Линейные уравнения с параметром.
методическая разработка по алгебре (8 класс)

В работе разобраны виды и способы решения линейных уравнений с параметром.

Скачать:

ВложениеРазмер
Файл линейные уравнения с параметром95.42 КБ

Предварительный просмотр:

Линейные уравнения с параметром

Оглавление

I. Введение 3

II. Линейные уравнения с параметрами уравнения приводимые к линейным 4

III. Примеры простейших линейных уравнений с параметром 6

IV. Линейные уравнения с параметром, имеющие стандартный канонический вид 8

V. Уравнения, приводимые к линейным уравнениям с параметром 10

Заключение 17

VI. Список использованной литературы………………………………..….18

I. Введение

Уравнения и неравенства с параметрами являются традиционно наиболее трудными задачами курса математики. Чаще всего они встречаются в заданиях повышенной сложности, а также ученики довольно часто сталкиваются с такими заданиями на ОГЭ и ЕГЭ.

Цель

Изучение решения линейных уравнений с параметрами.

Задачи

#1055;ознакомиться с понятием параметра.

#1048;зучить общий принцип и метод решения линейных уравнений с параметрами.

#1056;ассмотреть различные виды уравнений с параметрами.

#1053;аучиться решать уравнения с параметрами.

Актуальность

Тема «Решение и исследование уравнений с параметрами» присутствует в материалах ОГЭ и Единого государственного экзамена. Данная тема является одной из самых трудных в курсе алгебры.. Совершенно очевидно, что к «встрече» с такими задачами надо специально готовиться.

Предмет исследования: линейные уравнения с параметром.

Объект исследования: алгоритм решения линейных уравнений с параметрами.

II. Линейные уравнения с параметрами и уравнения приводимые к линейным

Параметр (от греческого “parametron” – отмеривающий) – величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой. С использованием параметров проводятся исследования многих систем и процессов реальной жизни. В частности, в физике в качестве параметров могут выступать температура, время и др. В математике параметры вводятся для обозначения некоторой совокупности объектов. Так, уравнение + = с параметрами а, b и с определяет совокупность всех окружностей; уравнение + = 1 – всех единичных окружностей; уравнение + = – совокупность концентрических окружностей с центром в начале координат. Рассмотрим с точки зрения алгебры, как определяется уравнение с параметром.

Определение. Уравнение вида Аx=В , где А и В зависят от параметра, то есть А=А(а), В=В(а) называется линейным уравнением с параметром а.

Замечание. Уравнение, которое с помощью тождественных преобразований сводится к уравнению Аx=В, также называется линейным.

Более примитивно линейное уравнение с параметром определяется как уравнение, в запись которого, кроме неизвестных, входят числа, обозначенные буквами.

В отношении уравнений с параметром чаще всего встречаются две постановки задачи:

1) Для каждого значения параметра найти все решения заданного уравнения;

2) Найти все значения параметра, при каждом из которых решения урав- нения удовлетворяют заданным требованиям.

В качестве примера рассмотрим уравнение

  1. Пусть, тогда уравнение примет вид

Решим его:

  1. Пусть , тогда уравнение примет вид , решением которого является любое действительное значение .
  2. Пусть , тогда уравнение примет вид . Решив его, получим, что . В этом случае уравнение не имеет решения.

Следовательно, сам факт существования решения зависит от значения

параметра .

Определение. Исследовать и решить уравнение с параметром это значит :

- найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение;

- найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, т.е. для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

Алгоритм решения линейного уравнения с параметром:

При решении линейных уравнений с параметром

сначала его нужно привести к виду, удобному для исследования

(стандартный канонический вид линейного уравнения с параметром),

выполнив ряд преобразований, потом следует определить контрольные

значения параметра, т.е. те значения, при которых коэффициент при

обращается в ноль. Эти значения разбивают множество значений параметра на несколько множеств, которые необходимо исследовать.

III. Примеры простейших линейных уравнений с параметром

Ответ: при корней нет, при

Ответ: при корней нет, при

Ответ: при корней нет,

при .

