Методическая разработка раздела программы по алгебре: " Квадратные уравнения"
методическая разработка по алгебре (8 класс)

Методическая разработка раздела программы по алгебре:

«Квадратные уравнения»

                                                             Разработка учителя    математики

МБОУ  «Средняя общеобразовательная школа №46» г. Калуги

Сорокиной Л.В.  

Аннотация

         Методическая разработка раздела  «Квадратные уравнения» посвящена изучению главы  курса алгебры 8 класса. Она раскрывает вопросы  использования  современных образовательных технологий при изучении данного раздела. Может использоваться учителями при подготовке к урокам по данной теме.

Содержание

                                                                                                                        стр.

1. Введение………………………………………………………….
2. Характеристика раздела…………………………………………
3. Методический комментарий.…………………………................

1. Какие уравнения называют квадратными………………
2. Формула корней квадратного уравнения………………..

3.3.      Вторая формула корней квадратного уравнения……….

3.4.      Решение задач……………………………………………..

3.5.      Неполные квадратные уравнения………………………..

3.6.      Теорема Виета…………………………………………….

3.7.      Разложение квадратного трёхчлена на множители…….

3.8.      Целые корни уравнения с целыми коэффициентами…

3.9.      Проект. Зачёт.  Урок-практикум. Контрольная работа....    

4. Заключение………………………………………………………..

Приложение.

1. Введение

           Глава «Квадратные уравнения» является одной из основных глав учебника «Алгебра. 8класс» под редакцией Г. В. Дорофеева. Умение быстро, рационально и правильно решать квадратные уравнения облегчает прохождения многих тем курса математики: 9-й класс - квадратичная функция; 10-й класс -  тригонометрические уравнения и неравенства; логарифмические уравнения и неравенства;  показательные уравнения и неравенства; 11-й класс - интеграл, площадь криволинейной трапеции; иррациональные уравнения; применение производной к исследованию функции. Поэтому повышение интереса учащихся к изучению данной главы очень важно для формирования основных навыков и умений.

Применение современных образовательных технологий   как раз и способствует повышению интереса к предмету, а значит, и улучшению качества знаний.

В данной методической разработке  показано использование на уроке таких современных технологий обучения, как проблемное обучение, информационно-коммуникационные технологии, проектные методы обучения, исследовательские методы, вузовские технологии,  дифференцированное обучение.

При создании в учебной деятельности проблемных ситуаций и организации активной самостоятельной деятельности  по их разрешению происходит творческое овладение знаниями, умениями, навыками, развиваются мыслительные способности. Всё это ведёт к формированию у школьников учебно-познавательной компетенции.

Современные информационно-коммуникационные технологии дают возможность разнообразить формы учебной деятельности, расширить объём предъявляемой учебной информации, повысить качество контроля знаний, обеспечить гибкость управления учебным процессом.

Исследовательский метод в обучении даёт возможность учащимся самостоятельно пополнять свои знания, глубоко вникать в изучаемую проблему и предполагать пути её решения, что важно при формировании мировоззрения. При исследовательской деятельности  дети отыскивают не только способы решения поставленных проблем, но и побуждаются к самостоятельной их постановке, к выдвижению целей своей деятельности.

 Учебная деятельность, организованная по методу проектов, дает возможность развивать индивидуальные творческие способности учащихся, способствует развитию социальных, коммуникативных и мыслительных навыков.

Вузовские педагогические технологии (урок-зачёт, урок-практикум и т.д.) обеспечивают мыслительную активность каждого ученика, развивают его самостоятельность, повышают авторитет знаний.

Главная  цель уровневой дифференциации состоит в том, чтобы обеспечить достижение всеми школьниками уровня обязательной подготовки и одновременно создать условия для углубления и расширения знаний тех учеников, которые имеют для этого способности, возможности и желание. В соответствии с этим система контроля предусматривает проверку достижения всеми школьниками базового уровня подготовки, а также дает возможность каждому ученику проявить свои знания на более высоком уровне.

В данной методической разработке представлены следующие материалы:

1. Презентации по темам:  «Какие уравнения называют квадратными», «Решение задач», «Квадратный трёхчлен», «Квадратные уравнения».

