Нестандартное решение логарифмического неравенства. Помощь в подготовке к ЕГЭ.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс)

Как известно,  ЕГЭ по Математике длится 235 минут, и чтобы распределить это время рационально на все задания, не помешало бы узнать короткие пути решения той или иной задачи. Так, на задача №14  оцениваемое в 2 балла, рекомендовано 30 минут (при условии, что ученик намерен решать все задания). Если проводить решение согласно всем известному методу интервалов, то, возможно, вы потратите все отведенное на него время. Существует ли такой метод решения неравенств, при котором мы сможем упростить наши вычисления, тем самым сохранив время?

Это метод рационализации (оптимизации, декомпозиции, замены множителей, замены функций, обобщенный метод интервалов, правило знаков)

Скачать:

ВложениеРазмер
Файл metod_ratsionalizatsii.docx343.97 КБ

Предварительный просмотр:

Нестандартный способ решения логарифмического неравенства.

Метод рационализации

Составитель разработки -Бибаева А.М.

Как известно,  ЕГЭ по Математике длится 235 минут, и чтобы распределить это время рационально на все задания, не помешало бы узнать короткие пути решения той или иной задачи. Так, на задача №14  оцениваемое в 2 балла, рекомендовано 30 минут (при условии, что ученик намерен решать все задания). Если проводить решение согласно всем известному методу интервалов, то, возможно, вы потратите все отведенное на него время. Существует ли такой метод решения неравенств, при котором мы сможем упростить наши вычисления, тем самым сохранив время?

Это метод рационализации (оптимизации, декомпозиции, замены множителей, замены функций, обобщенный метод интервалов, правило знаков)

Теоретическое обоснование метода

Часто, при решении логарифмических неравенств, встречаются задачи с переменным основанием логарифма. Так, неравенство вида

http://festival.1september.ru/articles/611132/Image4196.gif

является стандартным школьным неравенством. Как правило, для его решения применяется переход к равносильной совокупности систем:

http://festival.1september.ru/articles/611132/Image4197.gifhttp://festival.1september.ru/articles/611132/Image4198.gif

 Недостатком данного метода является необходимость решения семи неравенств, не считая двух систем и одной совокупности. Уже при данных квадратичных функциях решение совокупности может потребовать много времени. Можно предложить альтернативный, менее трудоемкий метод решения этого стандартного неравенства. Это метод рационализации неравенств, известный в математической литературе под названием декомпозиции.

Метод декомпозиции

Метод декомпозиции заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x), при которой неравенство G(x)^0 равносильно неравенству F(x)^0 в области определения F(x).

f, g, h – выражения с переменной х, a – фиксированное число или функция   ( а>0, a≠1).

Выражение F

Выражение G

1

2

3

4

5

6

Из данных выражений можно вывести некоторые следствия (с учетом области определения):

                                                              0  0

В указанных равносильных переходах символ ^  заменяет один из знаков             неравенств: >, <, ≤, ≥.

Комментарий.

     Стандартные ошибки, которые допускают учащиеся при использовании метода рационализации, заключаются в следующем:

а) проводят рационализацию без учета области определения данного неравенства;

б) применяют метод рационализации к неравенствам, не приведенным к             стандартному виду F(x) ˅ 0;

в) формально применяют метод рационализации к выражениям вида

 , заменяя на выражение ;

г) подменяют формулировку «о совпадении знаков выражений для каждого

допустимого значения х» на неверную формулировку «о совпадении значений

выражений для каждого допустимого значения х».

Для решения:

1) Рассмотрим пример решения логарифмического неравенства двумя методами


1. Метод интервалов

О.Д.З.                                                     

                                                                                                 

a)                                                    b)

                                                                   

         -1

 Ответ: (  ;

2. Метод декомпозиции (рационализации)

                                                      Ответ: (         ;

2. Пример

 

1)                   

2) ,

,

,

,   ,

             ,  

,

,   ;

  1.           U  U .

Ответ. , , .

3)  Пример из сборника Ященко И.В. 2021г.

Решение.

  1.                    
  2. ,

,

,

,    

;

  1.     ,      

Ответ.  

4. Пример из  сборника Ященко И.В. 2021г.

 

1)                      

2) ,

,

,

,   ,   ,   ,

,    .

3)          U  .

Ответ.   ,   .

5)log12x2-41+35(3 – x) ≥ log2x2-5x+3(3- x).

Решение. Запишем неравенство в виде log12x2-41+35(3 – x) - log2x2-5x+3(3- x) ≥ 0  и заменим его равносильной системой, используя метод рационализации

Для решения первых трёх неравенств системы используем метод интервалов.