Ответ: при корней нет,

при .

Ответ: при корней нет,

при .

Ответ: при

при

Ответ: при

при

Ответ: при

при

Ответ: при

при

Ответ: если , то корней нет

если ,

если

т. е. и контрольные значения параметра.

1) При

2)

3) При

Ответ: если , то корней нет

если ,

если

IV. Линейные уравнения с параметром, имеющие стандартный канонический вид

– стандартный канонический вид линейного уравнения с параметром

Пример 1:

Ответ: если

если

Пример 2:

При

При

Ответ: при

при

при

Пример 3:

Ответ: при

при

при

V. Уравнения, приводимые к линейным уравнениям с параметром

Схема решения уравнений, приводимых к линейным :

  1. Указать и исключить все значения параметра и переменной, при которых уравнение теряет смысл.
  2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель, не равный нулю.
  3. Привести уравнение-следствие к виду и решить его.
  4. Исключить значения параметра, когда найденный корень принимает значения, при которых уравнение теряет смысл.
  5. Записать ответ.

Пример 1:

контрольное значение параметра.

1) При => => x – любое число

2) При

Ответ: при

при

Пример 2:

Ответ: при , корней нет

если ,

при

Примеры решений уравнений, содержащих параметр в знаменателе:

Пример 1:

ОДЗ:

при

Ответ: при решений нет;

при

Пример 2:

Умножим уравнение на :

Ответ: при

при

при

Пример 3:

ОДЗ:

При

Ответ: При нет решений

При x

Пример 4:

Умножим уравнение на :

Ответ: при

при

при

Примеры решений уравнений, содержащих и параметр и переменную в знаменателе

Пример 1:

Умножим уравнение на :

Исключим те a, при которых :

Ответ: при

при

при

Пример 2:

=> при

г) Найдём m при :

Ответ: Если

Если x-любое

Если

Пример 3:

При m=1 не имеет смысла

При

Найдём m при которых

Ответ: при уравнение не имеет смысла

При


Заключение

В заданиях ГИА и ЕГЭ часто встречаются линейные уравнения и неравенства с параметрами. Разбираться и решать эти уравнения очень интересно и познавательно.

В данной работе рассмотрен общий принцип и метод решений линейных уравнений с параметром, разобраны различные виды уравнений и приведено их решение.

Список использованной литературы:

#1043;алицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре 8-9. М.: Просвещение, 2001.

#1043;орнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. М.; Харьков: Илекса; Гимназия, 2003.

#1055;олякова Е.А. Уравнения и неравенства с параметрами. М.: Илекса; 2010.

#1064;ахмейстер А.Х. Уравнения и неравенства с параметрами. СПб.; «Петроглиф»,2006.


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Проект по теме "Решение линейных уравнений с параметрами"

Проект по теме "Решение линейных уравнений с параметрами"...

Линейные уравнения с параметрами

Задачи с параметрами являются одними из наиболее трудных задач курса элементарной математики. Их решение по существу представляет собой исследование функций, входящих в условие задачи, и последующее р...

Разработка методических рекомендаций решения линейных уравнений с параметрами.

Разработка методических рекомендаций решения линейных уравнений с параметрами....

Функционально-графический подход к решению линейных уравнений с параметром и модулем

План-конспект урока с использованием ЦОР для обобщающих уроков по теме "Линейные уравнения с параметром и модулем" для учащихся 7-9 классов и для подготовки к ГИА (презентация к уроку)...

Линейные уравнения с параметрами.

Целью урока является   организация продуктивной деятельности обучающихся, направленной на достижение ими метапредметных , предметных и личностных результатов. Урок представлен в форме плана-консп...

Решение линейных уравнений с параметрами, содержащих модули.

Урок по алгебре и началам анализа в профильном 11 классе....

Линейные уравнения и системы линейных уравнений с параметрами

Методическая разработка на тему: "Линейные уравнения и системы линейных уравнений с параметрами"...