Задачи с экономическим содержанием
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс)

Слайд 1

Желтова А.В., учитель математики г.о.г . Кулебаки 2018 Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение школа №8 Задачи с экономическим содержанием

Слайд 2

Задачи с экономическим содержанием Задачи о вкладах Задачи о кредитах Задачи оптимизации производства товаров и услуг

Слайд 3

Критерии оценивания задания №17

Слайд 4

Задачи оптимизации производства товаров и услуг Максимизация прибыли или количества товара Минимизация затрат

Слайд 5

Базовые задачи Найдите наименьшее значение выражения 25 x 2 +16 y 2 , если 5 x +4 y =30 Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения 2 x + 7 y , если 4 x 2 +49 y 2 =32 Найдите наибольшее значение выражения . При каком значении x оно достигается?

Слайд 6

Найдите наименьшее значение выражения 25 x 2 +16 y 2 , если 5 x +4 y =30 Введём функцию z= 25 x 2 +16 y 2 5 x +4y =30 4y = z= z= z= +900 z= +18) Наименьшего значения z достигает в той же точке, в которой достигает наименьшего значения квадратичная функция y= + 18 Оно достигается в точке y( )=9-18+18=9 z = 50 Ответ: 450

Слайд 7

Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения 2 x + 7 y , если 4 x 2 +49 y 2 =32 Введём функцию z= 2 x + 7 y 7 y = z- 2 x Так как 4 x 2 +49 y 2 = 32, то + + Для решения задачи найдём наибольшее и наименьшее значения z , при которых квадратное уравнение =0 имеет хотя бы один корень, т.е. D D=16 = = 16 ( 6 16(6 ( z- 8) ( z +8) z , поэтому наименьшее значение 2 x + 7 y равно -8, а наибольшее значение 2 x + 7 y равно 8 . z + - + -8 8

Слайд 8

Найдите наибольшее значение выражения . При каком значении x оно достигается? Данное выражение определено при x Исследуем функцию с помощью производной. + = =0 =0 9( ) = 16( ) -100x = - 199 x= 1,99 1,99 x + - Наибольшее значение функция принимает при x =1,99 y(1,99)= +4 Ответ: 30 при х=1,99

Слайд 9

Работа в парах

Слайд 10

Сергей является владельцем двух заводов в разных городах . На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 5 t единиц товара, а если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t 2 часов неделю, то за эту неделю они производят 12 t единиц товара. За каждый час работы ( на каждом из заводов) Сергей платит рабочему 400 рублей. Сергей готов выделять 608 400 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Слайд 11

Пусть на заводе расположенном в первом городе рабочие трудятся часов, а на заводе расположенном во втором городе - часов, тогда за неделю производят единиц товара. Затраты на оплату труда Введём функцию z= 5 x + 12 y 12 y = z- 5 x y= = 608400 0 D=100 = 219024 = 144 (169 144(169 (z- 507) (z+507) -507 507 z + - +

Слайд 12

z -507 507 + - + Наибольшее значение z= 5 x + 12 y равно 507 Покажем, что оно достигается при натуральных значениях переменных : 0 0 x =15 Ответ: 507 единиц товара

Слайд 13

Иван является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 3 t единиц товара, а если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 4 t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Иван платит рабочему 400 рублей. Ивану нужно каждую неделю производить 225 единиц товара. Какую наименьшую сумму придётся тратить еженедельно на оплату труда рабочих ?

Слайд 14

Пусть на заводе расположенном в первом городе рабочие трудятся часов, а на заводе расположенном во втором городе - часов, тогда за неделю производят единиц товара. Затраты на оплату труда Введём функцию z= =225 4 y = 225 - 3 x y= z= z= 400 z= 400 z= 25(16 z= 625 ( Наименьшего значения z достигает в той же точке, в которой достигает наименьшего значения квадратичная функция +2025 Т.е в точке z= 625 ( z=625 Ответ: 810000 рублей

Слайд 15

В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется человеко-часов труда, а для добычи y кг никеля в день требуется человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов (в кг) можно за сутки суммарно добыть в двух областях?

Слайд 16

Поскольку алюминий и никель взаимозаменяемы, а рабочие первой области одинаково эффективно добывают и алюминий, и никель, то они могут добывать любой из металлов. За сутки ими будет добыто 160 5 0,1 =80 кг металла. Пусть во второй области алюминий добывают t рабочих, тогда никель добывают (160 - t ) рабочих. За сутки они добудут кг алюминия и кг никеля. Введём функцию z = + , Найдём наибольшее значение этой функции . Исследуем функцию z = + с помощью производной . - = =0 =0 800- 5 t = 5t t = 80 80 t + - 80 рабочих второй области следует направить на добычу алюминия , и 80- на добычу никеля z(80)= + Совместно две области добудут 80+40=120 кг Ответ: 120 кг.

Слайд 17

В распоряжении прораба имеется бригада рабочих в составе 22 человек. Их нужно распределить на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 3 t 2 д. е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 2 t 2 д. е. Как нужно распределить на эти объекты рабочих бригады, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько д. е. при таком распределении придётся выплатить рабочим?

Слайд 18

Пусть на первый объект направили x рабочих, их суточная зарплата д.е ., тогда на второй объект направили y рабочих, а их суточная зарплата 2 д.е . Значит, суточная зарплата всех рабочих + 2 д.е. Так как x + y = 22 , то у = 22 - x Рассмотрим функцию z = + 2 z= -88x +968 Функция z= -88x +968 является квадратичной, ветви её графика - параболы —направлены вверх. Наименьшего значения эта функция достигает в точке, являющейся абсциссой вершины параболы, т. е. в точке . Это число не является целым, поэтому на множестве целых неотрицательных чисел функция z= -88x +968 достигает наименьшего значения в ближайшей к x 0 целой точке, т . е. в точке x = 9 . Следовательно, на первый объект направили 9 рабочих, а на второй 22 - 9 =13 рабочих. Зарплата составит z = 5 Ответ: 581 д.е .

Слайд 20

Домашнее задание