Метод рационализации
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (10 класс)

Метод рационализации это весьма мощная процедура, позволяющая в определённых случаях упростить неравенство и свести его к рациональному неравенству (которое решается методом интервалов).Предположим, что имеется монотонно возрастающая функция f(x). Пусть числа a и b принадлежат области определения данной функции. Тогда справедливы следующие утверждения.

1.Неравенство f(a)> f(b)эквивалентно неравенству a > b;                                                                                                                                

иными словами, неравенство f(a)−f(b)>0 эквивалентно неравенству a−b >0.

2.Аналогично, неравенство f(a)−f(b)<0 эквивалентно неравенству a−b <0

Как работает эта идея применительно к решению неравенств? Пусть, например, имеется

Неравенство f(х)−f(a)/g(x)−g(b)>0, где f(x)и g(x) монотонно возрастающие функции. Тогда разность f(x)−f(a) можно заменить разностью x−a (того же знака), а разность g(x)−g(b)можно заменить разностью x−b(тогоже знака). Получим рациональное неравенство x−a/x−b>0 решаемое методом интервалов.