2. Дифференцированные самостоятельные работы, тесты.

3. Алгоритмы.

4. Разработка зачёта

5. Разработка проекта

      2. Характеристика раздела « Квадратные уравнения»

Цель раздела: создание условий овладения приёмами решения квадратных уравнений.

Задачи раздела:

Предметные:

               1. Научить решать квадратные уравнения различными способами.

         2. Научить использовать квадратные уравнения при решении задач.

         3. Познакомить с  приемами решения уравнений высших степеней.

         4. Научить раскладывать квадратный трехчлен на множители.

       Метапредметные:

         5. Развивать умения анализировать, сопоставлять, логически мыслить,     обобщать; развивать внимание, память, активность и самостоятельность.

         6. Формировать действия по организации и планированию учебного сотрудничества с учителем и сверстниками, умения работать в группе.

       Личностные:

        7. Создать условия для формирования опыта межличностных отношений.

        8. Формировать навыки взаимооценки,  самооценки, навыки рефлексии.

На изучение материала данного раздела по программе отводится 25 часов при 4-х часах в неделю, 20 часов при 3-часах в неделю. (Таблица 1)  

                Поурочное планирование материала (4ч.)                              Таблица 1

Требования к математической подготовке учащихся после прохождения темы:

1. Решать квадратные уравнения и уравнения, приводимые к ним.

2. Осуществлять выбор метода решения уравнения и обосновывать его.

3. Решать задачи с помощью квадратных уравнений.

4. Раскладывать многочлен на множители.

                             3.  Методический комментарий

                       3.1.  Тема «Какие уравнения называют квадратными» (уроки 1-2)

     Основными задачами уроков 1-2 являются:

1. Ввести понятие квадратного уравнения
2. Научить находить квадратные уравнения среди других уравнений
3. Научить различать коэффициенты квадратного уравнения
4. Познакомить учащихся с приёмом решения уравнений выделением квадрата двучлена.

          Уроки проводятся  с использованием  презентации Power Point (презентация 1).На первом уроке для введения понятия квадратного уравнения можно использовать задачу, при решении которой возникает уравнение неизвестное учащимся (слайд 3) Далее учитель сообщает тему урока и основные задачи. Затем вместе с учащимися вводится понятие квадратного уравнения. Необходимо обратить особое внимание на то, что первый коэффициент не может быть равен нулю (слайд 4). Для усвоения понятия квадратного уравнения и его коэффициентов можно предложить учащимся выполнить  следующие задания: из рабочей тетради 138-142, 146;  на слайдах 5-6. Для уточнения степени усвоения учебного материала учащимся можно предложить тест (проверка с помощью компьютера, слайд 7).

На втором уроке перед ознакомлением с приемом решения квадратных уравнений путем выделения квадрата двучлена необходимо провести актуализацию знаний  о решении уравнений вида x=a и (x+k)=m(слайд 9).Для осознанного восприятия нового материала можно разработать с учащимися алгоритм решения уравнений (слайд 10). Работу по закреплению изученного материала лучше проводить, используя дифференцированный подход. Учащиеся одной группы работают под руководством учителя; второй группы - самостоятельно решают приведенные уравнения, затем показывают решение на доске; третьей группы - самостоятельно решают более сложные уравнения (а1).В конце урока целесообразно вернуться к задаче, рассмотренной на первом уроке. На данном уроке  можно использовать ЦОР44 (практика, контроль)

Домашнее задание носит дифференцированный характер. Оно состоит из двух частей: 1часть - задания обязательного уровня для всех учащихся (группа А), 2 часть – дополнительные задания повышенного уровня сложности (группа Б).

Применение ИКТ на данных уроках позволит эффективно использовать время и обогатить содержание урока. Использование дифференцированного подхода позволяет каждому ребёнку почувствовать свою  значимость на уроке. Использование теста даёт возможность проверить каждого ученика по узловым знаниям  учебного материала. Использование алгоритма способствует  быстрому усвоению материала.

                 3.2. Тема « Формула корней квадратного уравнения» (уроки 3-5)

    Основными задачами уроков 3-5 являются:

1. Научить решать квадратные уравнения по формуле.
2. Познакомить с приёмами решения уравнений высших степеней с помощью разложения на множители.