Ответ: 

6)  ≥ 0.

Решение. Заменим данное неравенство равносильной системой, используя метод рационализации

 

 < 2.

При решении неравенства (х – 1)(х – 2) < 0 системы учтены условия x < 3, x > 0, x ≠ 1. Условие  1 < x < 2  позволяет исключить множитель  x – 1 > 0 в первом неравенстве системы.

Ответ:  .

Дополнительно

                                                               

                                                            [0; 4]                                                                                                            

   Ответ: [0; 4]

                                                                   -2

                                                                       

Ответ:  

Решение:

Ответ: (-1;1) U (3;5)

10) Решите неравенство log 2x+3 x2 < 1.

Решение.   Запишем неравенство в виде log2x+3x2 – 1< 0 и заменим его равносильной системой, используя метод рационализации

(2x + 2)(x2 – 2x – 3) < 0

2x + 3 > 0

x ≠ 0

(x + 1)(x + 1)(x – 3) < 0

x > 1,5

x ≠ 0

Ответ: (-1.5; -1) (-1; 0)  (0; 3).

11) .

Решение. Получим следующую систему неравенств:

Решая первые четыре неравенства, практически находим ОДЗ исходного неравенства:

Откуда: .

Решим теперь пятое неравенство системы. После элементарных преобразований получим неравенство

.

Умножим второй сомножитель на -1 и поменяем знак неравенства:

.

Нетрудно заметить, что корнями второго множителя в этом неравенстве являются числа 1 и -2. Поэтому, раскладывая второй множитель на одночлены первого порядка, получаем:

.

Это неравенство легко решить методом интервалов: .

С учетом найденного ранее ОДЗ, получаем окончательный ответ.

Ответ:  .

12)   №14 из варианта ЕГЭ 2022.

Решение.

  1.       
  2. ,

      ,

,

,

,

,

,

,

,   ,   ,  

,   ,   .

  1.       ,    .

Ответ.   ,    .

13) 

,  

,    

  1. ,

,

,

,

,

.

  1.         ,     .

Ответ.   .

Дополнительно для самостоятельного решения:

  1. .   Ответ.    .
  2. .     Ответ.    ,   .
  3. .    Ответ.  
  4. .   Ответ.   .
  5. .    Ответ.    .
  6. .     Ответ.    .
  7. .   Ответ.    .
  8. .      Ответ.    .
  9. .   Ответ.    .
  10. .

Ответ.    .

Для работы с учениками:

   Детям нужно рекомендовать использование метода рационализации в логарифмических неравенствах, когда неизвестное находится в основании степени.

   Для отработки навыка решения предлагать решение в 3действия:

  1. Найти область определения неравенства.
  2. Использование замены функций по формулам рационализации.
  3. Решить систему всех полученных условий.

Список литературы:

  1. Семенов А.Л., Ященко И.В. Математика 2021. 30 вариантов. М.: Экзамен, 2021
  2. Методы решения неравенств с одной переменной. www.alexlarin.net
  3. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. Математика. Подготовка к ЕГЭ – 2021.


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Разработка открытого урока"Решение логарифмических неравенств"

Вданной разработке рассматриваются различные методы решения логарифмических уравнений ....

методика решения логарифмических неравенств в школьном курсе математики

разбор методов решений неравенств в свете подготовки к ЕГЭ...

Учебное занятие "Решение логарифмических неравенств"

Учебное занятие  с применением раноуровневых заданий, способствующих подготовке учащихся к ЕГЭ....

Решение логарифмических неравенств

Урок повторения и закрепления знаний с применением ИКТ. На уроке осуществляется индивидуальный подход к учащимся, включающий каждого в осознанную учебную деятельность. В течении всего урока отрабатыва...

Примеры решения логарифмических неравенств с переменным основанием.(Подготовка к ЕГЭ)

Примеры  решения  логарифмических неравенств  с переменным основанием целесообразно применять правил равносильности.  Преимущество использования условий равносильности по сравнению...

Решение логарифмических неравенств и систем неравенств. Уровень С-3 или №17 ЕГЭ

План - конспект урока по математике в 11 классе по теме " Решение логарифмических неравенств и систем неравенств"....

Урок одного неравенства по теме: "Решение логарифмических неравенств, содержащих переменную под логарифмом и в основании логарифма" в профильном физико-математическом классе

Урок одного неравенства по теме: "Решение логарифмических неравенств, содержащих переменную под логарифмом и в основании логарифма" в профильном физико-математическом классеАвторы: ·...