 + 1 х = х+5 х (х-5) ОЗ: х ( х - 5) 2) х (х-5 ) ∙ х-3 х-5 + х (х-5 ) ∙ 1 х = х (х-5 ) ∙ х+5 х (х-5)
Решим уравнение: х ( х -3)+ ( х -5)= х +5 х 2 -3х + х -5 – х -5 =0 х 2 -3х -10 =0 Д =9 +40 = 49>0, 2 корня х 1 =5 х 2 = - 2 Проверим являются ли -2 и 5 корнями уравнения. Если х 1 = 5 , 5 (5-5)= 5∙0 = 0 Т.к. решение х = 5 обращает общий знаменатель в ноль, значит корнем не является. Если х 2 = -2 , (-2)∙ (-2 - 5) = 14 ≠0 – корень уравнения. Ответ: -2.
Глава II. Алгоритмы решения типовых задач Решим уравнение: III способ. х-3 х-5 + 1 х = х+5 х (х-5) 3) х (х-5 ) ∙ х-3 х-5 + х (х-5 ) ∙ 1 х = х (х-5 ) ∙ х+5 х (х-5) ОДЗ: х ≠ 0 и х – 5 ≠ 0, х ≠ 5. 2) ОЗ: х ( х - 5)
4) Решим уравнение: х ( х -3)+ ( х -5)= х +5 х 2 -3х + х -5 – х -5 =0 х 2 -3х -10 =0 Д =9 +40 = 49>0, 2 корня х 1 =5 х 2 = - 2 5) х 1 = 5 не удовлетворяет ОДЗ, значит корнем не является. х 2 = -2 – корень уравнения. Ответ: -2. Завершение работы Вернуться к содержанию
Глава III . Учебно-тренировочные задания Дорогой друг! Тебе предоставляется возможность проверить свои знания по теме «Дробные рациональные уравнения». Данный работа состоит из 5 заданий уровня А и 3 задания уровня В. Уровень А Уровень В Вернуться к содержанию Завершение работы
Уровень А Решите уравнение: №1. №2. №3. №4. №5. Проверь себя! Проверь себя! Проверь себя! Проверь себя! Проверь себя!
Уровень В Решите уравнение: №1. №2. №3. Проверь себя! Проверь себя! Проверь себя!
№1. Ответ: х=-45. Проверь себя! Уровень А
№2. Ответ: -11; 1. Проверь себя! Уровень А
№3. Ответ: 3;4. Проверь себя! Уровень А
№4. Ответ: -3. Проверь себя! Уровень А
№5. Ответ: 3; 12. Проверь себя! Уровень А
Проверь себя! №1. Решение: ОЗ: 15+х 2х = 45 + 3х, 2х – 3х = 45, - х = 45, х = -45. Если х = -45, то 15+(-45)= -30 ≠0, значит х = -45 – корень уравнения. Ответ : - 45. Уровень А
Проверь себя! №2. Решение: ОДЗ: 3-х ≠0 и х +1≠0 х ≠0 х ≠ -1 ОЗ: (3-х)(х+1) (2х + 1)(х+1)=(4-х)(3-х), 2х² + х + 2х + 1 = 12 – 3х – 4х + х ², 2х² + х + 2х + 1 - 12 + 3х + 4х - х ² =0, х ² + 10х -11 =0, по теореме обратной теореме Виета х ₁ + х ₂ = - 10, х ₁∙ х ₂ = -11 х₁=-11 – корень уравнения, х₂=1 – корень уравнения. Ответ : - 11; 1. Уровень А
Проверь себя! №3. Решение: ОДЗ: х ² ≠0 х ≠0 ОЗ: х ² 12 + х ² =7х, х ² - 7х + 12 =0 по теореме обратной теореме Виета х ₁ + х ₂ = 7, х ₁∙ х ₂ = 12 х₁= 3 – корень уравнения, х₂= 4 – корень уравнения. Ответ : 3; 4. Уровень А
