Решение уравнений и неравенств
консультация по алгебре

Решение уравнений и неравенств

1. Общие приёмы решения уравнений

1.1. Равносильность уравнений

        Уравнением с одной переменной x называется выражение    f (x) = g (x), (1) содержащее переменную величину x и знак равенства.        

        Число a называется корнем (или решением) уравнения (1), если при подстановке этого числа в уравнение получается верное числовое равенство.

Замечание. Важно понимать, что решение – это число, например, 15 или , поэтому ответ при решении уравнения должен содержать именно числа, а не выражения, уравнения и т. п.

      Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.

      Уравнения f (x) = g (x) и f1 (x) = g1 (x) называются равносильными, если любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения и наоборот, или если оба эти уравнения не имеют решений. Проще говоря, уравнения равносильны, если они имеют одно и то же множество корней.

Тот факт, что уравнения f (x) = g (x) и f1 (x) = g1 (x) равносильны, записывается так:

здесь  ⇔ – знак равносильности.

Ясно, что уравнение f1 (x) = g1 (x) может оказаться проще уравнения f (x) = g (x), а так как оно имеет те же корни, что и исходное уравнение (1), то его и нужно решать.

Возникает вопрос: как от уравнения (1) перейти к более простому (но равносильному ему!) уравнению f1 (x) = g1 (x)? Сформулируем несколько правил преобразования уравнений.

      Правило 1. Если выражение φ (x) определено при всех x, при которых определены выражения f (x) и g (x), то уравнения f (x) = g (x) и f (x) + φ (x) = g (x) + φ (x) равносильны. В частности,

Здесь φ (x) = –g (x). То есть любое слагаемое можно переносить из одной части неравенства в другую, не нарушая равносильности.

Пример 1.   Равносильны ли уравнения  x = 1  и  

Решение

Уравнение x = 1 (f (x) = x, g (x) = 1) имеет очевидный корень 1. При этом f (x) и g (x) определены на всей действительной оси. Рассмотрим функцию  и заметим, что прибавление φ (x) к обеим частям уравнения нарушает равносильность. Действительно, как уже отмечалось, уравнение x = 1 имеет корень, а уравнение 

корней не имеет. Это произошло потому, что выражение φ (x) определено не при всех x, при которых определены функции f (x) и g (x). Именно, оно не определено при x = 1, при котором f (x) и g (x) имеют смысл.

Ответ. Нет.

        Правило 2. Если выражение φ (x) определено при всех x, при которых определены выражения f (x) и g (x), то любое решение уравнения f (x) = g (x) является решением уравнения f (x) · φ (x) = g (x) · φ (x).   (2)

В этом случае говорят, что уравнение (2) является следствием уравнения (1) и записывают это так:                                        Естественно, уравнение (2) имеет больше корней, чем уравнение (1), например, его корнями будут ещё и корни уравнения φ (x) = 0.   Таким образом, умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение может привести к появлению посторонних корней.  Если же φ (x) таково, что φ (x) ≠ 0 для тех x, для которых определены функции f (x) и g (x), то

         Это значит, что для сохранения равносильности умножать обе части уравнения можно лишь на отличное от нуля выражение.

Пример 2.    Равносильны ли уравнения x = 1 и x(x – 2) = x – 2?

Решение

      Уравнение x = 1 (f (x) = x, g (x) = 1) имеет очевидный корень 1. При этом f (x)  и g (x) определены на всей действительной оси. Рассмотрим функцию φ (x) = x – 2 и заметим, что умножение обеих частей уравнения на  φ (x) нарушает равносильность. Действительно, как уже отмечалось, уравнение x = 1 имеет единственный корень, а уравнение  x(x – 2) = x – 2 имеет уже два корня: x = 1  и x = 2. Отметим, что все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, но не наоборот. Это и обозначается как 

Ответ. Нет.

       Правило 3. Каждое решение уравнения (1) является решением уравнения (f (x))n = (g (x))n при любом натуральном n, то есть

    (3)

При этом, если n нечётно (n = 2k + 1), то можно поставить знак равносильности:

Для чётных n справедливо только (3).

 Пример 3.    Уравнение x = 1 имеет корень 1. Возведём обе части уравнения в квадрат, получим x2 = 1. Это уравнение уже имеет два корня: x = 1 и x = –1. А последнее как раз и означает, что уравнение x2 = 1 является следствием уравнения x = 1. 

         Разобранный пример показывает, что возведение уравнения в чётную степень может привести к появлению новых корней. Конечно, может и не привести, но раз есть опасность появления чего-то лишнего, то на этапе возведения в квадрат нужно осознавать эту неприятность (зачем нам лишние корни?) и потом обязательно производить проверку.

       Правило 4. Каждое решение уравнения f (x) · g (x) = 0 является решением, по крайней мере, одного из уравнений: f (x) = 0 или g (x) = 0.   (4)    Другими словами, из уравнения f (x) · g (x) = 0 следует, что либо f (x) = 0, либо g (x) = 0:      

Обратное, вообще говоря, неверно, что показывает следующий пример.

Пример 4.     Рассмотрим уравнение  

Здесь  f(x) = x   и  g(x) = x2 – 3x.  Корнями исходного уравнения являются числа 0 и 2. Число 3 не является его корнем, поскольку при x = 3 подкоренное выражение отрицательно. Интересно, что при этом x = 3, тем не менее, является корнем функции g (x). А это как раз обозначает, что решениями совокупности     являются числа 0, 2 и 3. Как видно, в самом деле, совокупность имеет больше решений, чем уравнение f (x) · g (x) = 0, то есть равносильности нет. Верным будет такое соотношение равносильности:

В нашем примере условие того, что функция f (x) должна быть определена, приводит к выводу, что x = 3 – не решение, как и должно быть.

Замечание. Вспомним, что квадратная скобка [ обозначает операцию «или», то есть то, что верно хотя бы одно из выражений, объединенных скобкой. Фигурной же скобкой { обозначается операция «и», то есть выражения, объединенные знаком скобки, верны одновременно.

Из этих четырёх правил следует, что с помощью стандартных приёмов и методов решения уравнений, а именно:

• преобразования (раскрытие скобок, освобождение от знаменателя, приведение подобных членов, возведение уравнения в нечетную натуральную степень и т. д.),
• разложения на множители (формально этот приём относится к преобразованиям, но, так как он довольно часто встречается самостоятельно, мы его выделяем особо),
• введения вспомогательных неизвестных,

уравнение (1) может быть сведено к более простому и, самое главное, равносильному уравнению f1 (x) = g1 (x).

                                                        Общие приёмы решения уравнений

1.2. Разложение выражений на множители

       Изучение приёмов преобразования уравнений начнём с обсуждения того, как можно разлагать на множители выражения, входящие в данное уравнение. Вообще представление уравнения f (x) = g (x) в виде

F1 (x) · F2 (x) · ... · Fn (x) = 0,   (5)

где выражения Fk (x), k = 1, ..., n «проще» функций f (x) и g (x), представляет собой несомненное продвижение в решении уравнения. В самом деле, представление вида (5) позволяет сразу приравнивать множители Fk (x) нулю и решать более простые уравнения. Представление уравнения (1) в виде (5) иногда называют факторизованным видом уравнения (1) (от английского слова «factor» – множитель).

       Перечислим теперь некоторые наиболее распространённые приёмы разложения многочленов, как наиболее простых алгебраических функций, на множители.

1. Вынесение общего множителя за скобку

В том случае, когда все члены многочлена имеют один и тот же общий множитель, его можно вынести за скобку, получая тем самым разложение многочлена.

Пример 1.     Разложить на множители многочлен    x5 – 2x3 + x2.

Решение

Каждое слагаемое этого многочлена содержит множитель x2. Вынесем его за скобку и получим ответ:

x5 – 2x3 + x2 = x2(x3 – 2x + 1).