      На этапе актуализации знаний учащимся  можно предложить решить квадратное уравнение методом выделение квадрата двучлена. Затем в ходе беседы перед учащимися возникает  проблема: решать квадратное уравнение таким способом долго, нерационально. Учитель предлагает учащимся найти оптимальное решение данной проблемы. Учащиеся приходят к выводу: чтобы каждый раз не проводить громоздкие вычисления, достаточно один раз решить уравнение в общем виде и получить готовые формулы для корней уравнения. Учащиеся под руководством учителя выводят формулу. Для наглядности и осознанности восприятия можно использовать компьютерную обучающую программу  «Уроки Кирилла и Мефодия».

     Затем можно предложить учащимся для составления алгоритма решения квадратного уравнения по формуле (приложение 4) разделиться на группы (необходимо это сделать так, чтобы в группе оказался ученик с достаточно высоким уровнем сформированности данного универсального действия). На первом уроке основное внимание следует уделить непосредственному применению алгоритма вычисления корней квадратного уравнения. Необходимо обратить внимание на три случая, встречающихся при решении уравнений:

1. Если коэффициент a отрицательный, то можно умножить обе части на -1.

2. Если коэффициенты уравнения имеют общий делитель, то можно разделить обе части уравнения на этот делитель.

3. Если среди коэффициентов встречаются дробные числа, то можно обе части уравнения умножить на такое число, чтобы коэффициенты стали целыми.

     При закреплении нового материала можно использовать задания из рабочей тетради(148-151). Также на всех этапах урока можно применять ЦОР45.

     На третьем уроке используется технология дифференцированного обучения. Учащимся с недостаточной математической подготовкой можно предложить задания из дидактических материалов (О-17, 1-5) или ЦОР46. Остальных учащихся следует познакомить с приемами решения уравнений высших степеней с помощью разложения на множители. На этом уроке целесообразно провести самостоятельную работу №1 разных уровней сложности (приложение 1). Iуровень соответствует обязательным программным требования; II уровень - среднему уровню сложности; задания III уровня предназначены для учеников, проявляющих повышенный интерес к математике.  На дом учащиеся получают также дифференцированное  задание: учащиеся с высокой предметной мотивацией должны подготовить сообщение (презентацию) на тему «История развития квадратных уравнений», остальные учащиеся решают задания из группы А.

                      3.3.  Тема «Вторая формула корней квадратного уравнения» (уроки 6-8)

       Основными задачами уроков 6-8 являются:

1. Научить решать квадратные уравнения, используя формулу корней с чётным вторым коэффициентом.
2. Сформировать  основные умения и навыки по решению уравнений, сводящихся к квадратным.
3. Познакомить с приёмами решения уравнений высших степеней методом замены переменных.

       При объяснении нового материала можно предложить учащимся решить квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом. При решении уравнения учащиеся должны столкнуться с громоздкими вычислениями. Учитель подводит  учащимся к пониманию  целесообразности введения новой формулы, которая упрощает процесс нахождения корней. Затем с помощью компьютерной обучающей программы  «Уроки Кирилла  и Мефодия» выводится формула.

   Потом  учащиеся составляют алгоритм решения квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом по новой формуле (приложение 4) (работают в парах).  После этого нужно вернуться к  предложенному уравнению и решить его, используя новую формулу. При формировании новых умений и навыков можно использовать работу в парах.

     На втором уроке  учащиеся знакомятся с приёмами  решения  уравнений высших степеней методом замены переменных. Особое внимание  следует уделить решению биквадратных уравнений (презентация).

На третьем уроке целесообразно провести дифференцированную самостоятельную работу №2 (приложение 1).

                      3.4.  Тема « Решение задач» (уроки 9-11)

    Основными задачами уроков 9-11 являются:

1. Научить составлять уравнение по условию задачи.
2. Научить выполнять интерпретацию полученного решения.

Уроки проводятся  с использованием  презентации Power Point (презентация 2).

  Решение текстовых задач – один из самых сложных видов упражнений. Поэтому необходимо составить алгоритм решения задач (презентация 2). Новым этапом является интерпретация полученного решения. В процессе обсуждения этого вопроса можно выделить три самых распространенных ситуации:

   *  Корень уравнения является числом из более широкого множества,  чем то, которое описывается в задаче  (например, получение

     дробного числа, когда в условии задачи речь идет о целых числах).

