Конспект урока по теме «Погрешность и точность»
план-конспект урока по алгебре (9 класс)

Конспект урока по теме «Погрешность и точность»

В математике, физике, технике и повседневной жизни мы часто сталкиваемся с приближёнными значениями величин. Они возникают при измерениях, вычислениях, округлениях и других операциях. Важно понимать, насколько эти приближённые значения близки к точным, и уметь оценивать возможные ошибки. Для этого вводятся понятия абсолютной и относительной погрешности, которые помогают количественно оценить точность измерений и вычислений.

Абсолютная погрешность

Абсолютная погрешность – это основная мера отклонения приближённого значения от точного. Она определяется как модуль разности между точным и приближённым значениями. Формально, если х – точное значение, а а – приближённое, то абсолютная погрешность Δ вычисляется по формуле:

Δ = |х – а|.

Например, при работе с графиком функции y = было найдено, что при x = 1,5 значение y≈ 2,3. Точное значение в этой точке составляет y = = 2,25. Тогда абсолютная погрешность равна:

Δ = |2,25 – 2,3| = 0,05.

Аналогично, для x = 2,1 приближённое значение y ≈ 4,4, а точное –y = = 4,41. Абсолютная погрешность в этом случае:

Δ = |4,41 – 4,4| = 0,01.

Эти примеры показывают, что абсолютная погрешность позволяет точно определить, насколько приближённое значение отличается от истинного.

Однако на практике часто возникает ситуация, когда точное значение неизвестно. Например, при измерении длины отрезка AB с помощью линейки мы получаем приближённое значение AB≈ 4,3 см, но истинная длина остаётся неизвестной. В таких случаях важно указать границу, которую абсолютная погрешность не может превысить. Если цена деления линейки составляет 0,1 см, то погрешность измерения не превышает 0,1 см. Это записывается как:

|AB – 4,3| ≤ 0,1.

Таким образом, число 4,3 является приближённым значением длины отрезка с точностью до 0,1 см.

Запись приближённых значений с указанием точности

Для удобства приближённые значения часто записывают в формеx = a ± h, где a – приближённое значение, а h – максимально возможная абсолютная погрешность. Эта запись означает, что точное значение x находится в интервале:

a – h ≤ x ≤ a + h.

Например, если на рулоне обоев указана длина 18 ± 0,3 м, это означает, что истинная длина рулона l удовлетворяет неравенству:

17,7 м ≤ l ≤ 18,3 м.

Такая запись широко используется в технике, производстве и бытовых измерениях для указания диапазона возможных значений.

Факторы, влияющие на точность измерений

Точность приближённого значения зависит от многих факторов. Если значение получено в процессе измерения, то ключевую роль играет прибор, используемый для измерения. Например, медицинский термометр с делениями через 0,1°C позволяет измерять температуру с точностью до 0,1°C; комнатный термометр с делениями через 1°C обеспечивает точность только до 1°C; торговые весы с ценой деления 5 г позволяют взвешивать с точностью до 5 г.

Кроме точности прибора, на погрешность влияют условия измерения: температура, влажность, человеческий фактор (например, ошибки при считывании показаний). Важно понимать, что даже при использовании идеального прибора абсолютная погрешность не может быть равна нулю из-за фундаментальных ограничений.

Относительная погрешность

Абсолютная погрешность не всегда даёт полное представление о качестве измерения. Например, погрешность в 1 см при измерении длины карандаша и погрешность в 1 см при измерении расстояния между городами имеют разную значимость. Для более объективной оценки используется относительная погрешность.

Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого значения. Она обычно выражается в процентах:

= ×100%.

Относительная погрешность позволяет сравнивать точность измерений разных по величине значений.

Рассмотрим пример: при измерении толщины стекла и длины книжной полки получены результаты:

b = 0,4 ± 0,1 см, l = 100,0 ± 0,1 см.

Для толщины стекла абсолютная погрешность составляет 0,1 см, а относительная погрешность:

100% = 25%.

Для длины полки абсолютная погрешность также равна 0,1 см, но относительная погрешность:

= 100% = 0,1%.

Таким образом, измерение длины полки выполнено с гораздо более высокой точностью, чем измерение толщины стекла, хотя абсолютные погрешности одинаковы.

Сравнение абсолютной и относительной погрешностей

Абсолютная и относительная погрешности дополняют друг друга. Абсолютная погрешность полезна, когда важно знать конкретное отклонение в единицах измерения. Относительная погрешность важна для оценки качества измерения и сравнения точности различных величин.

Например, при измерении расстояния 500 м с погрешностью 5 м относительная погрешность составляет:

= 100% = 1%.

При измерении времени 10 с с погрешностью 0,1 с относительная погрешность:

= 100% = 1%.

Несмотря на разницу абсолютных погрешностей, относительные погрешности одинаковы, что говорит о comparable качестве измерений.

Практическое применение в жизни

Понятия погрешности и точности играют crucial роль в многих областях. В медицине дозировка лекарств требует высокой точности, так как даже небольшая погрешность может иметь серьёзные последствия. В инженерии при проектировании механизмов и сооружений допустимые погрешности указываются в технической документации. В финансах погрешности при округлении сумм могут накапливаться, leading к значительным errors в бухгалтерских расчётах. В быту приготовление пищи, строительство, шитьё – везде важна точность измерений.