2. Применение формул сокращённого умножения

Формулы сокращения довольно эффективно применяются при разложении многочлена на множители. Полезно помнить следующие формулы:

Пример 2.   Разложить на множители многочлен (x – 2)4 – (3x + 1)4.

Решение

3. Применение выделения полного квадрата

     Метод выделения полного квадрата является одним из наиболее эффективных методов разложения на множители. Суть его состоит в выделении полного квадрата и последующего применения формулы разности квадратов. Поясним на примере.

Пример 3.   Разложить на множители многочлен x4 + 4x2 – 1.

Решение

Имеем    

4. Группировка

      Метод группировки слагаемых, как правило, применяется совместно с другими методами разложения на множители и чаще всего с методом вынесения за скобки. Суть метода состоит в том, что все слагаемые данного многочлена перегруппировываются таким образом, чтобы в каждой группе, возможно после вынесения общего множителя за скобки, образовалось бы одно и то же выражение. Это выражение можно также вынести за скобки как общий для всех групп множитель.

5. Метод неопределённых коэффициентов

      Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной.

Теоретической основой метода являются следующие утверждения.

• Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.
• Любой многочлен третьей степени имеет хотя бы один действительный корень, а потому разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителя.
• Любой многочлен четвёртой степени разлагается в произведение многочленов второй степени.

Пример 4.  Разложить на множители многочлен 3x3 – x2 – 3x + 1.

Решение

3x3 – x2 – 3x + 1 = (x – p)(ax2 + bx + c) = ax3 + (b – ap)x2 + (c – bp)x – pc.

3x3 – x2 – 3x + 1 = (x – 1)(3x2 + 2x – 1).

6. Теорема о корнях многочлена

      Разложение многочлена на множители иногда удаётся провести, если один из его корней угадан с помощью теоремы о рациональных корнях. После того, как корень x = α угадан, многочлен Pn (x) представим в виде Pn (x) = (x – α) · Pn – 1 (x), где Pn – 1 (x) − многочлен степени на 1 меньше, чем Pn (x).

Пример 5 

Разложить на множители многочлен x3 – 5x2 – 2x + 16.

Решение

      Данный многочлен имеет целые коэффициенты. По следствию теоремы о рациональных корнях, если целое число является корнем этого многочлена, то оно является делителем числа 16, то есть если у данного многочлена есть целые корни, то это могут быть только числа ±1, ±2, ±4, ±8, ±16.  Проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем этого многочлена, то есть x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2) · Q (x),  где Q (x) − многочлен второй степени. Следовательно, исходный многочлен разлагается на множители, один из которых (x – 2).

x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2) · Q (x),

7. Разложение относительно параметра

Суть этого метода легче всего понять на примере.

Пример 6.   Разложить на множители многочлен x4 – 10x2 – x + 20.

Решение

Преобразуем данный многочлен: x4 – 10x2 – x + 20 = x4 – 5 · 2x2 – x + 25 – 5 = 25 – 5(1 + 2x2) + x4 – x

Рассмотрим теперь многочлен a2 – a(1 + 2x2) + x4 – x, который при a = 5 совпадает с данным. Полученный многочлен является квадратным, его корни легко найти по теореме Виета:     a2 – a(1 + 2x2) + x4 – x = 

a2 – a(1 + 2x2) + x(x3 – 1) = a2 – a(1 + 2x2) + x(x – 1)(x2 + x + 1).

Следовательно, a1 = x(x – 1), a2 = x2 + x + 1. Значит, исходный многочлен разлагается на множители

a2 – a(1 + 2x2) + x4 – x = (a – (x2 – x))(a – (x2 + x + 1)).

Вернемся к многочлену, данному в условии задачи, подставив a = 5. Получим: 

x4 – 10x2 + x + 20 = (5 – x2 + x)(5 – x2 – x – 1) = (x2 – x – 5)(x2 + x – 4).

1.3. Замена переменных в уравнении

        Самым важным методом решения уравнений любого типа является введение нового неизвестного, относительно которого уравнение имеет более простой вид, легко приводящийся к элементарному типу.

Перечислим наиболее часто встречающиеся типы замен.

• Замена y = xn (степенная замена)

В частности, с помощью замены y = x2 так называемое биквадратное уравнение ax4 + bx2 + c = 0, a ≠ 0 приводится к квадратному.

• Замена  y = Pn (x)  или  y =     (замена многочлена)

Чаще всего встречается замена y = a + bx + c  или  y =  .

• Замена  y =    (дробно-рациональная замена). Здесь, как и всегда, Pn (x) и  Qn (x)− многочлены степеней n и m соответственно.

В частности, с помощью широко распространённой замены  y = x +   решаются так называемые возвратные уравнения, то есть уравнения вида ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0, a ≠ 0.

Покажем, как это делается. Так как a ≠ 0, то число x = 0 не является корнем этого уравнения. Разделим уравнение на x2 ≠ 0, получим

А так как x2 +   =   то после замены y = x +   уравнение сводится к квадратному  ay2 + by + c – 2a = 0. 

            Два практических совета.

Совет 1. Замену переменных нужно делать сразу, при первой же возможности.

Совет 2. Уравнение относительно новой переменной нужно решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.

Пример 1.    Решите уравнение (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) = 12.

Решение

      Сделаем замену переменных       В терминах новой неизвестной уравнение имеет вид     Корни этого квадратного уравнения t = –4 и t = 3.  Имеем два случая.

1)  Значит, это уравнение корней не имеет.

2)    Корни этого уравнения x = 1 и x = –2.

Ответ. x = 1 и x = –2.

Пример 2.     Решите уравнение

Решение

Непосредственной проверкой убеждаемся, что x = 0 не является корнем этого уравнения. Разделим числитель и знаменатель каждой из дробей на x. Имеем    

Теперь очевидна замена переменной:      В терминах новой переменной имеем уравнение 

Корни этого уравнения y = 9 и y = 16. Имеем два случая:

1)     Следовательно, это уравнение корней не имеет.

2)     Корни этого уравнения   и  

Ответ:       и  

1.4. Линейные уравнения

  - Уравнение вида ax + b = 0, где x − переменная, a и  b − некоторые действительные числа, называется уравнением степени не выше первой.

Если a = b = 0, то решением уравнения ax + b = 0 является любое число.

Если a = 0 и b ≠ 0, то уравнение корней не имеет.

Если a ≠ 0, то уравнение ax + b = 0 называется линейным и имеет ровно одно решение x = - .

Пример 1.   Решите уравнение x = 1.

Решение

Корнем этого уравнения является число 1, поскольку при подстановке вместо x этого числа получается верное числовое равенство.

Ответ. 1.

Пример 2.    Решите уравнение 0 ∙ x + 1 = 0.

Решение

Имеем: 

Это уравнение не имеет решений, поскольку ни при каких значениях переменной (которая, очевидно, явно не входит в уравнение) равенство 1 = 0 не имеет место.

Ответ. Нет решений.

Пример 3.   Решите уравнение 0 ∙ x + 1 = 1.

Решение

Имеем 

Решением этого уравнения является любое действительное число. В самом деле, при любом значении переменной равенство 1 = 1 является верным.

Ответ. x − любое число.

1.5. Квадратные уравнения

      Уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где x − переменная, a, b и c − некоторые действительные числа, называется уравнением степени не выше второй.

Если a = 0, то уравнение примет вид bx + c = 0 и будет уравнением степени не выше первой, которое рассмотрено выше.

Если a ≠ 0, то уравнение рассматриваемого вида называется квадратным уравнением (или уравнением второй степени).

Обозначим f (x) = ax2 + bx + c и зададимся целью решить уравнение  f (x) = ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

Разложение квадратного трехчлена на множители:   D = b2 – 4ac,

Следующим существенным шагом является извлечение арифметического квадратного корня из обеих частей полученного уравнения, но поскольку дискриминант может иметь разные знаки, то возникает три случая:

• Если D < 0, то действительных корней нет.
• Если D = 0, то корни совпадают и равны   =  
• Если D > 0, то, извлекая корень, получим  

Это и есть формула для решения квадратного уравнения.

