Производная, 11 класс
план-конспект урока по алгебре (11 класс)

 Класс 11    Понятие о производной функции, физический и геометрический смысл производной    

 Уравнение касательной к графику функции.

Цели урока:

1) ввести понятие производной;

2) рассмотреть задачи, приводящие к понятию производной;

3) закрепить умение применять физический и геометрический смысл производной на конкретных примерах.

Ход урока.

 I. Организационный момент   (3 мин)

Сообщить тему и цели урока.

II. Актуализация знаний учащихся.(10   мин)

• Дать определение предела функции в точке. Какая функция называется непрерывной в точке?
• Дать определение приращения аргумента и приращения функции.

III. Изучение нового материала.    (20мин.)

Слайд №2

Понятие предела имеет большой философский смысл. Окружающий нас мир бесконечен, бесконечны пространство и время. Если какое-либо явление можно описать некоторым законом, т. е. функцией, то предел этой функции на бесконечности может нам многое «рассказать» о будущем этого явления.

Слайд №3

С понятием предела непосредственно связано понятие производной. Различные задачи из различных областей знания приводят к одной и той же математической модели – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремиться к нулю. Впервые название этой модели  и ее обозначение ввел немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1675 году – основоположник дифференциального и интегрального  исчисления. Лейбниц был философом и лингвистом, историком и биологом, дипломатом и политическим деятелем, математиком и изобретателем. Он в 1700 году организовал академию в Берлине, он же рекомендовал Петру I   организовать академию в России. При организации Петербургской Академии наук в 1725 г. пользовались планами Лейбница.

Слайд №4  

Итак, определение производной:

Производная непрерывной функции в данной точке равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.  

f ′ (𝑥) = .

Обозначается f ′(х)  или df/ dx        , где df – дифференциал функции,

dx - дифференциал аргумента (дифференциал – бесконечно малое приращение).

Если функция имеет производную в точке хо, то ее называют дифференцируемой в точке хо. Процедуру нахождения производной функции называют дифференцированием функции.

Мы рассмотрим две задачи, которые приводят к понятию производной. 

Слайд №5

I. Механическая задача.

Итальянский ученый Г. Галилей, изучая свободное падение тел, экспериментальным путем определил зависимость пути S, пройденного телом  за время t: S = gt2/2, где g – ускорение свободного падения. При свободном падении скорость тела v растет, движение неравномерное. Как найти скорость тела в любой момент времени, т.е. мгновенную скорость v(t)? Мы знаем, что при равномерном движении v=S/t. При неравномерном движении по этой формуле находится средняя скорость на всем пути: vср=∆S/∆t. Рассмотрим два момента времени: t и t+∆t, причем ∆t – малый промежуток времени. Тогда за этот промежуток времени тело пройдет путь ∆S=S(t+∆t) – S(t) и vср=∆S/∆t. Если ∆t🡪0, то vср🡪v(t), значит. = v(t),   v(t)

Вывод. Физический смысл производной заключается в том, что мгновенная скорость – это производная пути по времени:

                                         v = S′ (t)  

Вспомним определение ускорения: а = ∆v/∆t, но если ∆t🡪0, то      

 а =   Итак, задача механики о нахождении скорости тела в любой момент времени решена. Нужно только вычислить предел отношения приращения пути к приращению времени, если приращение времени стремится к нулю, т. е. найти производную пути.

II. Еще одна задача, приводящая к понятию производной, – задача о касательной к графику функции 𝒚 = f(𝑥).

Слайд №6

Рассмотрим график непрерывной функции и проведем в точке А секущую и касательную к графику

Прямая АВ – секущая, ee уравнение y = kсекх +b, где kсек – угловой коэффициент секущей,

kсек =∆y/∆x = tg αсек, где αсек – угол наклона секущей (отсчитывается от положительного направления  оси Ох против часовой стрелки).

Пусть ∆х стремится к нулю, тогда секущая стремится к своему предельному положению – к касательной в точке А, т. е. угловой коэффициент касательной равен пределу углового коэффициента секущей: = kкас, причем kкас = tg α, где α - это угол наклона касательной, отсчитываемый от положительного направления оси Ох.

Значит, kкас = tg α =                                  

Вывод. Геометрический смысл производной заключается в том, что угловой коэффициент или тангенс угла наклона касательной к графику функции в данной точке с абсциссой 𝑥 равен производной функции в этой точке:  

                             kкас = tg α  = f ′ (𝑥)

        IV.Закрепление изученного материала, рефлексия

V. Итог урока