Проверь себя! №4. Решение: ОЗ: (х-1)(х+2) 3х( х + 2) – 2х( х - 1)= 3х – 6, 3х ² + 6х – 2х² + 2х -3х + 6 =0, х ² + 5х + 6 =0 D = 5 ² -4 ∙ 6 = 1>0, 2 корня. х₁= = -3, х₂= = -2. Если х₁= -3, (-3-1)(-3 + 2) = 4 ≠0, значит х₁= -3 – корень уравнения. Если х₂= -2, (-2 + 1)(-2 + 2)=0, значит х₂= -2 не является корнем уравнения. Ответ : -3. Уровень А
Проверь себя! №5. Решение: х ² - 15х + 36 = 0, D = 225 – 4∙ 36 = 81 >0 , 2 корня х ₁ = = 3, х ₂ = = 12. Ответ : 3, 12. Уровень А
№1. Ответ: х= -3; . Проверь себя! Уровень В
№2. Ответ: х= -4. Проверь себя! Уровень В
№3. Ответ: 2; 9. Проверь себя! Уровень В
Проверь себя! №1. Решение: ОДЗ: 3(х-2)(х+2) ≠0 х - 2≠0 и х+2≠0 х≠2 х≠-2 (6-х) – 2 ∙3 ( х + 2)= 3( х ² - 4 ), 6 – х - 6х – 12 = 3х² - 12, - 3х² - 7х +6 =0, 3х² + 7х - 6 =0, D = 7² - 4∙ 3∙(-6) = 49 + 72 =121>0, 2 корня х ₁ = = -3, х ₂ = . корень уравнения корень уравнения Ответ : -3; . Уровень В
Проверь себя! №2. Решение: ОДЗ: (2-х)(2+х) ≠0 2-х≠0 и 2+х≠0 х≠2 х≠-2 36 + 2(2-х)(2+х)=(1-х)(2-х)+ 9(2+х), 36 +2(4-х²) = 2-2х – х + х ² + 18 +9х, 36 + 8 -2х² -2 +3х –х²-18-9х=0, -3х² -6х + 24 = 0, х ² +2х -8 = 0, по теореме обратной теореме Виета х ₁ + х ₂ = -2, х ₁∙ х ₂ = -8 х₁= 2 не является корнем уравнения, х₂= -4 – корень уравнения. Ответ : -4. Уровень В
по теореме обратной теореме Виета х ₁ + х ₂ = 11, х ₁∙ х ₂ = 18. х₁= 2 - корень уравнения, х₂=9 – корень уравнения. Ответ : 2;9. №3. Решение: Разложим на множители знаменатель каждой дроби: х ² - х – 12 = ( х )( х ) по теореме обратной теореме Виета х ₁ + х ₂ = 1, х ₁∙ х ₂ = -12 х ₁ = -3; х ₂ = 4 ОДЗ: (х+3)(х-4)(х+1) ≠0 х+3≠0 и х-4≠0 и х+1≠0 х≠-3 х≠4 х≠-1 2(х+1)+6(х-4)=( х-4 )(х+1), 2х +2 +6х-24=х²-4х+х-4, - х ² +11х -18 = 0, х ² -11х +18 = 0, Проверь себя! Уровень В + 3 - 4 х ² +4х +3 = ( х )( х ) по теореме обратной теореме Виета х ₁ + х ₂ =-4, х ₁∙ х ₂ = 3 х ₁ = -3; х ₂ = -1 + 3 +1
Глава IV . По страницам истории Знаменитый французский учёный Франсуа Виет(1540-1603) был по профессии адвокатом. Свободное время он посвящал астрономии. Занятия астрономией требовали знания тригонометрии и алгебры. Виет занялся этими науками и вскоре пришёл к выводу о необходимости их усовершенствования, над чем и проработал ряд лет. Благодаря его труду, алгебра становится общей наукой об алгебраических уравнениях, основанной на буквенном исчислении. Поэтому стало возможным выражать свойства уравнений и их корней общими формулами.