 Пример 1 

Решите уравнения  1)   x2 + 2x – 3 = 0,  2)   x2 + 6x + 9 = 0,   3)  x2 + 2x + 17 = 0.

1.6. Алгебраические уравнения

       Теорема Гаусса. Любое алгебраическое уравнение

   (*)

имеет на множестве комплексных чисел хотя бы одно решение.

        Эту теорему также называют основной теоремой алгебры. Согласно этой теореме, уравнение (*) имеет хотя бы один корень z = z0. Разделив многочлен, стоящий в левой части (*) на одночлен (z = z0), мы получим снова уравнение вида (*), которое согласно той же теореме Гаусса имеет хотя бы одно решение. Продолжая так n раз, получим следствие теоремы Гаусса: любое алгебраическое уравнение n-ной степени имеет ровно n, вообще говоря, комплексных, корней (разумеется, некоторые корни могут совпадать).

Пример 1.    Решите уравнение z3 + z – 2 = 0.

Решение

Рациональные уравнения являются следующим по сложности типом стандартных уравнений.

  -   Функция f (x) называется рациональной (дробно-рациональной), если она представима в виде отношения двух многочленов:  f(x) =   (степени n  и  m многочленов могут быть произвольными).

  -Уравнение f (x) = g (x) называется дробно-рациональным, если f (x) и g (x) являются дробно-рациональными функциями.

Для решения дробно-рациональных уравнений существует алгоритм.

1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

2. Заменить данное уравнение уравнением с целыми коэффициентами, умножив его на общий знаменатель.

3. Попытаться решить полученное уравнение с целыми коэффициентами.

4. Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

5. Записать ответ.

Пример 2.    Решите уравнение  

Решение

Общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, есть (x – 1)(x + 2). Умножая на него обе части уравнения, получим3x(x + 2) – 2x(x – 1) = 3x + 2. Последнее уравнение сводится к квадратному уравнению  x2 + 5x + 6 = 0, корни которого x = –3 и x = –2. Подставляя эти числа в общий знаменатель дробей исходного уравнения, убеждаемся, что при x = –2  он обращается в нуль, при x = –3 знаменатель нулю не равен. Значит,  x = –2 не является корнем уравнения.

Ответ. x = –3.

   Уравнения, в которых переменная входит под знаком радикала, называются иррациональными уравнениями.

Стандартным методом их решения является возведение уравнения в подходящую степень. Однако, возведение уравнения в произвольную степень не всегда приводит к равносильному уравнению.

Действительно, уравнение

    (6)

является лишь следствием уравнения f (x) = g (x), то есть содержит все корни этого уравнения, но может иметь и другие корни. Уравнение (6) среди своих корней содержит ещё и корни уравнения f (x) = –g (x) (если таковые существуют), следствием, которого оно также является. Итак, у уравнения (6) «больше» корней, чем у уравнения f (x) = g (x), а это как раз и обозначает, что при возведении в чётную степень могут появиться посторонние корни. В этом случае проверка необходима, как составляющий элемент решения. Она необходима даже в тех случаях, когда лишние корни не появились, но ход решения был таков, что они могли появиться. В последнем случае иногда проще сделать проверку, чем доказать, что она не нужна. Именно поэтому проверка здесь является элементом решения.

      К тому же, проверка может быть средством контроля правильности проделанных вычислений. Однако проверить полученные корни подстановкой не всегда легко. Лишние корни, которые могли появиться при возведении уравнения, например, в квадрат, могут быть отсеяны на основе следующего соображения.

Рассмотрим уравнение

     (7)

Ясно, что если x = x0 − решение этого уравнения, то обе части этого равенства при x = x0 должны быть неотрицательны. Следовательно, потребовав дополнительно, чтобы g(x) ≥ 0, уравнение можно возвести в квадрат. Имеем следующее соотношение равносильности:

       (8)

Система (8) действительно является равносильной уравнению (7). В самом деле, из системы (8) следует, что функция f (x) равна полному квадрату функции g (x), то есть для решения является неотрицательной.

Пример 3.  Решите уравнение  

Решение.   Перейдём сразу к равносильной системе:

1.7. О понятии ОДЗ

    ОДЗ (областью допустимых значений) уравнения называется множество тех значений неизвестной, при которых определены его правая и левая части. Очевидно, что вне ОДЗ решений не существует, однако не все числа, входящие в ОДЗ, служат решениями уравнения.

Уравнение можно решить и не находя ОДЗ. С другой стороны, верно найденное ОДЗ и последующий отбор корней с его помощью не может гарантировать отсутствие ошибок.

Приведём два примера, показывающих, что нахождение ОДЗ может быть как чрезвычайно сложной с одной стороны, так и абсолютно необходимой, с другой стороны, задачей.

Пример 1.   Решите уравнение

Решение

Совершенно понятно, что поиск ОДЗ в данном примере сопряжён с трудностями. Попробуем решить это уравнение непосредственно. Поскольку мы будем лишь возводить в квадрат, то ОДЗ может лишь расшириться, то есть могут появиться посторонние корни. Однако эти корни мы можем отсеять проверкой. Имеем:    

Проверкой убеждаемся, что из двух найденных корней подходит только 1. Так как при возведении в квадрат мы не могли потерять решения, а могли только их приобрести, то 1 и есть окончательный ответ.

Ответ. 1.

Пример 2.   Решите уравнение 

Решение

В этом примере наоборот сложно его решение. Однако поиск ОДЗ приносит несомненную пользу. В самом деле, ОДЗ:

Значит, ОДЗ нашего уравнения содержит только два числа. А поскольку вне ОДЗ решений быть не может, то корнями нашего уравнения могут быть только эти два числа. Для того чтобы понять, какое из них действительно является решением, нужно полученные числа подставить в уравнение. Подстановка даёт, что x = 0 не является решением уравнения, а x = 1 − является.

Ответ. 1.

Таким образом, к понятию ОДЗ нужно относиться творчески и искать его, только если в этом возникает существенная необходимость. Так, например, в равносильном переходе

требование g (x) ≥ 0 задаёт ОДЗ. Однако, если искать g (x) очень сложно, то проще подставить найденные корни в исходное уравнение, чем выяснять, при каких x выполнено неравенство g (x) ≥ 0.

1.8. Уравнения, содержащие модуль

Самый распространённый, а иногда и единственно возможный метод решения уравнений с модулем – раскрытие модуля согласно определению:

Пример 1.  Решите уравнение   |x – 5| – |2x + 8| = –12.

Решение

Выражения, стоящие под знаком абсолютной величины, обращаются в нуль при x = –4 и x = 5. Значит, нужно рассмотреть 3 случая:  1) x ≤ –4;   2) –4 < x ≤ 5;   3) x > 5.  Получим три уравнения, в каждом из которых на неизвестное наложено ограничение. На рисунке схематично показано, какой знак будут иметь подмодульные выражения на каждом из трёх промежутков.

Рисунок 3.1.8.1

1. x ≤ –4. В этом случае 2x + 8 < 0, x – 5 < 0. Следовательно,  С учётом этого уравнение принимает вид        x = –25 удовлетворяет ограничению x ≤ –4.
2. –4 < x ≤ 5.    Этот корень удовлетворяет нужным ограничениям.
3. 3. x > 5.     Этот корень не удовлетворяет нужным ограничениям.

Ответ. −25; 3.

Этот метод удобно применять, когда подмодульные выражения довольно просты (линейны), и можно сразу понять, где они обращаются в нуль. Рассмотрим простейшее уравнение с модулем вида

|f (x)| = g (x),    (9)

где функция f (x) проще функции g (x). Это уравнение равносильно следующей системе уравнений:

Убедиться в справедливости этого утверждения можно, перебрав все возможные варианты.

