Урок по теме "Различные способы решения квадратных уравнений"
план-конспект урока по алгебре (8 класс)

Урок по теме "Различные способы решения квадратных уравнений"

Цель: рассмотреть различные  способы решения квадратных уравнений и научиться их применять.

Планируемые результаты:

Предметные УУД

Освоить и использовать на практике алгоритм решения квадратных уравнений. Научить распознавать квадратные уравнения, решать их различными способами, переходить от словесной формулировки задачи к алгебраической модели.

Метапредметные УУД

• Коммуникативные УУД: рассуждать и делать выводы, слушать и слышать других, выражать и отстаивать свою позицию в соответствие с нормами родного языка, вступать в диалог, а также участвовать в коллективном обсуждении проблем;
• Регулятивные УУД: сличать способ и результат своих действий с заданным эталоном, обнаруживать отклонения и отличия от эталона, составлять план и последовательность действий;
• Познавательные УУД: учащиеся научаться соотносить знания полученные по данной теме в 8 классе со знаниями, полученными в 9 классе, проверить умения решать и составлять неполные квадратные уравнения, развивать познавательные интересы, развивать умения обобщать, сравнивать, анализировать, устанавливать логические связи.

Личностные УУД

Воспитание чувств ответственности за свои поступки; формирование учебной мотивации и способности к волевому усилию, развитие интереса к изучаемой дисциплине; формирование волевых качеств, коммуникабельности ,обьективной оценки своих достижений, ответственности.

Задачи:

• Формировать навык применения различных способов к решению квадратных уравнений.
• Развивать логическое мышление, умение анализировать и делать выводы; познавательный интерес к предмету через систему задач.
• Воспитать чувство ответственности за выполненную работу перед коллективом.

Подготовка к уроку:

Группе учащихся из 5 человек предлагается работать над одной из тем:

• Общие способы решения квадратных уравнений.
• Графический способ решения квадратных уравнений.
• Метод "коэффициентов". Метод "переброски".
• Как решали квадратные уравнений в древности?
• Франсуа Виет- французский учёный.

Через неделю учитель заслушивает готовые доклады, вносит коррективы. В ходе урока ребята озвучивают тексты своих докладов.

Оборудование и материалы к уроку.

• Компьютер(количество компьютеров равно  количеству групп в классе) и мультимедийный комплекс.
• Стенды с материалами по теме урока.
• Доступ к сети Интернет для выполнения упражнений в режиме он-лайн.
• Интерактивные упражнения, созданные в сервисе по производству собственных дидактических материалов Learningapps.org!
• Презентация «Различные способы решения квадратных уравнений».
• Технология дифференцированного обучения

Основные этапы урока.

Организационный момент.

Когда уравненье решаешь, дружок,
Ты должен найти у него корешок.
Значение буквы проверить несложно,
Поставь в уравненье его осторожно.
Коль верное равенство выйдет у вас,
То корнем значенье зовите тотчас.
О.Севостьянова

Сегодня мы проводим урок по теме "Квадратные уравнения". Нам предстоит узнать различные способы решения квадратных уравнений и научиться их применять.

1. Вступительное слово учителя.

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратного уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют быстро и рационально решать многие уравнения.

2. Сообщения учащихся.

Обратимся к истории: когда впервые встретились квадратные уравнения и как их решали.

Доклад по теме: Как решали квадратные уравнения в древности? 

Необходимость решать уравнения  не только первой, но и второй степени ёщё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей веры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их   клинописных текстах  встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводя только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

В Древней Индии задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 г.  Там были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: "Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи.

Задача знаменитого индийского математика Бхаскары: 

Обезьянок резвых стая
 Всласть  поевши, развлекаясь.
 Их в квадрате часть восьмая
 На поляне забавлялась.
 А 12 по лианам.....
 Стали прыгать, повисая.
 Сколько было обезьянок,
 Ты  скажи мне, в этой стае?
(учащийся приводит решение этой задачи на доске)

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые  изложены в 1202 г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи.  

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х2+вх+с=0 , было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. Штифелем. 

Вывод формулы решения квадратного уравнения   в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Лишь в 17 в. благодаря трудам Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Вопрос учителя: дайте определение квадратного уравнения.

Уравнение вида ax2+bx+c=0, где a, b, c - действительные числа, причем a не равно 0, называют квадратным уравнением. 

Доклад учащегося по теме: "Общие методы решения квадратных уравнений".