   *  Получение отрицательного корня в случае, когда за неизвестное       принято какое-либо измерение, которое может выражаться только   положительным числом (например, длина, площадь и др.).

    * Несоответствие полученных положительных размеров с реальными   (например, катет больше гипотенузы).

      При составлении уравнения лучше рассматривать все варианты.  На первом уроке нужно детально рассматривать все этапы решения. Презентация по данной теме поможет лучшему усвоению материала. Также для закрепления нового материала можно использовать ЦОР48. На первом уроке можно решать задачи с арифметическим содержанием, на втором- с геометрическим и физическим содержанием, на третьем - задачи на проценты.

   На третьем уроке можно провести дифференцированную самостоятельную работу №3(приложение 1), включив в неё  задачу и материал предыдущей темы.

          3.5. Тема « Неполные квадратные уравнения» (уроки 12-14)

      Основными задачами уроков 12-14 являются:

1. Научить решать неполные квадратные уравнения всех видов.
2. Продолжить формирование умения решать задачи с помощью уравнений.
3. Продолжить решать задачи высших степеней с помощью разложения на множители и методом замены.

    При изучении темы «Неполные квадратные уравнения» можно  предложить учащимся решить следующие уравнения: 5x=10,

-3x=0, -5x=5, 6x+2x=0, 3x-27=0. Затем  учащиеся классифицируют уравнения по видам, формулируют алгоритм решения и делают вывод о количестве корней данных уравнений. Можно предложить составить таблицу, из которой четко будет видно, как решаются неполные квадратные уравнения различных видов (презентация 4, слайд 5).Данные формы работы способствуют совершенствованию универсальных учебных действий. При закреплении материала можно использовать работу в парах, чтобы учащиеся вслух проговаривали вид уравнения и алгоритм решения. Также при закреплении можно использовать задания из рабочей тетради (156-159) и ЦОР43,  ЦОР42.

При решении задач необходимо повторить все этапы решения (презентация 2).

На третьем уроке можно провести дифференцированную самостоятельную работу №4(приложение 1).

3.6. Тема «Теорема Виета» (уроки 15-17)

Основными задачами уроков 15-17 являются:

1. Сформировать умения применять теорему Виета и обратную ей теорему.
2.  Научить находить корни квадратного уравнения подбором.

При изучении данной темы также можно использовать исследовательский метод. Для этого можно разбить класс на четыре группы. Каждой группе предлагается решить приведённое уравнение. После решения заполняется таблица.

       Потом учащиеся высказывают предположение о связи между корнями уравнения и коэффициентами. Результатом их работы становится  формулировка теоремы Виета и  её доказательство.  Далее учащиеся записывают формулы для неприведенного квадратного уравнения и формулируют теорему, обратную теореме Виета. На данном этапе урока можно использовать ЦОР52 , а также слайд №6 презентации3. На первом уроке основное внимание следует уделить непосредственному применению теоремы Виета. Упражнения на нахождение корней подбором, т.е. использование обратной теоремы лучше выполнять на втором уроке.  Учащимся можно предложить заполнить таблицу для лучшего усвоения материала (презентация 3, слайд 7). При изучении темы можно использовать задания из рабочей тетради (161-169), ЦОР52и ЦОР53(теория, практика, контроль).

      На дом учащиеся получают дифференцированное задание: обучающиеся с высокой предметной мотивацией должны подготовить сообщение (презентацию) на тему    «Франсуа Виет», остальные учащиеся составляют самостоятельную работу по данной теме.

       После изучения данной темы группа учащихся начинает работу над учебным исследованием  «Приёмы устного  решение квадратных уравнений ».

           3.7. Тема «Разложение квадратного трёхчлена на множители» (уроки 18-20)

     Основными задачами уроков 18-20 являются:

1. Овладеть новой терминологией («квадратный трёхчлен», «корень квадратного трёхчлена», «дискриминант квадратного трёхчлена»).
2. Научить  раскладывать квадратный трёхчлен на множители.
3. Продолжить формирование знаний по сокращению алгебраических дробей, используя формулу разложения квадратного трёхчлена на множители.