Если же под модулем стоит функция, найти корни которой затруднительно, то условие равносильности можно переписать так:

1.9. Показательные и логарифмические уравнения

Показательные уравнения

Уравнения вида   af (x) = b,  a > 0, a ≠ 1, b > 0

        По определению логарифма из основного логарифмического тождества получаем, что f(x)  =   Если f (x) − алгебраическая функция, то и это уравнение будет алгебраическое, которое можно решить с помощью стандартных методов (так как  − это конкретное число, такое же, как и 5,  π, и т. п.).

Уравнения вида   F(af (x)) = 0, a > 0, a ≠ 1

        Такие уравнения решаются в два этапа:

a) С помощью замены  t = af (x)  это уравнение сводится к уравнению F (t) = 0, у которого ищутся все его положительные корни tk, k =  n  (пусть таких корней ровно n штук).

b) Для каждого k =  решается уравнение типа рассмотренного выше: af (x) = tk. 

Эти два типа показательных уравнений являются основными, к ним сводятся все остальные методы.

Пример 1.   Решите уравнение    

Решение

Так как  то, делая замену  получаем квадратное уравнение  корни которого  и  Второй корень, очевидно, посторонний, так как нарушается условие t > 0. Получаем уравнение 1-го типа: 

Ответ. 

Уравнения вида af (x) = ag (x), a > 0, a ≠ 1

       В силу свойств монотонности показательной функции это уравнение равносильно уравнению f (x) = g (x).

Пример 2.    Решите уравнение  

Решение

Так как  и   то уравнение можно записать в виде     Следовательно, исходное уравнение равносильно иррациональному уравнению     Имеем: 

Отсюда следует, что  то есть x = 25; во втором случае  − решений нет.

Ответ. 25.

Пример 3.    Решите уравнение    

Решение

Сразу заметим, что уравнение имеет вид  что равносильно уравнению

Ответ. 1, –1.

Уравнения вида  af (x) = bg (x), a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1

      При решении таких уравнений применяется стандартный приём. Прологарифмируем обе его части по любому основанию. В нашем случае удобно логарифмировать по основанию a (или b), то есть по основанию показательной функции, входящей в уравнение:

А это уравнение уже можно решать стандартными алгебраическими способами, если f (x) и g (x) – алгебраические выражения.

Пример 4.   Решите уравнение  

Решение

Уравнение легко преобразовать к виду  Оно содержит показательные функции с разными основаниями. Для его решения прологарифмируем обе части по любому основанию, например, по основанию 2. Имеем: 

Корни этого уравнения   и    Заметим, что обе части исходного уравнения строго положительны, и поэтому логарифмирование не могло привести ни к потере корней, ни к появлению новых.

Замечание. Рассмотренный приём перехода от уравнения af (x) = bg (x) к уравнению f (x) = g (x) loga b или, в общем случае, переход от уравнения F (x) = G (x)        (1)   к уравнению  loga F (x) = logb G (x)  (a > 0, a ≠ 0)  (2)

называется логарифмированием.

     Заметим, что переход (1) → (2) в общем случае нарушает равносильность, так как логарифм существует только у неотрицательного числа.

     Например, логарифмирование обеих частей уравнения x = x3, которое имеет вид (1), приводит нас к неравносильному уравнению lg x = lg x3 (область определения сузилась). Действительно,

Таким образом, произошла потеря корней исходного уравнения. Как видно, логарифмирование не является «безобидной» операцией, но в процессе решения уравнения типа af (x) = bg (x) эти неприятности не возникают, так как обе его части положительны.

Логарифмические уравнения

Уравнения вида loga f (x) = b, a > 0, a ≠ 1

       Здесь предполагается, что f (x) − функция, уравнения с которой мы уже умеем решать. По определению логарифма из основного логарифмического тождества получаем, что f (x) = ab. Это уравнение можно решать любыми доступными методами, поскольку ab – это число.

Уравнения вида  F(loga f (x)) = 0, a > 0, a ≠ 1

          Совершенно аналогично показательным уравнениям, уравнения такого типа решаются в два этапа.

• С помощью замены t = loga f (x)  это уравнение сводится к уравнению F (x) = 0, у которого ищутся все его корни tk, k =  n  (пусть таких корней ровно n штук).
• Для каждого k = решается уравнение типа рассмотренного выше: loga f (x) = tk 

         Понятно, что совершенно не обязательно уравнение будет иметь рассмотренный вид. А значит, в процессе преобразований логарифмических уравнений следует стремиться к тому, чтобы привести все входящие в уравнение логарифмы к одному основанию. При этом необходимо помнить об области определения рассматриваемых выражений, стараясь, чтобы при преобразовании она не уменьшалась, − те корни, которые, возможно, будут приобретены, можно будет отсеять проверкой.

Пример 5.   Решите уравнение 

Решение

Преобразуем левую часть уравнения, приводя все логарифмы к основанию 7. 

а)  Корень последнего уравнения с учётом ограничения x > 1 есть x = 3.

б)

Поскольку мы использовали, вообще говоря, неравносильное преобразование суммы логарифмов в логарифм произведения (это расширяет область определения), то необходима проверка, которая показывает, что все три найденных числа являются корнями исходного уравнения. Заметим, что число x = 1 рассматривать не нужно, поскольку оно не входит в ОДЗ уравнения.

Ответ. 0, 3, −7.

Пример 6.  Решите уравнение   

Решение

ОДЗ данного уравнения:  Выполним цепочку преобразований, равносильных в ОДЗ. 

1) 3x – 4 = 0,  − входит в ОДЗ.

2)  (x + 1 > 0 в ОДЗ), 

  x = 0 − не входит в ОДЗ.  x = 3 − входит в ОДЗ.

Ответ. 3, 

Уравнения вида loga f (x) = loga g (x),  a > 0, a ≠ 1

       ОДЗ данного уравнения:  .  В силу монотонности логарифмической функции, каждое своё значение она принимает ровно один раз. Следовательно, в ОДЗ имеем:

Полная система равносильности выглядит так:

        Из двух последних систем выбирается та, которая проще (это зависит от конкретного вида функций f (x) и g (x)). На практике, как правило, проще решить уравнение f (x) = g (x) и проверить для его корней положительность одной из функций: f (x) > 0 или g (x) > 0, так как из равенства одной из этих функций следует положительность и другой.

       Рассмотренный переход от уравнения loga f (x) = loga g (x) к уравнению f (x) = g (x) называется потенцированием.

Заметим, что потенцирование не является равносильным преобразованием. Область определения уравнения при потенцировании расширяется, так как второе уравнение определено при всех x, для которых определены функции f (x) и g (x), а первое − только при тех x, для которых f (x) > 0 и g (x) > 0.

Пример 7.   Решите уравнение

Решение

Преобразуем сумму логарифмов в логарифм произведения:  или  Потенцируя по основанию 10, имеем  откуда x = –8, x = –10. Подстановка этих чисел в исходное уравнение даёт, что только x = –10 является корнем.

Ответ. x = –10.

Пример 8.  Решите уравнение 

Решение

Очевидна замена 6 sin x + 4 = t > 0 (это требование взято из ОДЗ, ведь от t берётся логарифм). Перейдём к равносильному уравнению: 

Ответ. 

1.10. Тригонометрические уравнения

        Найдём условие, при котором будут равны синусы двух углов. Пусть sin a = sin b. Тогда sin a – sin b = 0, и по известной формуле разности синусов имеем   Значит, либо   = 0, то есть   = , n  Z,   либо  = 0,  то есть   =  ,  n  Z.  Итак, sin a = sin b тогда и только тогда, когда либо a – b = 2πn, либо a + b = (2n + 1)π,  n  Z.  