Глава IV . По страницам истории Виет сделал много открытий, но сам он больше всего ценил зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, которая теперь называется «теоремой Виета». Франсуа Виет отличался необыкновенной работоспособностью. Очень занятый при дворе французского короля, он находил время для математических работ, чаще всего за счёт отдыха. Иногда, увлёкшись каким-нибудь исследованиями, он проводил за письменным столом по трое суток подряд. Завершение работы
Спасибо за работу с электронным справочником! Научился сам - научи другого. Содержание справочника Вернуться к содержанию
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Глава I. Краткий теоретический справочник. §1 . Определение квадратного уравнения. §2. Неполные квадратные уравнения. §3. Формула корней квадратного уравнения. §4. Формула корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом. §5. Приёмы устного решения квадратных уравнений. §6. Теорема Виета. § 7 . Биквадратные уравнения. Глава II. Алгоритмы решения типовых задач. Глава III. Учебно-тренировочные задания. Глава IV. По страницам истории. Содержание Содержание справочника Завершение работы
Квадратным уравнением называется уравнение вида a x ² + b x + c = 0 где х – переменная, a, b и c – некоторые числа, причём а ≠ 0. a x² + b x + c = 0 Первый /старший/ коэффициент Второй коэффициент Свободный член Глава I. Краткий теоретический справочник Квадратное уравнение Неполные квадратные уравнения Приведённое квадратное уравнение x ² + p x + q = 0 Уравнение второй степени = !
Неполные квадратные уравнения хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю ax² +c = 0 , b =0 ax² = -c, x² = - Пример: 3x ² -27 = 0, 3x ² = 2 7 , x ² = 9, х=-3 или х=3. Ответ: -3; 3. ax² + bx = 0 , с=0 x (ах + b ) = 0, x = 0 или ax+b = 0 , ax=-b, x= - . Пример: 2 x ² +7х = 0, х (2х +7) = 0, х = 0 или 2х +7 = 0, 2х = -7, х = -3,5. Ответ: 0; -3,5. ax² = 0 , b =0 и с=0 x² = 0 : а , x² = 0, х=0. Пример: 3x ² = 0, x ² = 0:3, x ² = 0, х=0 . Ответ: 0.
«ДИСКРИМИНАНТ» - РАЗЛИЧИТЕЛЬ Д = в ² - 4ас Д > 0 Д = 0 Д < 0 Уравнение имеет два действительных корня. Уравнение имеет два равных действительных корня . Уравнение не имеет корней. х 1 = ; х 2 = . х 1,2 = - Формула корней квадратного уравнения a x² + b x + c = 0
Д ₁ = =k ² - ac = - ac Д ₁ > 0 Д ₁ = 0 Д ₁ < 0 Уравнение имеет два действительных корня. Уравнение имеет два равных действительных корня . Уравнение не имеет корней. х = . Формула корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом a x² + b x + c = 0 , если b = 2 k ax² + 2kx + c =0
Приёмы устного решения квадратных уравнений. a x ² + b x + c = 0. Основа : Рассмотрим функцию f (x) = a x ² + b x + c ; f ( 1 ) = a + b + c; f ( - 1 ) = a - b + c. 1.Если a + b + c = 0, то один корень уравнения x = 1, а второй x = . 2.Если a - b + c = 0, то один корень уравнения x = - 1, а второй x = - 3. Если a = c, b = a ² + 1, то один корень уравнения x = - a , а второй x = - . 4. Если a = c, b = -(a² + 1), то один корень уравнения x = a , а второй x = .
Приведённое квадратное уравнение x ² + px + q =0 Теорема Виета Если х ₁ и х ₂ корни приведённого квадратного уравнения х ² + p x + q = 0 , то x ₁ + x ₂ = - p , а x ₁ ∙ x ₂ = q . Обратное утверждение: Если числа m и n таковы, что m + n = - p , mn = q , то эти числа являются корнями уравнения х ² + p x + q = 0 . Обобщённая теорема: Числа х ₁ и х ₂ являются корнями приведённого квадратного уравнения х ² + p x + q = 0 тогда и только тогда, когда x ₁ + x ₂ = - p , x ₁∙ x ₂ = q . Следствие: Формула разложения квадратного трёхчлена на множители: а х ² + b x + c = a ( х – х ₁ )( х – х ₂ ) Старший коэффициент равен 1
Биквадратное уравнение a x ⁴ + b x ² + c = 0 а≠0, b и c –заданные числа Заменой х ² = t – сводится к квадратному уравнению. 9х⁴ +17х² -2 = 0, Пусть х ² = t , тогда 9 t² +17t – 2 =0 , t = -2 или t = , Значит х ² = -2 или х ² = Нет корней х ₁ = , х ₂ = - Ответ: - , .