      Первый урок проводится  с использованием  презентации Power Point (презентация3). При выполнении задания разложить многочлен на множители возникает проблема: как разложить на множители многочлен второй степени x-6x+8? Можно предложить учащимся разложить данный многочлен на множители, используя выделение квадрата двучлена и формулу разности квадратов (слайд 2). Далее учитель предлагает учащимся сформулировать название данного многочлена (многочлен x-6x+8 имеет специальное название - « квадратный трёхчлен») и вместе с учащимися формулирует цели урока. Потом соотносят свои выводы с научными (слайд 3) и  выполняются задание на усвоение понятия (слайд 4). Перед введением понятия корня квадратного трёхчлена можно выполнить задание на нахождение  значения квадратного трёхчлена при заданных значениях переменной (слайд 5). Данное задание поможет учащимся сформулировать определение корня квадратного трёхчлена (слайд 6). Далее в ходе эвристической беседы вводится  понятие дискриминанта квадратного трёхчлена (слайд 7). Используя пример 5  (слайд 2) учитель предлагает школьникам записать формулу разложения квадратного трёхчлена на множители и доказать ее (слайд 8) (данную работу учащиеся выполняют под руководством учеников-консультантов). При закреплении нового материала учащимся поможет алгоритм разложения квадратного трёхчлена на множители (слайд 9). На слайде 10 показано  поэтапное применение алгоритма. На данном этапе урока лучше использовать работу в парах (одна пара работает у доски). Для развития навыков самоконтроля школьникам можно предложить задание на нахождение ошибки (слайд 11). Для уточнения степени усвоения учебного материала учащимся можно предложить тест (проверка с помощью компьютера, слайд 12).

На третьем уроке можно провести дифференцированную самостоятельную работу №5 (приложение 1).

3.8. Тема «Целые корни уравнения с целыми коэффициентами»( урок 21)

Материал данной темы не относится к обязательным результатам обучения. Поэтому работу учащихся на уроке лучше организовать следующим образом: школьники первой группы (учащиеся с низким уровнем учебной мотивации) готовятся к контрольной работе. Можно использовать тест к главе 3 (учебник). Учитель контролирует работу групп, при необходимости оказывает помощь.

Учащиеся второй  - самостоятельно работают с учебником по следующему плану:

1. Нахождение корней  квадратного  уравнения, не пользуясь формулой  корней, п.3.8 (абзацы 1-7), № 549.
2. Нахождение целого корня уравнений высших степеней, п.3.8 (абзацы 8-10), № 550
3. Решение уравнений высших степеней, п.3.8 (пример 2), 552.
4. Разложение многочлена на множители, №552.

Результатом работы является защита решений аналогичных заданий, подготовленных учителем у доски.

3.9. Проект. Зачёт. Урок- практикум. Контрольная работа (уроки 22-25)

                         Проект.

Продукт проекта: презентация по теме « Приёмы устного решения квадратных уравнений»

Название проекта:

Приемы устного решения квадратного уравнения.

Краткая аннотация проекта:

В проекте учащиеся проводят исследование по теме «Приёмы устного решения квадратного уравнения». В ходе работы  школьники расширяют свои знания и умения по решению квадратных уравнений различными способами.

Основополагающий вопрос:

Вариативность решений – это хорошо?

Проблемный вопрос:

Каким из способов можно устно решать квадратные уравнения?

Учебные вопросы:

1. Что такое уравнение и корень уравнения?
2. Что значит решить уравнение?
3. Какие способы решения квадратных уравнений предлагаются в учебнике?

Продолжительность работы: 1 неделя.

Цель проекта:

Изучение приёмов устного решения квадратного уравнения.

Задачи:

1. Освоить различные способы устного  решения квадратного уравнения.
2. Развивать умения анализировать, сопоставлять, логически мыслить, обобщать.
3. Развивать навыки самостоятельной работы, исследовательской работы.
4. Воспитывать умение работать в коллективе.

Методы исследования:

1. Изучение литературы по данной теме.
2. Работа с ресурсами сети Интернет.

План:

1. Разбиться на группы.
2. Собрать информацию.
3. Проанализировать информацию.
4. Создать буклет
5. Защита проекта (презентация).