        Рассмотрим решение простейшего уравнения sin x = a. Если |a| > 1, то решений нет, если |a| ≤ 1, то в силу периодичности синуса решений будет бесконечно много. По определению обратных тригонометрических функций, одно из решений − это arcsin a.  Следовательно, наше уравнение можно переписать в виде  sin x =

= sin (arcsin a).  Тогда либо x – arcsin a = 2πn, n  Z, либо x + arcsin a = 2(n + 1)π,  n  Z.

Оба эти равенства могут быть объединены в одно:  Это равенство называется формулой общего решения уравнения sin x = a, |a| ≤ 1.

         Аналогично можно показать, что формула общего решения уравнения cos x = a при |a| ≤ 1 имеет вид

         Формула общего решения уравнения tg x = a при любом действительном a имеет вид

x = arctg a + πn, 

         Формула общего решения уравнения ctg x = a при любом действительном a имеет вид

x = arcctg a + πn, 

Рассмотренные уравнения называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Модель 3.5. Простейшие тригонометрические уравнения

Пример 1.  Решите уравнение sin 2x = cos 3x.

Решение

Воспользуемся формулой приведения   получаем 

По формуле разности синусов имеем   

Следовательно, либо  то есть  либо  то есть 

Ответ. 

Пример 2.    Решите уравнение sin x – 2 cos x = 0.

Решение

Преобразуем уравнение sin x = 2 cos x. Рассмотрим те x, для которых cos x = 0. Для этих x sin x = ±1. Следовательно,  эти x не являются корнями исходного уравнения, так как при их подстановке получается неверное числовое равенство 0 = ±1. Значит, cos x ≠ 0. Разделим обе части уравнения на cos x ≠ 0, имеем  tg x = 2,  x = arctg 2 + πn, 

Ответ. x = arctg 2 + πn, 

Пример 3.   Решите уравнение sin2 x – 6 sin x cos x + 5 cos2 x = 0.

Решение

Те значения переменной x, для которых cos x = 0, не являются решениями, в чём можно убедиться непосредственной подстановкой. Разделим обе части уравнения на cos2 x, получим tg2x – 6 tg x + 5 = 0.

Это уравнение является квадратным относительно переменной t = tg x: t2 – 6t + 5 = 0.

Корни этого уравнения:  и    Уравнение    имеет решения   Уравнение  tg x = 5 имеет решения 

Ответ. 

        Только что рассмотренные уравнения называются однородными уравнениями соответственно 1-го и 2-го порядка. Вспомним определение многочлена n-ной степени. Однородным многочленом n-ного порядка относительно переменных u и v называется многочлен, у которого сумма степеней переменных постоянна у всех членов.  Аналогично, уравнения au + bu = 0 и au2 + bvu + cv2 = 0 также называются однородными уравнениями 1-го и 2-го порядка. В нашем случае было u = sin x и v = cos x.

Уравнение 1-го порядка делением на v сводится к линейному относительно новой переменной t = 

Уравнения 2-го порядка делением на υ2 сводятся к квадратному относительно  t =  .

Уравнения с обратными тригонометрическими функциями, как правило, удаётся решить, применяя одну и ту же тригонометрическую функцию к обеим частям данного уравнения.

Пример 4.    Решите уравнение arccos x = arctg x.

Решение

Применим функцию косинус к обеим частям данного уравнения. Имеем  Так как область определения данного уравнения − множество  то: 

Значит, x > 0. Решаем полученное иррациональное уравнение: 

   Так как x > 0, то 

Ответ.             

Решение уравнений и неравенств

2. Решение неравенств

2.1. Понятие о неравенстве

          Пусть функции f (x) и g (x) заданы на некоторых числовых множествах X1 и X2. Неравенством с одной неизвестной называется отношение вида

f (x) < g (x).  (1)

(Вместо знака < могут стоять знаки >, ≤, ≥.)

          Областью допустимых значений неравенства (ОДЗ) называется множество значений переменной, на котором обе части неравенства одновременно определены (имеют смысл). Таким образом,  то есть пересечение множеств X1 и  X2 .

          Число a называется решением неравенства (1), если при подстановке его вместо переменной x получаем верное числовое неравенство f (a) < g (a).  Понятно, что a, являясь решением неравенства (1), может лежать только в ОДЗ. Поскольку проверить решение в неравенствах не так просто, как в уравнениях, искать решения лучше сразу в ОДЗ.

         Решить неравенство − это означает найти все его решения или доказать, что их нет. Совокупность всех решений неравенства называется множеством решений неравенства.

      Два неравенства,  f (x) < g (x)  (2)  и   f1 (x) < g1 (x),  (3)  называются равносильными на множестве X, если на этом множестве неравенства имеют одни и те же решения, то есть, если каждое решение неравенства (2) является решением неравенства (3), и наоборот, каждое решение второго неравенства является решением первого. Два неравенства, не имеющие решений на каком-либо множестве, также считаются равносильными на этом множестве.

        Из приведённого определения следует, что если неравенство f1 (x) < g1 (x) окажется более простым, чем равносильное ему неравенство f (x) < g (x), то и решать нужно именно его, так как решения у него те же. Остаётся единственная проблема: как от неравенства (2) перейти к равносильному ему неравенству (3) или, как говорят, осуществить равносильный переход? Сформулируем несколько общих правил, позволяющих это делать.

Правило 1. Если функции f (x), g (x)  и  h (x) определены на множестве X, то неравенства

f (x) > g (x) и f (x) + h (x) > g (x) + h (x)

равносильны на этом множестве.

Правило 2. Если h (x) > 0 на множестве X, то неравенства

равносильны на этом множестве.

Вывод. Обе части неравенства можно умножать на положительную функцию, не нарушая равносильности.

Правило 3. Если h (x) < 0 на множестве X, то неравенства

равносильны на этом множестве.

Вывод. Обе части неравенства можно умножать на отрицательную функцию, не нарушая равносильности, меняя при этом знак неравенства на противоположный.

Правило 4. Если f (x) ≥ 0, g (x) ≥ 0 на множестве X, то неравенства

равносильны на этом множестве.

Вывод. Если обе части неравенства f (x) > g (x)  неотрицательны, то возведение в квадрат неравенства не нарушает равносильности. Заметим, что возводить неравенство в квадрат можно, только если обе части этого неравенства неотрицательны. Если хотя бы одна из частей неравенства отрицательна, возведение неравенства в квадрат, вообще говоря, не является равносильным преобразованием. Яснее всего это видно на примере числовых неравенств. Так, если верное неравенство −1 > −4 возвести в квадрат, то получится неверное неравенство 1 > 16. Такое противоречие вызвано именно тем, что части первоначального неравенства не были неотрицательными.

 Пример 1.  Равносильны ли неравенства  

Решение

Неравенства неравносильны. Действительно, 

Неравенство x + 3 < 5 будет верным и тогда, когда x + 3 < –5, например, при x = –100. Первое же неравенство при  x = –100 неверно.

Ответ. Нет.

Пример 2.    Равносильны ли неравенства  и 

Решение

Неравенства неравносильны. В самом деле,   

Значит, множеством решений первого неравенства являются область x ≥ 0, а второго x > –1. Поскольку это разные множества, то неравенства неравносильны.

Ответ. Нет.

2.2. Рациональные неравенства

         Рассмотрим выражение вида:       (1)

(Вместо знака < могут стоять знаки >, ≤, ≥.)

Основным методом решения неравенств вида (1) является метод интервалов. Начнём рассматривать его, прежде всего, для многочленов. Этот метод основан на том, что двучлен (x – a) положителен при x > a и отрицателен при x < a, то есть при переходе через точку x = a этот двучлен меняет знак.

Отсюда следуют полезные замечания.

• Многочлен  n то есть двучлен в нечётной степени, положителен и отрицателен на тех же интервалах, что и (x – a).
• Многочлен  n  то есть двучлен в чётной степени, не меняет знак при переходе через точку x = a, а в самой точке обращается в нуль.

