"Решение показательных неравенств" Конспект урока алгебры 11 класс
план-конспект урока по алгебре (11 класс)

слайд

Мотивация 

Мы живем в то время, когда технологии развиваются очень быстрыми темпами. То, что еще 100 лет назад было сказкой и вымыслом, сегодня обыденное явление. Например, в теории межпланетных путешествий решается задача об определении массы топлива, необходимого для того, чтобы придать ракете нужную скорость v. Эта масса М зависит от массы m самой ракеты (без топлива) и от скорости vo, с которой продукты горения вытекают из ракетного двигателя. Если не учитывать сопротивление воздуха и притяжение Земли, то масса топлива определяется формулой:

М = m0(ev/vo-1) (формула К.Э. Циолковского).

Например, для того чтобы ракета с массой 1,5т имела скорость 8000м/с, надо взять примерно 80 т топлива.

Изменение атмосферного давления p в зависимости от высоты h над уровнем моря описывается формулой   p = pо ∙ ah, где pо – атмосферное давление над уровнем моря, а – некоторая постоянная.

На 100 м подъёма давление падает на 1 мм рт ст.

Какая функция используется для этих процессов? ( Показательная функция)

Слайд

Сегодня мы  продолжим изучать  показательную функцию.

Пусть эпиграфом к нашему уроку станет восточная мудрость: «Приобретать знания - храбрость, приумножать их - мудрость, а умело применять - великое искусство”.

Мобилизирующий момент: Урок я хочу начать притчей “Однажды молодой человек пришел к мудрецу. Каждый день по пять раз я произношу фразу: «Я принимаю радость в мою жизнь» Но радости в моей жизни нет. Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил «Назови, что ты выбираешь из них». «Ложку», – ответил юноша. Произнеси это 5 раз.». «Я выбираю ложку», послушно произнес юноша 5 раз.. «Вот видишь, -сказал мудрец, повторяй хоть миллион раз в день, она не станет твоей. Надо…» Что же надо? Надо протянуть руку и взять ложку. Вот и вам сегодня надо взять свои знания и применить их на практике.

Мы изучили график и свойства показательной функции, познакомились с решением уравнений и начали изучать показательные неравенства. Сегодня мы продолжим эту работу.

Какую цель вы ставите перед собой на сегодняшний урок?

Слайд

Слайд

Слайд

 Актуализация

Предлагаю начать урок с разминки.

Задание 1.  Найди ошибки, используя остаток от вычеркивания 9

891245673-52478291=838767382 (верно)

5260265+4504597=9763862 (неверно)(3=4)

5982347*237=1437816239 ( неверно)

Найдите ошибку в решении уравнения и неравенства

Работа на доске

Теоретический опрос:

а) определение показательной функции;

 б) какова область определения показательной функции;

в) какова область значений показательной функции;

 г) в каком случае показательная функция является возрастающей, убывающей;

 д) как расположен график;

е) каковы основные методы решения показательных уравнений (метод замены, однородное уравнение, разложение левой части уравнения на множители и переход к совокупности, функционально – графический, метод интервалов);

ж) что называется решением неравенства, что значит решить неравенств.

Проанализировать результаты задания 4 и попытаться сформулировать правило решения простейших показательных неравенств вида

Правило, сформулированное учениками, переводится на математический язык и записывается на доске:

Фронтальная работа с классом. Цель: Использования свойства возрастания-убывания показательной функции при решении показательных неравенств.

Решите неравенства

Решение более сложных показательных неравенств.

Цель: Решение более сложные показательных неравенств сведением их различными способами к простейшим.

Рассмотрим методы решения показательных неравенств, не являющихся простейшими. При их решении используются приёмы преобразования выражений, стоящих в левой и правой частях неравенства, аналогичные тем, которые использовались и при решении показательных уравнений.

а) Метод замены переменной

б) Решение однородных неравенств. При решении однородных неравенств используется свойство показательной функции ax > 0, производим деление обеих частей неравенства на положительную величину и вводим новую переменную.

Пример: 2x+1 – 3∙10x > 52x+1  

Решение:

в) Метод интервалов.