                   Зачёт по теме «Квадратные уравнения».

Цель: осуществление контроля знаний и умений школьников.

Задачи:

1. Выявит и устранить пробелы учащихся по теме.
2. Развивать умения обобщать, развивать память, активность, самостоятельность.
3. Воспитывать умение работать в коллективе.
4. Создать положительную мотивацию в процессе  обучения

      О предстоящем уроке-зачёте ученики оповещаются заранее, в начале изучения темы. В кабинете математики оформляется стенд «Готовимся к зачёту », материал на котором обновляется в течение всего периода подготовки к зачёту.

      Для проведения зачёта учитель выбирает из класса несколько учащихся  с хорошей математической подготовкой и принимает у них зачёт заранее. Эти   учащиеся будут помогать принимать зачёт на уроке (ученики - консультанты).

Зачёт состоит из двух частей: практическая часть, теоретическая часть

( приложение 2).

                                        План проведения зачёта.

1. Учащийся получает карточку и выполняет практические  задания.
2. Учителя-консультанты по очереди приглашают школьников для проведения устного опроса.
3. По мере выполнения  заданий ученик-консультант заполняет ведомость, в которой знаком « +» отмечает  верное выполнение задания, знаком « - » - задание, с которым ученик не справился.

Ученик - консультант исправляет ошибки, ликвидирует пробелы, даёт рекомендации. Учитель при необходимости оказывает помощь.

                                               Зачётная карточка

                                           Ведомость опроса

                                          Оценка работы

                 Урок-практикум по теме « Квадратные уравнения»

Цель:  ликвидация пробелов, выявленных на уроке-зачёте, систематизация и обобщение знаний.

Задачи:

1. Повторить изученный материал.
2. Подготовить к контрольной работе.
3. Устранить пробелы учащихся по теме.
4. Развивать навыки самостоятельной работы.
5. Воспитывать умение работать в коллективе.

                                   План.

1. Повторение теоретических знаний по теме (презентация 4).
2. Повторение алгоритмов выполнения разного рода практических заданий.
3. Работа в группах с использованием алгоритмов, схем, таблиц. Работа ведется по карточкам (Приложение 3).
4. Защита решения у доски.
5.  Дифференцированное задание на дом.

Учитель контролирует работу групп, даёт  необходимые рекомендации, оценивает работу.

              Контрольная работа по теме «Квадратные уравнения»

Цель: проверка знаний учащихся по теме.

Контрольную работу можно проводить по пособию:

Алгебра. Контрольные работы. 7-9 классы: пособие для учителей общеобразоват. учреждений / Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева, Л.О. Рослова; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение».- 2-е изд.- М.: Просвещение, 2010.

Контрольная работа носит дифференцированный характер.

                                                             4. Заключение.

        Данная методическая разработка была посвящена изучению раздела «Квадратные уравнения» с применением современных образовательных технологий. Она призвана оказать помощь учителям математики при подготовке к урокам по темам раздела.

                                                         Литература.

1.Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / ;под ред. Г. В. Дорофеева; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение».- 4-е изд.,с испр.- М.: Просвещение, 2009.

2.Алгебра. Дидактические материалы. 8 класс / Л. П. Евстафьева, А. П. Карп; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение». - М.: Просвещение, 2008.

3.Алгебра. Книга для учителя. 8 класс : пособие для учителей общеобразоват. учреждений ; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение».

4. Алгебра. Контрольные работы. 7-9 классы: пособие для учителей общеобразоват. учреждений / Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева, Л.О. Рослова; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение».- 2-е изд.- М.: Просвещение, 2010.

5. Алгебра. Рабочая тетрадь. 8 класс / С.С. Минаева, Л. О. Рослова ; Москва «Просвещение» 2009.

6. Алгебра. 8 класс: поурочные планы по учебнику под редакцией Г. В. Дорофеева / авт.-сост. Т. Ю. Дюмина. – Волгоград: Учитель, 2008.

7. Зачеты в системе дифференцированного обучения математике / Л. О. Денищева, Л. В. Кузнецова, И. А. Лурье и др. - М.: Просвещение, 1993.