Вывод. Многочлены вида  n  при решении строгих неравенств («<» или «>») можно опустить, так как они не влияют на знак неравенства. При этом из решения нужно исключить точки, в которых многочлен равен нулю:  

• Многочлен  ax2 + bx + c, a > 0, b2 – 4ac < 0  всегда положителен и потому при решении любого неравенства может быть опущен.
• При переходе через точку x = a может изменить знак только двучлен (x – a), остальные двучлены не меняют знака.

Пример 1 

Решите неравенство  

Решение

Отметим на числовой оси нули многочлена, стоящего в левой части неравенства. При x > 4 все множители положительны. При переходе через точку x = 4 многочлен не меняет знак, так как двучлен (x – 4) входит в чётной степени. При переходе через точку x = 1 знак многочлена изменится, так как (x – 1) входит в нечётной степени. На промежутке (–5; –3) многочлен отрицателен, так как при переходе через точку x = –3 он не изменит знак (множитель(x + 3) в чётной степени). При переходе через точку x = –5 знак опять меняется, так как (x + 5) входит в первой степени.

Чередование знаков отразим на рисунке с помощью так называемой кривой знаков. Наиболее быстро это можно сделать следующим образом. Выясним, какой знак имеет многочлен на самом правом промежутке, для этого нужно лишь понять, какие знаки будут иметь все сомножители, если в этот многочлен подставить достаточно большое число (большее самого большого корня многочлена). После этого определяем знак всего многочлена на этом промежутке и начинаем рисовать кривую знаков справа налево, переходя через точки (меняя знак) или «отражаясь» от числовой оси (если степень двучлена, соответствующего данной точке, чётна). Теперь, двигаясь в обратном направлении, с рисунка считываем:

Ответ. 

Если правая и левая части данного неравенства являются дробно-рациональными функциями, то это неравенство называется рациональным.

Рассмотрим стандартный приём решения рациональных неравенств, основанный на сведении данного неравенства к неравенству для многочлена, метод решения которого (метод интервалов) нам уже известен. Итак, рассмотрим рациональное неравенство   f (x) > g (x), где f (x) и g (x) − рациональные функции, то есть функции, представимые в виде отношения многочленов. Перенося обе части рационального неравенства в левую часть, представим её в виде отношения двух многочленов:     > 0

(Такой вид неравенства называется стандартным.) Заметим, что:

•   то есть отношение двух многочленов положительно тогда и только тогда, когда положительно их произведение.
•    то есть отношение двух многочленов отрицательно тогда и только тогда, когда отрицательно их произведение.

Итак,            

Левая часть полученных неравенств есть произведение многочленов, то есть сама является многочленом. А поскольку его знак совпадает со знаком дроби    , то дробь меняет или не меняет знак при переходе через точку x = a в зависимости от того, входит в него двучлен (x – a) в чётной или нечётной степени.

Если же двучлен (x – a) входит в многочлен P (x) в степени k, а в многочлен Q (x) − в степени l, то в многочлен P (x) · Q (x) этот двучлен войдёт в степени k + l, а в дробь   − в степени k – l. Легко проверить, что для любых чисел k и l чётность чисел k + l и k – l одинакова. Следовательно, вывод о поведении дроби    при переходе через точку x = a мы сделаем в точности такой же, как если бы наше неравенство было представлено в виде многочлена P (x) · Q (x).

Таким образом, показан принципиальный метод решения рациональных неравенств. Имея в виду последнее замечание, метод интервалов для рациональных функций можно сформулировать в следующем виде.

1. Привести неравенство к стандартному виду > 0.  
2. Разложить на множители многочлены P (x) и Q (x) (как мы знаем, для этого придётся решить уравнения P (x) = 0 и Q (x) = 0).
3. Нули числителя, не совпадающие с нулями знаменателя, отметить на числовой оси точками, а нули знаменателя − кружочками (эти точки, очевидно, не входят в ОДЗ рациональной функции и потому они как будто «выколоты» из числовой оси).
4. Подставить мысленно в неравенство очень большое число (большее самого большого из корней числителя и знаменателя) для того, чтобы определить, какой знак имеет рациональная функция на самом правом интервале. Провести кривую знаков, проходя через все точки, отмеченные на числовой прямой, меняя или не меняя знак в зависимости от суммарной степени двучлена, отвечающего данной точке.
5. Записать ответ, обращая особое внимание на граничные точки, часть из которых может быть «выколота».

             Таким образом, для нестрогих рациональных неравенств имеем по определению

Пример 2.    Решить неравенство  

Решение

Имеем   

Наносим на числовую ось нули числителя и знаменателя и, строя кривую знаков, по указанному алгоритму сразу получаем:

Ответ. 

Заметим, что на двучлен (x – 2) можно спокойно сокращать; встретившись и в числителе и в знаменателе, он не будет влиять на знак неравенства. Надо лишь не забыть, что x ≠ 2, так как при x = 2 не определён знаменатель данной дроби.

2.3. Иррациональные неравенства

       Если в неравенство входят функции под знаком корня, то такие неравенства называют иррациональными.

Стандартный метод решения этих неравенств заключается в возведении обеих частей неравенства в нужную степень: если в неравенство входит квадратный корень, то в квадрат; входит корень третьей степени − в куб и т. д. Однако, как было показано выше в правиле 4 преобразования неравенств, возводить в квадрат, не нарушая равносильности, можно только неравенство, у которого обе части неотрицательны. При возведении же в квадрат неравенств, части которых имеют разные знаки, могут получиться неравенства, как равносильные исходному, так и неравносильные ему. Простой пример: –1 < 3 − верное неравенство, 1 = (-1)2 < 32 = 9 − тоже верное неравенство. Несмотря на то, что –4 < –1 − неравенство верное, неравенство 16 = (4)2 < (-1)2 = 1 уже верным не является.

Покажем, как получить равносильные системы для некоторых часто встречающихся типов неравенств.

Неравенства вида  

      Если x лежит в ОДЗ: f (x) ≥ 0, то левая часть неравенства существует и неотрицательна. Поскольку для всех x, являющихся решением данного неравенства, правая часть больше левой, то g (x) > 0. Следовательно, обе части неравенства неотрицательны (для тех x, которые являются решениями неравенства, другие x нас не интересуют). Значит, возведение в квадрат не нарушает равносильности и можно записать равносильную нашему неравенству систему неравенств:

Пример 1.   Решите неравенство  

Решение 

Сразу перейдём к равносильной системе: 

Пример 2 

Решите неравенство  

Решение   

Перейдём к равносильной системе: 

Неравенства вида  

ОДЗ данного неравенства f (x) ≥ 0. Пусть для каких-то x из ОДЗ g (x) < 0. Тогда, очевидно, все эти x − решения, так как при этих x левая часть определена (x  ОДЗ) и неотрицательна, в то время как правая часть g (x) < 0.

Для других x из ОДЗ g (x) ≥ 0. Для них обе части неравенства неотрицательны, и его можно возвести в квадрат:  f(x) > g 2(x).  Значит, данное неравенство равносильно совокупности неравенств:

Заметим, что в последнюю систему не входит требование f (x) ≥ 0. Оно и не нужно, так как выполняется автоматически f(x) > g 2(x)   0  ибо полный квадрат всегда неотрицателен.

Пример 3.    Решите неравенство 

 Решение

ОДЗ неравенства: x ≥ –3.

1. Если  то все эти x  ОДЗ, для которых верно x < –1, − решения. Таким образом,  − первая часть ответа.

2. Если  то обе части неравенства неотрицательны, и его можно возвести в квадрат. Имеем: 

Получаем, что решениями являются все 

Объединяя результаты пунктов 1 и 2, получаем:

Ответ. 