Слово учителя:

Корни квадратного уравнения находятся по формулам:

Фронтальная беседа: ученики делают запись в тетради:

Выражение D = b2- 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.

• Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней;
• Если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень;
• Если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня.  

В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение  имеет два одинаковых корня.

Доклад о жизни и научных трудах математика Ф.Виета (пользуясь слайдами презентации).

Доклад учащегося по теме: Метод "переброски".

 Доклад учащегося по теме: Метод "коэффициентов"

Далее следует доклад "Графический способ решения квадратных уравнений".

3. Практическая работа:

Класс делится на группы по 4 человека. В каждой группе есть консультант, который помогает учащимся, у которых возникают трудности при решении квадратных уравнений.

Задание1: Решить квадратные уравнения по общим формулам.

1. 2х2-5х+2=0,

2.  6х2+5х+1=0,      

3.  2х2-3х+2=0,

4.  4х2-12х+9=0.      

 На выполнение этой работы даётся 7 минут. По истечении времени один ученик из каждой группы (учащиеся меняются) идёт к компьютеру и проверяет свои ответы по интерактивному упражнению, расположенному по следующему адресу: http://learningapps.org/display?v=4g6gp5gj.  Ставится оценка всей группе.

Задание 2: Решите приведённые квадратные уравнения, используя теорему, обратную теореме Виета:

1. х2+10х+9=0,
2. х2+7х+12=0,
3.  х2-10х-24=0,
4.  х2-16х+60=0,
5.  х2+5х-14=0.

На выполнение этой работы даётся 5 минут. По истечении времени один ученик из каждой группы (учащиеся меняются) идёт к компьютеру и проверяет свои ответы по интерактивному упражнению, расположенному по следующему адресу: http://learningapps.org/display?v=7u2828p3..Ставится оценка всей группе.

Задание 3: Решите уравнения методом «переброски»:

1. 2х2-9х+9=0,

2.  10х2-11х+3=0,

3.  3х2+11х+6=0,

4.  4х2+12х+5=0,

5.  3х2+х-4=0.

На выполнение этой работы даётся 5 минут. По истечении времени один ученик из каждой группы (учащиеся меняются) идёт к компьютеру и проверяет свои ответы по интерактивному упражнению, расположенному по следующему адресу  http://LearningApps.org/watch?v=aognx12a  .Ставится оценка всей группе.

Задание 4: Решить уравнения методом "коэффициентов".

1.5х2-7х+2=0;

2.3х2+5х-8=0;

3.11х2+25х-36=0;

4.11х2+27х+16=0;

5.939х2+978х+39=0.

На выполнение этой работы даётся 5 минут. По истечении времени один ученик из каждой группы (учащиеся меняются) идёт к компьютеру и проверяет свои ответы по интерактивному упражнению, расположенному по следующему адресу:  http://LearningApps.org/watch?v=g2jjk1jt.Ставится оценка всей группе.

Задание №5: Решить биквадратные уравнения:

1.х4-13х2+36=0;

2.х4-3х2-28=0;

3. х4-24х2-25=0;

3.4х4-5х2+1=0.

На выполнение этой работы даётся 5 минут. По истечении времени один ученик из каждой группы (учащиеся меняются) идёт к компьютеру и проверяет свои ответы по интерактивному упражнению, расположенному по следующему адресу http://LearningApps.org/watch?v=f1edi5jj. Ставится оценка.

4. Выставление оценок учащимся.

Оценив каждое из пяти заданий, учитель ставит общую оценку за работу на уроке. Докладчики получают дополнительную оценку за подготовку докладов и выступление на уроке.

5. Подведение итогов урока.

Подбирая материал к этому уроку, изучая дополнительную литературу, я и мои докладчики открыли для себя много интересного и нового о квадратных уравнениях, чего нельзя прочитать в учебнике. В наше время невозможно представить себе решение как простейших, так и сложных задач не только в математике, но и в других точных науках, без применения решения квадратных уравнений.

Надеюсь и вы открыли для себя что-нибудь новое.

6. Домашнее задание:

Подобрать по 2 уравнения к каждому из предложенных способов и решить их.

Литература:

1. Ю.Н.Макарычев и другие "Алгебра - 8".
2. Материалы газеты "Математика", приложение к "1 сентября".
3. Г.И.Глейзер "История математики в школе" (для учащихся 7-8 классов). Пособие для учителей. - М. Просвещение,1982
4. Энциклопедический словарь юного математика. - 2-е изд., испр и доп. - М. Педагогика, 1989.