Анализ графиков (парабола) в профильном ЕГЭ
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс)

Слайд 1

Анализ графиков (парабола) в профильном ЕГЭ по математике учитель математики высшей категории Бамбышева С.Б.

Слайд 2

11 задача ЕГЭ профильного уровня. Для решения этой задачи нужно сначала определить формулу функции, а затем дать ответ на вопрос задачи. Мы рассмотрим 3 способа определения формулы функции по графику ( на примере квадратичной функции) 1) Определение параметров по графику функции 2) Составление системы уравнений по заданным на графике точкам. 3) С помощью преобразований графиков функций. Функция вида y=ax²+bx+c , где a ≠ 0 называется квадратичной функцией. График квадратичной функции – парабола. Разберем как определить параметры a, b, c

Слайд 3

1 способ. Определение а, b, c по графику параболы - Если a>1 , то график вытянут вверх в a раз по сравнению с графиком (у которого a=1). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам. - Аналогично с a<−1 , только график вытянут вниз.

Слайд 4

- Если a∈(0;1) , то график сжат в a раз (по сравнению с графиком с a=1). Вершина при этом остается на месте. - Аналогично при a∈(−1;0) , только ветви направлены вниз.

Слайд 5

Парабола пересекает ось y в точке c .

Слайд 6

b напрямую по графику не видно, но его можно посчитать с помощью x В - абсциссы (икса) вершины параболы: x в =− ; b=−x в ⋅2a

Слайд 7

2 способ. Составление системы уравнений по данным точкам Это самый надежный способ, потому что его можно применить практически в любой ситуации 1) Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе. 2) Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: y=ax²+bx+c. Получится система с тремя уравнениями . 3) Решая эту систему находим параметры a, b, c

Слайд 9

ЗАДАЧИ Задача 1 На рисунке изображён график функции вида f(x)= + bx+c , где числа a, b и c — целые. Найдите значение уравнения f(3,5) Решение: 1)По рисунку видно: a = - с =-1; x в =− , b=−x в ⋅2a, b=−6⋅2*(- ) = 3 . Значит f(x)= - +3x-1 f(3,5)= f( )= - + -1= 6,4375 Ответ: 6,4375

Слайд 10

Задача 2 На рисунке изображён график функции вида f(x)= + bx+c , где числа a, b и c — целые. Найдите значение дискриминанта уравнения f(x)=0. Решение: 1)По рисунку видно: график функции f(x)= сдвинули на 2 единицы вправо и на 11 единиц вниз. Значит f(x)=( -2) - 11= -4x-7 2) -4x-7=0 D= -4ac =(-4) -4*1*(-7)=16+28=44 Ответ: 44

Слайд 11

Задача 3 На рисунке изображён график функции вида f(x)=a + b + c, где числа a, b и c — целые. Найдите абсциссу вершины параболы. Решение: 1) Уравнение параболы имеет вид y = + bx+c . Найдём параметры и b функции используя три точки на графике: f ( -1 ) = 6; f ( -2 ) = 1; f ( -3 ) = -2 2) П одставим координаты в уравнение: - b +c= 6 -3a+b=5 2a= 2 4 -2 b +c=1 -5a+b=3 b=3+5a -3 b +c=-2 a = 1 b=3+5=8 Значит x в = - = - = -4 Ответ: -4

Слайд 12

Задача 4 На рисунке изображён график функции f(x)=2x² + bx + c. Найдите значение f(−6). Решение: 1) Уравнение параболы имеет вид y = + bx+c . Найдём уравнение функции используя две точки на графике: f ( -1 ) = 2; f ( -4 ) = -1 2) П одставим координаты в уравнение: y = + bx+c 2 - b +c =2 - b+c =0 -3b= -33 b= 11 32-4b+c=-1 -4b+c=-33 -4b=-33-c c= 11 Таким образом уравнение параболы y = +11x+11 и f(−6) = 2*36-66+11 = 17 Ответ:17

Слайд 13

Задача 5 На рисунке изображены графики функций f (x)=4x² -25x +41 и g (x)=ax² + bx +c, которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B. Решение: 1) График функции f(x)=4x² -25x+41 должен пересекать ось ординат в точке (0; 41). Значит, график y=f(x) изображен синим цветом, а график y=g(x) — оранжевым. Найдём уравнение оранжевой функции используя две точки на графике: f ( -3 ) = 2; f ( -1 ) = -2; с=-1 2) П одставим координаты в уравнение g (x) = + bx+c : 9 а -3 b -1 = 2 9а -3 b= 3 9а -3 b= 3 6a=6 a= 1 –b -1 = - 2 a-b= -1 -3 а +3b=3 b= a+1 b = 2 Таким образом уравнение параболы g (x) = +2x - 1

Слайд 14

Чтобы найти абсциссы точек пересечений, решим уравнение 4x² -25x +41 = +2x - 1 3x² -27x +42=0 x² -9x +14 =0 D= 81-56 = 25 x₁ = 7 x₂ = 2 Так как абсцисса точки А равна 2, то абсцисса точки В равна 7 Ответ: 7

Слайд 15

Таким образом найти параметры a , b , c квадратичной функции можно тремя способами. Алгоритм 1-го способа (по графику функции): 1) Находим коэффициент а 2) Находим коэффициент с 3)Находим коэффициент b по формуле b=−x в⋅2 a Алгоритм 2-го способа (по точкам на графике): 1) Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе 2) Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: y=ax²+bx+c. Получится система с тремя уравнениями. В некоторых случаях с можно сразу определить по графику. В этом случае выписываем координаты двух точек и составляется система, состоящая из двух уравнений.

Слайд 16

3) Решаем полученную систему. 3 способ – используем преобразование графиков функций. Главный недостаток этого способа - вершина должна иметь целые координаты. Но с другой стороны, это самый быстрый способ нахождения параметров. 1) Смотрим на её форму и направленность её ветвей. 2)Видим, что она получена перемещениями графика базовой параболы y=аx² . 3) С оставляем формулу вида y =a( x − m )²+n . 4) После раскрытия скобок и приведения подобных получаем искомую формулу и из этой формулы находим нужные параметры.