Пример 4.    Решите неравенство 

Решение

Ответ:  

Неравенства вида  

         ОДЗ данного неравенства:    Обе части неравенства неотрицательны в ОДЗ, и потому можно возводить в квадрат. Получим равносильную систему

Заметим, что из неравенства g(x) ≥  f (x) ≥ 0  следует, что g(x) ≥ 0, то есть дополнительно это требовать и включать это неравенство в систему не нужно.

Отметим полезное следствие. Предположим, что ОДЗ неравенства уже найдено, и мы будем отбирать решения только из ОДЗ (это разумно, поскольку вне ОДЗ решений нет). Тогда исходное неравенство равносильно следующему:    0,  а та система, которой это неравенство равносильно, может быть представлена (для x из ОДЗ) в виде f (x) -  g(x)  0. Следовательно, в ОДЗ  

Ясно, что те же рассуждения применимы и для знака неравенства ≥. Отсюда можно сделать полезное заключение:

Знак разности  совпадает со знаком выражения  f (x) -  g(x).

Отсюда же получается ещё одно полезное следствие:

    в ОДЗ:

Пример 5 

Решите неравенство  

Решение 

Перейдём к равносильной системе: 

Решая эту систему методом интервалов, сразу получаем:

Ответ. 

Пример 6 

Решите неравенство

Решение

Неравенства вида    

       ОДЗ данного неравенства:    Предположим, что функции f (x) и g (x) не имеют общих корней. Рассмотрим вспомогательное неравенство     (*)

1. Если g (x) < 0, то для любого x из ОДЗ выполнено g(x) > 0

2. Если g (x) ≥ 0, то выражение  g(x)   может иметь любой знак, но выражение  g(x)  всегда строго положительно. Умножая обе части неравенства (*) на строго положительное число g(x)  не меняя знака неравенства, перейдём к равносильному неравенству

Таким образом, в ОДЗ  

Значит, при g (x) ≥ 0, знак разности g(x) совпадает со знаком разности  f(x) - g 2(x) в ОДЗ. Получаем следующие условия равносильности.

Запоминать приведённые системы неравенств не нужно, важно понимать, как они получаются.

Пример 7 

Решите неравенство

Решение

Выполним равносильные в ОДЗ преобразования и приведём неравенство к удобному для применения результатов настоящего пункта виду. 

Мы не случайно сделали последнее преобразование. Важно понимать, чему здесь конкретно равняется функция g (x) = 2x – 8. Типичной ошибкой является считать, что g (x) = 2x + 8.

ОДЗ данного неравенства:  то есть  Теперь перейдём к равносильной системе. В ОДЗ 

С учётом ОДЗ сразу получаем:

Ответ. 

2.4. Неравенства с модулем

Основные способы решений неравенств с модулем во многом совпадают с методами решения аналогичных уравнений. Единственное отличие, пожалуй, связано с тем, что, решая неравенства с модулем (как, впрочем, и неравенства вообще), нужно очень внимательно совершать равносильные переходы и следить не только за тем, чтобы не приобрести новые решения, но и за тем, чтобы не потерять уже имеющиеся.

Стандартный путь решения неравенств с модулем заключается в том, что координатная прямая разбивается на промежутки (границами этих промежутков являются нули подмодульных выражений), а затем неравенство решается на каждом из промежутков.

Этот метод работает всегда. Правда, в отдельных случаях может быть затруднена его техническая реализация, например, очень тяжело или невозможно найти корни подмодульных выражений и пр. Однако, это сложности иного плана. Нужно понимать, что раскрытие модуля по определению неизменно приводит к цели. Конечно же, этот метод не является оптимальным: в условиях конкурсного экзамена важен не только результат, но и то время, которое потрачено на его получение.

Рассмотрим методы, не связанные с поиском нулей функций, стоящих под знаком модуля.

Рассмотрим неравенство |f(x)| g(x).  Очевидно, что те x, для которых g (x) < 0, не являются решениями. Значит, если x является решением, то для него g (x) ≥ 0, и согласно геометрическому смыслу модуля, как расстоянию на координатной оси, данное неравенство равносильно системе  g(x)  f(x) g(x).   Таким образом, имеем  

Аналогично можно рассмотреть неравенство |f(x)| g(x). Неравенство выполнено для тех x, для которых g (x) < 0 и функции f (x) и g (x) определены. Для тех x, для которых g (x) ≥ 0, имеем равносильную совокупность  

Заметим, что последняя совокупность является равносильной нашему неравенству и при g (x) ≤ 0. В этом можно непосредственно убедиться, учтя g (x) ≤ 0 и вспомнив определение знака совокупности.

Пример 1 

Решите неравенство  

Решение

Перейдём к равносильной совокупности. 

Как видно, в простых случаях особых преимуществ метод перехода к равносильной системе не имеет, но иногда его преимущества весьма заметны.

Пример 2 

Решите неравенство

Решение

Как видно, найти значения x, при которых подмодульное выражение обращается в нуль, чрезвычайно затруднительно. Однако переход к равносильной системе значительно упрощает дело. Имеем: 

2.5. Тригонометрические неравенства

При решении тригонометрических неравенств вида f (x) ≥ 0, где f (x) − одна из тригонометрических функций, удобно использовать тригонометрическую окружность для того, чтобы наиболее наглядно представить решения неравенства и записать ответ. Основным методом решения тригонометрических неравенств является сведение их к простейшим неравенствам типа  Разберём на примере, как решать такие неравенства.

Пример 1.   Решите неравенство 

Решение

Нарисуем тригонометрическую окружность и отметим на ней точки, для которых ордината превосходит .

Для x   [0; 2π]  решением данного неравенства будут  Ясно также, что если некоторое число x будет отличаться от какого-нибудь числа из указанного интервала на 2πn, n Z   то sin x также будет не меньше . Следовательно, к концам найденного отрезка решения нужно просто добавить2πn, где n Z.  Окончательно, получаем, что решениями исходного неравенства будут все  где n Z,

Ответ.  где  n Z.

Для решения неравенств с тангенсом и котангенсом полезно понятие о линии тангенсов и котангенсов. Таковыми являются прямые x = 1 и y = 1 соответственно, касающиеся тригонометрической окружности.

Рисунок 3.2.5.1

Легко заметить, что если построить луч с началом в начале координат, составляющий угол α с положительным направлением оси абсцисс, то длина отрезка от точки (1; 0) до точки пересечения этого луча с линией тангенсов в точности равна тангенсу угла, который составляет этот луч с осью абсцисс. Аналогичное наблюдение имеет место и для котангенса.

Пример 2.  Решите неравенство   

Решение

Обозначим  тогда неравенство примет вид простейшего: tg t ≥ –1. Рассмотрим интервал  длиной, равной наименьшему положительному периоду (НПП) тангенса. На этом отрезке с помощью линии тангенсов устанавливаем, что  Вспоминаем теперь, что необходимо добавить πn, где n Z,  поскольку НПП функции tg x T = π. Итак,  Возвращаясь к переменной x, получаем, что 

Ответ. 

Неравенства с обратными тригонометрическими функциями удобно решать с использованием графиков обратных тригонометрических функций. Покажем, как это делается на примере.

Пример 3.  Решите неравенство   

Решение

Нарисуем график функции y = arctg x. Найдём точку пересечения этого графика с горизонтальной прямой  Это точка с абсциссой  По графику видно, что для всех  график функции лежит ниже прямой Следовательно, эти x и составляют:

Ответ. 

2.6. Показательные и логарифмические неравенства

            Рассмотрим неравенство  a f(x) > a g(x),  a > 0, a  1 и неравенство, ему равносильное:

a f(x) > a g(x) > 0.  Для его решения исследуем знак разности   a f(x) - a g(x).Итак, выясним, что следует из того, что   a f(x) - a g(x) > 0.

1) Если a > 1, то  f (x) > g (x), а это значит, что (a – 1)(f (x) – g (x)) > 0.