8. Ершова А.П., Голобородько В.В.,  Ершова А.С.Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса. – М.: Илекса, 2002.

9.  Ершова А.П., Голобородько В.В., Крижановский А. Ф. Тетрадь – конспект по алгебре для 8 класса. – М.: Илекса, 2004.

                                                     Приложение 1.

Самостоятельная работа №1

I уровень

Решите уравнения:

1. x-5x +6=0

      2.     - t-3t+1=0

      3 .    3a+a = -7

Решите уравнение, выделив квадрат двучлена:

4. x+ 12x +20=0

II уровень

Решите уравнения

1. 9x+6x+1=0
2. -2t+8t+2=0
3. a+3a=-11

Решите уравнение, выделив квадрат двучлена:

       4 .     x-2x +2=0

III уровень

Решите уравнения

1. 2y-2y+0,5=0
2. -15= 3t(2-t)
3. a = a+4

Решите уравнение, выделив квадрат двучлена:

4. 2 x+ 7x +6=0

Самостоятельная работа №2

I уровень

Решите уравнения

1. x-18x+77=0

2.3 x-16x+21=0

3. (2x-1)-(x-3)(x+3)=2(2x+3)

4.- =3,5

5. x - 11x+28=0

II уровень

 Решите уравнения

1. (2x-3)-(x-5)(x+5)=2(2x+7)

2.-=-2

3. =x+1

4. x-4+ 3=0        

5. (x-3x)-2(x-3x)=8

III уровень

Решите уравнения

1. x+1=

2. x-9+20=0

3.(x+4x)(x+4x-17)+60=0

4. ( x-4x+3)+6(x-4x+6)-34=0

5. (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=360

Самостоятельная работа №3

 I уровень

1. Одно из двух натуральных чисел больше другого на 5. Найдите эти числа, если их произведение равно 24.

2. При каких значениях x  равны значения многочленов:

(x+1) и 7x-3x

3.Решите биквадратное уравнение

x-2x-8=0

II уровень

1.В прямоугольном  треугольнике один из катетов на 7см. больше другого. Найдите периметр треугольника, если его гипотенуза равна 13см.

2.При каких значениях x  равны значения многочленов

(2-x)(2x+10) и (x-2)(x+2)

 3.Решите биквадратное уравнение

   2x-19x+9==0

III уровень

1.Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 23см. Найдите катеты треугольника, если его гипотенуза равна 17см.

 2. Решите биквадратное уравнение

  3x-13x+4=0

3. Решите уравнения

( x+4x)(x+4x-17)+60=0

Самостоятельная работа №4

I уровень

Решите уравнения

1. 2x-18=0

2. 7x-x =0

3. 4x-11=x-11+9x

4. Произведение двух последовательных натуральных чисел больше большего из этих чисел на 48. Найдите эти числа

II уровень

Решите уравнения

1. . 9x-4=0

2. 2x =3х

3. (у-1)+2у=3( у + )

4. Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел на 19 больше удвоенного меньшего из них. Найдите эти числа.

III уровень

 Решите уравнения

1. 3-0,4x=0
2. x- x=0
3. -1 =

4. Сумма квадратов двух последовательных положительных  четных чисел на  72 больше удвоенной суммы этих чисел. Найдите эти числа.

Самостоятельная работа №5

I уровень

 Найдите подбором корни уравнения:

1. x-12x+20=0

2. y-17y+30=0

Разложите на множители квадратный трехчлен:

3.3x-7x+4

Сократите дробь

4.

II уровень

Найдите подбором корни уравнения:

1. x-x-20=0

2.Один из корней данного уравнения равен 2. Найдите второй корень и коэффициент а:

x +ax - !2=0

 Разложите на множители квадратный трехчлен:

3. 3x+10.-x 

Сократите дробь

4.

III уровень

Найдите подбором корни уравнения:

1. x+20x+36=0

2.Один  из корней данного уравнения в 2 раза больше другого. Найдите  корни уравнения и коэффициент k:

2x-3x+k=0

Сократите дробь

3. 

Разложите на множители

5. x-5x+4

                                               Приложение 2.

                                Теоретические вопросы к зачёту.

1.Какое уравнение называют квадратным?