Задача 1. Решите уравнение: Глава II. Алгоритмы решения типовых задач а) 10х² + 5х = 0, 5х(2х +1)=0, 5х=0 или 2х+1=0, х=0 2х= -1, х= -0,5. Ответ: -0,5; 0. б) 25 - 100х² = 0, I сп : -100х² = -25, х ² = 0,25, х ₁ = - 0,5 или х₂= 0,5. Ответ: -0,5; 0,5. II сп : (5-10 х ) (5+10х)=0, 5-10х=0 или 5+10х =0, -10х = -5 10х =-5, х= 0,5 х= -0,5, Ответ: -0,5; 0,5. Уровень А
Задача 2. Решите уравнение: Глава II. Алгоритмы решения типовых задач а) 2х² - 7х +5 = 0, D = b² - 4ac = (-7)²- 4∙2∙5 = 49-40 =9>0 , 2 корня; =3. х ₁ = = = 2,5, х ₂ = = =1. Ответ: 1; 2,5. а) 4х² - 8х - 5 = 0, а=4, b = -8, с= -5, k = -4 D ₁ = k² - ac = (-4)²- 4∙(-5 )= 16 + 20 =36 >0 , 2 корня; = 6 . х ₁ = = = -0,5 ; х ₂ = = =2,5. Ответ: -0,5; 2,5. Уровень А
Ситуации, в которых может использоваться теорема Виета . Проверка правильности найденных корней. Определение знаков корней квадратного уравнения. Устное нахождение целых корней приведённого квадратного уравнения. Составление квадратных уравнений с заданными корнями. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Глава II. Алгоритмы решения типовых задач
Задача 5. Решите уравнение: (у + 1) ∙ у = 12. Глава II. Алгоритмы решения типовых задач Уровень А Решение: (у +1)· у =12, у² + у -12 = 0, По теореме , обратной теореме Виета: у₁ + у₂ = -1, у₁ ∙ у₂ = -12 у₁ = -4, у₂ = 3. Ответ: -4 ; 3.
Задача 4. Какое выражение надо подставить вместо многоточия, чтобы было верным равенство: 2х² +5х -3 = 2(х+3) (…)? Решение: Воспользуемся формулой разложения квадратного трёхчлена на множители. 2х ² + 5х -3 =0, D = 5² - 4∙ 2 · (-3) = 25 + 24 = 49>0, 2 корня х ₁ = = -3, х ₂ = = 0,5 Ответ: х -0,5 . Глава II. Алгоритмы решения типовых задач Уровень А а х ² + b x + c = a ( х – х ₁ )( х – х ₂ ) 2х² +5х -3 = 2 ( х - ) ( х – ) 2х² +5х -3 = 2 ( х +3) ( х – 0,5)
Задача 5. Решите уравнение: х ⁴ + 2х² -8 = 0. Глава II. Алгоритмы решения типовых задач Уровень В Решение: Пусть х ² = t , t² +2t -8 = 0 , D₁ = k² - ac = 1-1∙ (-8) = 9 >0, 2 корня . =3 t₁ = = -4, t₂ = = 2. x² = -4 , х ² =2 корней нет х ₁ = , х ₂ = - . Ответ: - ,
Глава III . Учебно-тренировочные задания Дорогой друг! Тебе предоставляется возможность проверить свои знания по теме «Квадратные уравнения». Данная работа состоит из 5 заданий уровня А и 5 заданий уровня В. Уровень А Уровень В Вернуться к содержанию Завершение работы
№1. Решите уравнение: а) 64 – 25 х ² =0; б) х ² - х – 6 = 0; в) х ( х + 6) = 2х -3; г) 2у (у - 3) = -9; №2. Соотнесите квадратные уравнения и их корни: 1) х ² + 5х – 6 =0 2) х ² -6х +9 =0 3) х ( х - 2) = 0 А) х ₁ = 1, х ₂ = -6 Б) х ₁ = 0, х ₂ = 2 В) х = 3. №3. Укажите отрицательный корень уравнения 5х² + 7 ( х - 2) = 4х² - 14. №4. Какое выражение надо подставить вместо многоточия, чтобы было верным равенство: 3 3х² + 5х – 2 = 3 ( х + 2) (…)? №5. Сумма и произведение корней некоторого квадратного уравнения равны соответственно 2 и -3. Определите это уравнение. А. х ² + 5х -6 =0 Б. Х² - 5х – 6= 0 В. х ² + 2х – 3 = 0 Г. х ² - 2х – 3 = 0. Уровень А Проверь себя! Проверь себя! Проверь себя! Проверь себя! Проверь себя!