2) Если 0 < a < 1, то  f (x) < g (x), и опять (a – 1)(f (x) – g (x)) > 0.

Верно и обратное. Если  (a - 1)(f(x) – g(x)) > 0 то при a > 1 имеем  f(x) > g(x) , то есть  

a f(x) > a g(x), а при  0 < a < 1, получаем  f(x) < g(x) ,  то есть  a f(x) > a g(x).

Таким образом, мы доказали, что: -  знак разности  a f(x) - a g(x),   совпадает со знаком выражения (a - 1)(f(x) – g(x)).  А это как раз обозначает, что получено условие равносильности:

Пример 1.  Решить неравенство   

Решение

Имеем:     Заменим выражение вида  стоящее в каждой скобке, на выражение  имеющее с ним тот же знак:  А значит,    Равносильное неравенство имеет вид  так как  для всех x. Решая это неравенство методом интервалов, получаем

Ответ. 

Пример 2.  Решите неравенство 

Решение

Преобразуем неравенство: 

От выражений вида  перейдём к выражениям  которые имеют тот же знак. 

Ответ. 

        Рассмотрим теперь неравенство  , a > 0, a  1 и найдём соответствующие ему условия равносильности. ОДЗ этого неравенства: f (x) > 0.

Если a > 1, то    тогда и только тогда, когда f (x) > 1 в ОДЗ (f (x) < 1), то есть

Если 0 < a < 1, то   тогда и только тогда, когда f (x) < 1 в ОДЗ (f (x) > 1), то есть опять

Верно и обратное, если  (a - 1)(f(x) – 1) > 0 (< 0), то при a > 1 имеем f (x) > 1 в ОДЗ (f (x) < 1), а при 0 < a < 1 имеем f (x) < 1 в ОДЗ (f (x) > 1). Таким образом, получаем следующие условия равносильности.

Отсюда следует, что:  -  знак   совпадает со знаком выражения

(a - 1)(f(x) – 1)  в ОДЗ (f (x) > 0).

         Рассмотрим теперь неравенство вида, где a > 0, a  1.  ОДЗ этого неравенства:            

Перепишем данное неравенство в виде:  loga (f (x) – g(x)) > 0.

С учетом ОДЗ можно записать соответствующую неравенству систему уравнений:

Знак разности логарифмов    совпадает со знаком выражения (a - 1)(f(x) – g(x))  в ОДЗ   

Пример 3.   Решите неравенство 

Решение

От выражений вида    перейдём к произведениям   которые имеют с ними тот же знак в ОДЗ. 

Пользуясь методом интервалов, легко получить:

Ответ. 

Решение уравнений и неравенств

3. Системы уравнений и неравенств

3.1. Система линейных уравнений

Если поставлена задача найти такие числа x1, x2, x3, … , xn, n  N,  которые удовлетворяли бы сразу всем n уравнениям

и обращали бы их в верные числовые равенства, то говорят, что задана система из n уравнений с n неизвестными. В школьной практике, как правило, встречаются системы с двумя и тремя неизвестными, хотя, разумеется, бывают и исключения.

Наиболее распространённым методом решения этих систем является метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса), который для линейных функций  f1, f2, f3, … , fn,  может быть представлен в виде алгоритма, являющегося наиболее общим.

Метод Гаусса для решения системы линейных уравнений

1. Выражаем первое неизвестное из первого уравнения и подставляем его в остальные уравнения.
2. Получаем новую систему, в которой число уравнений и неизвестных на 1 меньше.
3. С новой системой поступаем таким же образом и так продолжаем до тех пор, пока не останется одно линейное уравнение, которое легко решается.
4. Когда получено значение последнего неизвестного xn, подставляем его в уравнение, которое позволяет найти xn – 1 по xn.
5. По найденным xn – 1 и xn находим xn – 2 и таким образом находим последовательно все неизвестные.

Для систем нелинейных уравнений этот метод не всегда применим уже в силу того, что из уравнений системы совсем не обязательно можно будет выразить одну неизвестную через остальные.

Пример 1.  Решить систему уравнений  

Решение

Выразим из первого уравнения переменную x:  и подставим её во второе и третье уравнения: 

Выразим теперь из второго уравнения переменную  и подставим её в третье уравнение системы: 

Теперь третье уравнение зависит только от y и мы можем его решить: 

Итак, переменная y найдена. По уже полученным формулам для x и z мы можем последовательно их найти:      

Ответ. (2; –1; 1).

Этот метод иногда можно применить и для решения нелинейных систем.

Пример 2.   Решить систему уравнений

Решение

Выразим z из второго уравнения: z = 1 + 2x – y и подставим его в первое и третье уравнения. Получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными: 

Опять из первого уравнения выражаем y (её легче выразить, чем x):  Подставляем y во второе уравнение и получаем: 

Теперь по найденному x находим y и z:   

Ответ. (1; 0; 3), (–1; –2; 1).

3.2. Однородные системы

Функция  f(x1, x2, … , xn) называется однородной степени k, если для любого действительного t  выполнено равенство  

Пример 1.  Выяснить, является ли функция  f(x,y) = 7x2y + 2005xy2 + x3 однородной.

Решение

Вычислим 

Значит, функция является однородной третьей степени.

Ответ. Функция является однородной третьей степени.

Пример 2.  Выяснить, является ли однородной, и если да, то найти показатель однородности функции 

Решение

Вычислим, согласно определению,    Имеем 

Итак, действительно, эта функция является однородной с показателем однородности 0 (или однородная нулевой степени).

Ответ. Функция является однородной с показателем однородности 0.

Если уравнения системы можно представить в виде  fn (x1, x2, … , xn) = 0 где fn – однородные функции, то, во-первых, нужно проверить, существуют не является ли решением xn  = 0. После того, как установлено отсутствие таких решений (или же все такие решения найдены), вводится стандартная замена переменных  t =  .

Полученное уравнение относительно переменной t, как правило, проще исходных уравнений и может быть легко решено.

Пример 3.  Решить систему уравнений 

Решение

Ни одно из уравнений системы не является однородным, однако в левой части уравнений стоят однородные функции. Применим стандартный приём, который позволяет свести систему такого вида к однородному уравнению. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 3 и вычтем из первого уравнения второе. Имеем: 

А это уравнение уже однородное. Очевидно, что пара (0; 0) является его решением, однако непосредственной подстановкой можно убедиться, что эта пара не является решением исходной системы уравнений. Значит, разделим уравнение на   Получим: 

Стандартная замена  приводит нас к квадратному уравнению  корни которого  и    Система распалась на две:

1)

2)

Ответ.  

3.3. Метод замены неизвестных при решении систем

Метод замены неизвестных при решении систем уравнений аналогичен этому же методу для обычных алгебраических уравнений. Продемонстрируем его на примерах.

Пример 1.  Решите систему уравнений 

Решение

Делаем очевидную замену неизвестных  и  Тогда  Выразим x и y:  Получаем систему 

А эту систему легко решить подстановкой:  Корни системы:  и Находим соответственно  и  Имеем два случая:

1.  Тогда  и 

2.  Тогда  и 

Ответ. 

3.4. Система неравенств с одной переменной

Говорят, что несколько неравенств образуют систему, если нужно найти все общие решения данных неравенств. Решением системы неравенств называется число, которое при его подстановке в систему обращает каждое неравенство в верное числовое неравенство. Традиционно неравенства системы объединяются фигурной скобкой.

Пример 1.  Решите систему неравенств 

Решение

   С помощью координатной прямой находим, что 

      Ответ. 

Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность, если необходимо найти все такие значения переменной, каждое из которых является решением хотя бы одного из данных неравенств. Традиционно совокупность неравенств обозначается квадратной скобкой.

Пример 2.  Решите совокупность неравенств   

Решение

 Для решения совокупности неравенств нужно взять все x, которые удовлетворяют хотя бы одному из данных неравенств. Значит, 

Ответ.