2. Может ли коэффициент a в квадратном уравнении быть равным нулю?

3. Какое квадратное уравнение называется приведённым?

4. Как преобразовать неприведенное квадратное уравнение в приведенное?

5. Сформулируйте алгоритм вычисления корней квадратного уравнения?

6.Что нужно сделать перед применением алгоритма вычисления корней квадратного уравнения, если:

  * коэффициент a является отрицательным;

  * Все коэффициенты имеют общий делитель;

  * Один из коэффициентов является дробным?

7. Сформулируйте алгоритм решения квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом?

8. Какое уравнение называется биквадратным?

9. Сколько корней может иметь биквадратное уравнение?

10. Сформулируйте алгоритм решения задач с полными уравнениями?

11. Какое квадратное уравнение называется неполным?

12. Какие существуют виды  неполных квадратных уравнений?

13. Как решается неполное квадратное уравнение, в котором коэффициент b=0? Сколько корней может иметь такое уравнение?

14. Как решается неполное квадратное уравнение, в котором коэффициент с=0? Сколько корней может иметь такое уравнение?

15. Какие корни имеет уравнение вида ax=0?

16. Сформулируйте теорему Виета.

17. Как можно применить теорему Виета для неприведенного квадратного уравнения?

18. В чем состоит теорема, обратная теореме Виета? Когда она применяется?

19.Что называется квадратным трехчленом?

20. Что называется корнем квадратного трехчлена?

21.Что такое дискриминант квадратного трехчлена?

22. Сколько корней может иметь квадратный трехчлен?

23. Назовите формулу разложения трехчлена на множители.

                               Практические задания к зачёту.

                                    Обязательная часть.

1. Решите уравнение: а. 4x=8x;  б. x-2=0 ; в.4x+x-3=0; г. 3x-2x+4=0  

         Дополнительная часть.

1. Решите уравнение 3x-13x+4=0
2. Найдите три последовательных натуральных числа, сумма квадратов которых равна 50.

                                                  Приложение 3.

                                Задания для подготовки к контрольной работе.

1. Определите, рациональными или иррациональными числами являются корни уравнения          2x+5x-11=0

Решите уравнения

2. 4x+1=0

3. 3x-x=x

4. (x+1)(3x+1)=5

5. x-9x+8=(x-1)(x-8)

6.3x-13x+4=0

7.2y-y-10y=0

8. x+-6=0

9. При каком значении p в разложении на множители многочлена x-px-10  содержится множитель x-5?

10. Найдите все целые значения p, при которых данное уравнения имеет целые корни:       x-px-8=0

                                     Приложение 4.

       Алгоритм решения задач с помощью квадратных уравнений

1. Обозначьте некоторую неизвестную величину буквой.
2. Составьте буквенное выражение по условию задачи (с объяснениями или в форме таблицы).
3. Из полученных выражений составьте уравнение, используя условия задачи.
4. Решить уравнение.
5. Объясните полученный результат в соответствии со смыслом задачи и ответьте на вопрос задачи.

6. Записать ответ.

Алгоритм разложения квадратного трёхчлена на множители

1. Сделать запись:

2. Решить уравнение.
3. Вместо точек записать корни (если корень отрицательное число, то в скобках будет «+»).
4. Выполнить преобразования (при необходимости).

Алгоритм решения квадратного уравнения  вида ax+bx+c=0 методом переброски

1. Умножить коэффициент a на свободный член и получить уравнение    

2. Найти корни уравнения  
   
3. Найти x1 и x2:                    ,                   

Алгоритм решения квадратного уравнения  по формуле

1. Выписать коэффициент a, b, c. Найти значение (-b)
2. Найти дискриминант D=b-4ac
3. Сравнить дискриминант с нулем
4. Если  D>0, то  x=,x=

Если  D=0, то  x=

Если   D<0, то корней нет

      5. Записать ответ

Алгоритм решения квадратного уравнения  с чётным вторым коэффициентом.

1.Выписать коэффициент a, , c. Найти значение (-)

5. Найти дискриминант D=()-ac
6. Сравнить дискриминант с нулем
7. Если  D>0, то  x=,x=

Если  D=0, то  x=

Если   D<0, то корней нет

      5. Записать ответ