№1. Решите уравнение: х ³ + 3х² - 4х – 12 = 0. №2. Решите уравнение: х ⁴ - 7х² +12 = 0. №3. В ыясните , имеет ли корни уравнение: х + √ х - 20 =0 . №4. Решите уравнение: ( х ² + 4х)( х ² + 4х - 17) = -60. №5. Решите уравнение: ( х ² - 7х +13) ² – ( х - 3) ( х - 4) = 1. Уровень В Проверь себя! Проверь себя! Проверь себя! Проверь себя! Проверь себя!
№1. Ответы: а) х ₁ = - 1,6; х ₂ = 1,6 б) х ₁ = - 2; х ₂ = 3. в) х ₁ = - 3; х ₂ = -1. г) корней нет. Проверь себя! Уровень А
№2. Ответ: Проверь себя! 1 2 3 А В Б Уровень А
№3. Ответ: х = -7. Проверь себя! Уровень А
№4. Ответ: х - . Проверь себя! Уровень А
№5. Ответ: Г Проверь себя! Уровень А
№1. а) Проверь себя! 64 – 25 х ² =0 (8 – 5х) (8+5х)=0, 8-5х = 0 или 8+5х = 0, -5х = -8 5х = -8, х = 1,6 х = -1,6. Ответ : -1,6 ; 1,6. Уровень А
№1. б) Проверь себя! х ² - х – 6 = 0, По теореме обратной теореме Виета х ₁ + х ₂ = 1 х ₁ ∙ х ₂ = -6 х ₁ = -2, х ₂ = 3. Ответ : -2 ; 3. Уровень А
№1. в) Проверь себя! х ( х + 6) = 2х -3, х² +6х = 2х -3, х ² + 6х – 2х +3 =0, х ² + 4х +3 = 0, D ₁ = 2² - 3·1 = 1>0, 2 корня х ₁ = = -3, х ₂ = = -1. Ответ : -3 ; -1. Уровень А
№1. г) Проверь себя! 2у (у - 3) = -9, 2у² - 6у +9 = 0, D = (-6)² - 4·2·9 = 36 – 72 = -36 < 0, корней нет Ответ : корней нет. Уровень А
№2. Проверь себя! Решение: Решим уравнение х ( х - 2) = 0 х=0 или х -2 =0, х = 2. Ответ: 3 - Б. По теореме обратной теореме Виета: х ² + 5х – 6 =0, х ₁ + х ₂ = -5, х ₁∙ х ₂ = -6, х ₁ = -6 , х ₂ = 1. Ответ: 1-А. Значит 2-В. Ответ: 1 2 3 А В Б Уровень А
№3. Проверь себя! Решение: 5х² + 7 ( х - 2) = 4х² - 14, 5х² + 7х -14 = 4х² - 14, 5х² - 4х² + 7х -14 + 14 =0, х ² + 7х = 0, х ( х + 7) = 0, х = 0 или х + 7 = 0, х = - 7. Ответ : -7. Уровень А
№4. Проверь себя! 3х² + 5х – 2 = 3 ( х + 2) (…) Решим соответствующее квадратное уравнение: 3х² + 5х – 2 = 0 D = 5² -4 ∙3 ∙ (-2)= 25 + 24 = 49>0, 2 корня. х ₁ = - 2, х ₂ = 3х² + 5х – 2 = 3 ( х + 2) ( х - ) Ответ : х - Уровень А
№5. Проверь себя! Решение: По теореме обратной теореме Виета: х ₁ + х ₂ = 2, х ₁∙ х ₂ = -3, Составим уравнение по условию: х ² - 2х -3 = 0 Ответ : Г. Уровень А
№1. Проверь себя! Ответ : -3; -2; 2. Уровень В
№2. Проверь себя! Ответ : - ; ; -2; 2. Уровень В
№3. Проверь себя! Ответ : 16. Уровень В
№4. Проверь себя! Ответ : -6; -5; 1; 2. Уровень В
№5. Проверь себя! Ответ : 3; 4. Уровень В
