Линейные уравнения с параметром.
методическая разработка по алгебре (8 класс)
В работе разобраны виды и способы решения линейных уравнений с параметром.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 95.42 КБ |
Предварительный просмотр:
Линейные уравнения с параметром
Оглавление
II. Линейные уравнения с параметрами уравнения приводимые к линейным 4
III. Примеры простейших линейных уравнений с параметром 6
IV. Линейные уравнения с параметром, имеющие стандартный канонический вид 8
V. Уравнения, приводимые к линейным уравнениям с параметром 10
VI. Список использованной литературы………………………………..….18
I. Введение
Уравнения и неравенства с параметрами являются традиционно наиболее трудными задачами курса математики. Чаще всего они встречаются в заданиях повышенной сложности, а также ученики довольно часто сталкиваются с такими заданиями на ОГЭ и ЕГЭ.
Цель
Изучение решения линейных уравнений с параметрами.
Задачи
#1055;ознакомиться с понятием параметра.
#1048;зучить общий принцип и метод решения линейных уравнений с параметрами.
#1056;ассмотреть различные виды уравнений с параметрами.
#1053;аучиться решать уравнения с параметрами.
Актуальность
Тема «Решение и исследование уравнений с параметрами» присутствует в материалах ОГЭ и Единого государственного экзамена. Данная тема является одной из самых трудных в курсе алгебры.. Совершенно очевидно, что к «встрече» с такими задачами надо специально готовиться.
Предмет исследования: линейные уравнения с параметром.
Объект исследования: алгоритм решения линейных уравнений с параметрами.
II. Линейные уравнения с параметрами и уравнения приводимые к линейным
Параметр (от греческого “parametron” – отмеривающий) – величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой. С использованием параметров проводятся исследования многих систем и процессов реальной жизни. В частности, в физике в качестве параметров могут выступать температура, время и др. В математике параметры вводятся для обозначения некоторой совокупности объектов. Так, уравнение +
=
с параметрами а, b и с определяет совокупность всех окружностей; уравнение
+
= 1 – всех единичных окружностей; уравнение
+
=
– совокупность концентрических окружностей с центром в начале координат. Рассмотрим с точки зрения алгебры, как определяется уравнение с параметром.
Определение. Уравнение вида Аx=В , где А и В зависят от параметра, то есть А=А(а), В=В(а) называется линейным уравнением с параметром а.
Замечание. Уравнение, которое с помощью тождественных преобразований сводится к уравнению Аx=В, также называется линейным.
Более примитивно линейное уравнение с параметром определяется как уравнение, в запись которого, кроме неизвестных, входят числа, обозначенные буквами.
В отношении уравнений с параметром чаще всего встречаются две постановки задачи:
1) Для каждого значения параметра найти все решения заданного уравнения;
2) Найти все значения параметра, при каждом из которых решения урав- нения удовлетворяют заданным требованиям.
В качестве примера рассмотрим уравнение
- Пусть
, тогда уравнение примет вид
Решим его:
- Пусть
, тогда уравнение примет вид
, решением которого является любое действительное значение
.
- Пусть
, тогда уравнение примет вид
. Решив его, получим, что
. В этом случае уравнение не имеет решения.
Следовательно, сам факт существования решения зависит от значения
параметра .
Определение. Исследовать и решить уравнение с параметром это значит :
- найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение;
- найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, т.е. для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.
Алгоритм решения линейного уравнения с параметром:
При решении линейных уравнений с параметром
сначала его нужно привести к виду, удобному для исследования
(стандартный канонический вид линейного уравнения с параметром),
выполнив ряд преобразований, потом следует определить контрольные
значения параметра, т.е. те значения, при которых коэффициент при
