Элементы комбинаторики. Перестановки.
презентация к уроку по алгебре (9 класс)

Слайд 1

Элементы комбинаторики г.Москва , НЧУ ОО ЦПШ «Косинская», учитель математики Клейникова Виктория Германовна 9 класс Часть 2 Учебник «Алгебра. 9 класс» Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. под редакцией Теляковского С.А., М.: Просвещение.

Слайд 2

Содержание 4 1 2 3 5 Решаем самостоятельно Домашнее задание Что такое «факториал»? Перестановки Решаем на уроке

Слайд 3

Что такое «факториал»? Произведение всех натуральных чисел от 1 до n ( n > 1) обозначают n! ( читают «эн факториал»): 1 · 2 · 3 · … · n = n! Например, 2! = 1 · 2, 3! = 1 · 2 · 3, 4! = 1 · 2 · 3 · 4, 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 Считают, что 1! = 1 0! = 1

Слайд 4

Перестановки Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества, являются перестановки . Например, буквы a и b могут быть записаны в ряд двумя способами: ab или ba

Слайд 5

Перестановки Вспомним ПРИМЕР 2. Запишите все трехзначные числа, в записи которых используются цифры 1, 2 и 3 без повторения. 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 В решении 1-м способом мы ставили на 1-ое место сначала цифру 1, на 2-е место одну из цифр 2 или 3, на 3-е место – оставшуюся цифру. Далее на первое место мы ставили цифру 2, в конце на первое место ставили цифру 3. Получили 6 чисел, полученных перестановкой цифр 1, 2 и 3. 3 1 2 3 2 1 Первой цифрой может быть любая из 3-х цифр, второй цифрой – любая из 2-х оставшихся цифр, третьей цифрой – одна цифра. По правилу умножения количество чисел, в записи которых используются цифры 1, 2 и 3 без повторения, равно: 3 · 2 · 1 = 3!

Слайд 6

Перестановки Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке. Число перестановок из n элементов обозначают символом P n ( читается « P из n », от франц. permulation - перестановка ) . Число перестановок рассчитывается по формуле: P n = n!

Слайд 7

Решение задач Задача 1. … Проказница-Мартышка, Осел, Козел да Косолапый Мишка Затеяли сыграть квартет… Выясните, сколькими способами они могут сесть со своими инструментами на четыре места. Решение. P 4 = 4 ! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24 ( способа) А вы, друзья, как ни садитесь, Все в музыканты не годитесь.

Слайд 8

Решение задач Задача 2. Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6 ? Решение. Из цифр 0, 2, 4, 6 можно получить P 4 перестановок. Но из них надо исключить те перестановки, которые начинаются с 0, так как натуральное число не может начинаться с цифры 0. Сколько таких перестановок? P 3 Таким образом, P 4 - P 3 = 4 ! – 3! = 24 – 6 = 18

Слайд 9

Решение задач Задача 3. Имеется девять различных книг, четыре из которых – учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом? Решение. Сначала будем рассматривать все учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не 9, а … 6 книг. Сколькими способами это можно сделать? P 6 2. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить перестановки учебников. Сколько перестановок учебников можно сделать? P 4 3.Таким образом, искомое число способов расположения книг на полке равно… P 6 · P 4 = 6 ! · 4! = 720 · 24 = 17 280

Слайд 10

Решаем на уроке №738 . Сколько среди четырехзначных чисел, составленных из цифр 3, 5, 7, 9 (без их повторения) таких, которые: а)начинаются с цифры 3? б) кратны 15 ? Решение. а) P 3 = 3 ! = 1 · 2 · 3 = 6 б) На 3 будет делиться любое число, составленное из данных чисел, так как сумма цифр равна 24 (делится на 3). Чтобы число делилось на 5, оно должно оканчиваться на 5. Таких чисел P 3 = 3 ! = 6

Слайд 11

Решаем на уроке №741 с. 190 . Семь мальчиков, в число которых входят Олег и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций, удовлетворяющих условию: а) мальчики располагаются в произвольном порядке. P 7 = 7 ! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 5040 б) Олег должен стоять в начале ряда, а Игорь – в конце. Таких комбинаций: P 5 = 5 ! = 120 в) Олег и Игорь должны стоять рядом в произвольном порядке. Таких комбинаций: P 6 · P 2 = 6 ! · 2! = 720 · 2 = 1440 Олег Игорь г) Олег и Игорь должны стоять рядом, причем Игорь должен находиться впереди Олега. Таких комбинаций: P 6 = 6 ! = 720

Слайд 12

Решаем самостоятельно № 733 с. 189 № 735 № 736

Слайд 13

Домашнее задание №№ 732, 734, 737, 739, с. 189