Пример: 4x < 3+

Решение. Рассмотрим функцию f(x) =  4x – 3∙  –  , областью определения которой является множество неотрицательных чисел. Находим нули функции, решив уравнение

4x – 3∙  –   = 0. Делим обе части уравнения на  , после преобразований получим уравнение ( )2 – 3∙  – 4 = 0 , откуда   = 4 или   = -1.  Последнее уравнение не имеет решения, а уравнение   = 4  имеет единственный корень, равный 4. Нуль функции разбивает область определения на промежутки  , в которых функция (в силу своей непрерывности) сохраняет знак.

f(1) < 0.

f(9) = 49 – 3∙212 – 44 = 44∙(45 – 48 – 1) > 0

Итак, исходное неравенство выполняется при 0 < x < 4. Ответ:  

г) Функционально-графический метод.

Пример: 2x < 3 – x

Решение. Функции f(x) = 2x и g(x) = 3  – x  и определены на всём множестве действительных чисел. Функция f(x) = 2x возрастающая на R, а функция  убывающая на R, значит, уравнение f(x) = g(x) имеет не более одного корня. Не сложно убедиться в том, что 1 является единственным корнем уравнения. Таким образом, графики функций имеют одну точку пересечения. Неравенство имеет решение тогда, когда график функции f(x) = 2x  лежит не выше графика функции

g(x) = 3 – x, то есть при x < 1.

Ответ:  

Рефлексия урока. Отметить точкой на графике показательной функции уровень своих полученных знаний сегодня на уроке.

Итоги урока.  Давайте вернемся к эпиграфу нашего урока  и подведем итог.

VIII. Закрепление знаний. Онлайн тест «Решу ЕГЭ» Дмитрия Гущина.

IX. Домашнее задание:

1 уровень.

                        Вариант 1.                                                Вариант 2.

№1 Решите уравнение:                                               №1 Решите уравнение:

а) 3^(х^2-х)=9 ;                                                                        а)2^(х^2-3х)=  1/4

б) 2 х – 1 + 2 х + 2= 36.                                                            б) 5 х  - 5 х - 2= 600.

№2. Решите неравенства:                                           №2. Решите неравенства:  

 а)  (〖1/5)〗^( 1-2х)> 1/125  ;                                                               а)   (1/7)^(3-х) <  1/49    ;    

б)  4х – 2х ≥ 2.                                                                      б) 9х – 3х ≤ 6.          

 2 уровень.  

                        Вариант 1.                                                Вариант 2.

№1 Решите уравнение:                                               №1 Решите уравнение:

а) (2^(х+4) )^(х-3)= 〖0,5〗^х∙4^(х-4) ;                                             а) (3^(х-3) )^(х+4)= (1/3)^(3х-1)∙9^(х+1) ;

б) 3х-1 + 3х+ 3х +1 = 13∙3^(х^2-7).                                          б) б) 2х+2 + 2х+3+ 2х +4 = 7∙2^(х^2 ).  

№2. Решите неравенства:                                           №2. Решите неравенства:  

а)(1/3)^(х^2-4х-1)>9^(х-1) ;                                                        а)(1/2)^(х^2+х-2)<4^(х-1) ;

б) 5х + 51-х≥ 6 .                                                                   б) 41-х + 4х≥ 5.

3 уровень.

 Вариант 1.                                                                            Вариант 2.

№1 Решите уравнение:                                               №1 Решите уравнение:

а) ∛(3^(х+1) )=(∜(9^(х -2) ))^(х+1);                                             а)   ∛(2^(х-2) )=(∜(4^(х+3) ))^(х-2);

б) 6х + 6х +1 = 2х + 2х +1 + 2х +2.                                  б) 3х - 1 + 3х + 3х +1 = 12х-1 + 12х.

№2. Решите неравенства:                                           №2. Решите неравенства:  

а) (2^(х^2-х-2)-1)/(х^2-х-2)≥0   ;                                                          а)    (1- 3^(х^2+2х-3))/(х^2+2х-3)≤0;

б) 4х +1 - 13∙6х + 9х+1 ≤0.                                               б) 25х +0,5 - 7∙10х + 22х+1 ≥0.