обращается в ноль. Эти значения разбивают множество значений параметра на несколько множеств, которые необходимо исследовать.
III. Примеры простейших линейных уравнений с параметром
Ответ: при корней нет, при
Ответ: при корней нет, при
Ответ: при корней нет,
при
.
Ответ: при корней нет,
при
.
Ответ: при корней нет,
при
.
Ответ: при
при
Ответ: при
при
Ответ: при
при
Ответ: при
при
Ответ: если , то корней нет
если ,
если
т. е. и
контрольные значения параметра.
1) При
2)
3) При
Ответ: если , то корней нет
если ,
если
IV. Линейные уравнения с параметром, имеющие стандартный канонический вид
– стандартный канонический вид линейного уравнения с параметром
Пример 1:
Ответ: если
если
Пример 2:
При
При
Ответ: при
при
при
Пример 3:
Ответ: при
при
при
V. Уравнения, приводимые к линейным уравнениям с параметром
Схема решения уравнений, приводимых к линейным :
- Указать и исключить все значения параметра и переменной, при которых уравнение теряет смысл.
- Умножить обе части уравнения на общий знаменатель, не равный нулю.
- Привести уравнение-следствие к виду
и решить его.
- Исключить значения параметра, когда найденный корень принимает значения, при которых уравнение теряет смысл.
- Записать ответ.
Пример 1:
контрольное значение параметра.
1) При =>
=> x – любое число
2) При
Ответ: при
при
Пример 2:
Ответ: при , корней нет
если ,
при
Примеры решений уравнений, содержащих параметр в знаменателе:
Пример 1:
ОДЗ:
при
Ответ: при решений нет;
при
Пример 2:
Умножим уравнение на :
Ответ: при
при
при
Пример 3:
ОДЗ:
При
Ответ: При нет решений
При x
Пример 4:
Умножим уравнение на :
Ответ: при
при
при
Примеры решений уравнений, содержащих и параметр и переменную в знаменателе
Пример 1:
Умножим уравнение на :
Исключим те a, при которых :
Ответ: при
при
при
Пример 2:
=> при
г) Найдём m при :
Ответ: Если
Если x-любое
Если
Пример 3:
При m=1 не имеет смысла
При
Найдём m при которых
Ответ: при уравнение не имеет смысла
При
Заключение
В заданиях ГИА и ЕГЭ часто встречаются линейные уравнения и неравенства с параметрами. Разбираться и решать эти уравнения очень интересно и познавательно.
В данной работе рассмотрен общий принцип и метод решений линейных уравнений с параметром, разобраны различные виды уравнений и приведено их решение.
Список использованной литературы:
#1043;алицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре 8-9. М.: Просвещение, 2001.
#1043;орнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. М.; Харьков: Илекса; Гимназия, 2003.
#1055;олякова Е.А. Уравнения и неравенства с параметрами. М.: Илекса; 2010.
#1064;ахмейстер А.Х. Уравнения и неравенства с параметрами. СПб.; «Петроглиф»,2006.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Проект по теме "Решение линейных уравнений с параметрами"
Проект по теме "Решение линейных уравнений с параметрами"...
Линейные уравнения с параметрами
Задачи с параметрами являются одними из наиболее трудных задач курса элементарной математики. Их решение по существу представляет собой исследование функций, входящих в условие задачи, и последующее р...

Разработка методических рекомендаций решения линейных уравнений с параметрами.
Разработка методических рекомендаций решения линейных уравнений с параметрами....
Функционально-графический подход к решению линейных уравнений с параметром и модулем
План-конспект урока с использованием ЦОР для обобщающих уроков по теме "Линейные уравнения с параметром и модулем" для учащихся 7-9 классов и для подготовки к ГИА (презентация к уроку)...
Линейные уравнения с параметрами.
Целью урока является организация продуктивной деятельности обучающихся, направленной на достижение ими метапредметных , предметных и личностных результатов. Урок представлен в форме плана-консп...

Решение линейных уравнений с параметрами, содержащих модули.
Урок по алгебре и началам анализа в профильном 11 классе....

Линейные уравнения и системы линейных уравнений с параметрами
Методическая разработка на тему: "Линейные уравнения и системы линейных уравнений с параметрами"...