№1. Проверь себя! Решение: х ³ + 3х² - 4х – 12 = 0, ( х ³ + 3х² ) – (4х + 12) = 0, х ²( х + 3) – 4( х + 3) = 0, ( х + 3) ( х ² - 4) = 0, х + 3 = 0 или х ² - 4 = 0, х ₁ = -3 ( х - 2)( х + 2) = 0, х – 2 = 0 или х + 2 = 0 х ₂ = 2 х ₃ = - 2 Ответ : -3; -2; 2. Уровень В
№2. Проверь себя! Решение: х ⁴ - 7х² +12 = 0 Пусть х ² = t , t >0, тогда t² - 7t + 12 = 0? По теореме обратной теореме Виета t ₁ + t ₂ = 7, t ₁∙ t ₂ = 12, t ₁ = 3 ; t ₂ = 4. х ² = 3 или х ² = 4 х ₁ = - , х ₃ = -2, х ₂ = х ₄ = 2. Ответ : - ; ; -2; 2. Уровень В
№3. Проверь себя! Решение: х + √ х - 20 =0, ( √х ) ² + √х – 20 = 0, 1) х > 0 2) Пусть √х = t , t >0 тогда t² + t – 20 = 0, D = 1 – 4 (-20) = 81>0, 2 корня t₁ = -5 – не удовлетворяет условию t >0 , t₂ = 4 , х = 16. Ответ : 16. Уровень В
№4. Проверь себя! Решение: ( х ² + 4х)( х ² + 4х - 17) = -60, Пусть х ² + 4х = t, тогда t (t - 17) = - 60, t² - 17t + 60 = 0? По теореме обратной теореме Виета: t ₁ + t ₂ = 17, t ₁∙ t ₂ = 60, t ₁ = 5; t ₂ = 12. х ² + 4х = 5 или х ² + 4х = 12 х ² + 4х -5 = 0 х ² + 4х -12 = 0 По теореме обратной теореме Виета: х ₁ + х ₂ = -4, х ₁ + х ₂ = -4, х ₁∙ х ₂ = -5, х ₁∙ х ₂ = -12, х ₁ = -5; х ₂ = 1, х ₃ = -6; х ₄ = 2 Ответ : -6; -5; 1; 2. Уровень В
№5. Проверь себя! Решение: ( х ² - 7х +13) ² – ( х - 3) ( х - 4) = 1, ( х ² - 7х +13) ² – ( х ² - 7х +12 ) = 1, ( х ² - 7х +13) ² – ( х ² - 7х +12 ) -1 = 0, Пусть х ² - 7х + 13= t, тогда t² - ( t – 1) - 1 = 0 , t² - t + 1 - 1 = 0 , t² - t = 0 , t (t - 1) =0, t = 0 или t -1 = 0 t = 1 . х ² - 7х + 13= 0 или х ² - 7х + 13= 1 D = 49 – 4 ∙ 13 = 49 – 52 = -3 <0 х ² - 7х + 12 = 0 уравнение не имеет корней По теореме обратной теореме Виета: х ₁ + х ₂ = 7, х ₁∙ х ₂ = 12, х ₁ = 3; х ₂ = 4. Ответ : 3; 4. Уровень В
Из истории решения квадратных уравнений. Уравнения 2-ой степени умели решать еще в Древнем Вавилоне во II тысячелетии до н.э. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид – при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактатах. Глава IV . По страницам истории
Формула корней квадратного уравнения « переоткрывалась » неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принадлежит индийскому математику Брахмагупте (около 598 г.). Среднеазиатский ученый ал-Хорезми ( IX в.) в трактате « Китаб аль-джебр валь - мукабала » получил эту формулу методом выделения полного квадрата с помощью геометрической интерпретации. Из истории решения квадратных уравнений.
Брахмагупт ( около 598-660 г.г.) Индийский математик и астроном. Основное сочинение «Усовершенствованное учение Брахмы» (« Брахмаспхутасиддханта », 628 г.), значительная часть которого посвящена арифметике и алгебре. Брахмагупта , изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ax2 + bх = с, а> 0. (1) В уравнении (1) коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.
Евклид (3 в. До н.э.) Древнегреческий математик, работал в Александрии. Главный труд «Начала»(15 книг), содержит основы античной математики, элементарной геометрии, теории чисел, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов, оказал огромное влияние на развитие математики.
Аль-Хорезми Наибольших успехов в математике достиг согдиец Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми (то есть, родом из Хорезма - с берегов Сыр-Дарьи ). Он работал в первой половине 9 века и был любимцем ученейшего из халифов - Маамуна (сына знаменитого Гаруна ар-Рашида ). Главная книга Хорезми названа скромно: "Учение о переносах и сокращениях", то есть техника решения алгебраических уравнений. По-арабски это звучит "Ильм аль-джебр ва " ль-мукабала "; отсюда произошло наше слово "алгебра". Другое известное слово - "алгоритм", то есть четкое правило решения задач определенного типа - произошло от прозвания " аль-Хорезми ".
Спасибо за работу с нашим электронным справочником! Научился сам - научи другого. Содержание справочника
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
ЭЛЕКТРОННЫЙ СПРАВОЧНИК СЕТЕВЫХ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ СООБЩЕСТВ
Каталог сетевых педагогических сообществ...
Электронный справочник по геометрии для учащихся 7,8 классов "Геометрические фигуры и их свойства"
Электронный справочник содержит определения основных геометрических фигур, свойства и признаки треугольников и практические задания для оценки знаний учащихся по данным темам....
Электронный справочник по работе в среде программирования PASCAL
Справочное руководство по языку парограммирования Pascal состоит из нескольких файлов. Может использоваться в качестве методического пособия по работе в данной среде программирования....
Электронный справочник "О семи чудесах Кузбасса - на русском и английском языках"
Уважаемые ребята! Наш блог мы посвятили теме «О семи чудесах Кузбасса – на русском и английском языках». Вы можете не только узнать много интересных фактов о местах Кемеровской области на русском язык...
Открытый урок «Представление результатов выполнения расчетных задач средствами деловой графики на примере статистического расчета неразрезных балок, выполненном в программном комплексе «Электронный справочник инженера»
Принял участие в семинаре-практикуме областного научно-методического объединения преподавателей информатики ОУ СПО «Особенности преподавания предмета Информатика в соответствии с ФГОС СОО»...
ЭЛЕКТРОННЫЙ СПРАВОЧНИК УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ ЧЕЛЯБИНСКОЙ ОБЛАСТИ
Человек не может хранить в памяти все: события прошлого и настоящего, даты, факты, названия, имена. И когда нужен ответ на вопрос или какая-то справка, на помощь приходят энциклопедии, словари и справ...
Электронный справочник "Храмы Древней Руси"
Электронный справочник "Храмы Древней Руси" (проект ученика 7 класса Велько Александра)...