Открытый урок по алгебре и началам анализа, 11 класс
план-конспект урока по алгебре (11 класс)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Школа №106»

г. Ростов –на-Дону

Тема урока:

«Производная и её применение»

                                                                       Олейникова Людмила Александровна

                                                                          Высшая квалификационная категория

                                                                                         Стаж работы 36 лет

г Ростов – на - Дону

2026

Конспект урока математики в 11 классе

по теме: «Производная и её применение»

Учитель Олейникова Людмила Александровна.

МБОУ «Школа №106» г. Ростов-на-Дону.

Тип урока: урок повторения, систематизации и обобщения знаний, закрепления умений по теме «Производная».

Цель: формирование образовательных компетенций (информационных, коммуникативных, рефлексивных) учащихся 11 класса в предметной области «Математика», «Физика», «Химия», «Биология», «Экономика» по теме «Производная»; умений использовать математические методы для решения задач в различных областях наук.

Задачи: развивать умения ориентироваться в системе знаний, анализировать и обобщать, делать выводы; умения самооценки; умения находить и исправлять ошибки в заданиях с намеренно допущенными ошибками.

Учебные задачи, направленные на достижение личностных результатов обучения:

• формировать умения ясно, точно и грамотно излагать свои мысли;
• формировать умения выстраивать аргументацию;
• формировать умения контролировать процесс и результат учебной математической деятельности;
• формировать способности к эмоциональному восприятию математических объектов и рассуждений.

Учебные задачи, направленные на достижение метапредметных результатов обучения:

• формировать умения видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации других дисциплин;
• формировать умения понимать и использовать математические средства наглядности, аргументировать;
• формировать умения видения реализации проектно-исследовательской деятельности;
• формировать умения выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки;
• формировать умения планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач исследовательского характера;
• формировать понимание сущности алгоритмических действий и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.

Учебные задачи, направленные на достижение предметных результатов обучения:

• формировать умения понимать и использовать функциональные понятия и язык предмета (термины и символы);
• формировать умения совершенствовать известные знания;
• формировать умения понимать производную как важнейшую математическую модель для описания процессов и явлений окружающего мира, применять функциональный язык для описания зависимости между величинами;
• формировать умения аргументировать свою точку зрения или строить доказательство;
• формировать умения устанавливать связи, различать причину и следствие;
• формировать умения строить прогнозы, обобщать факты и делать выводы, формулировать суждения;
• формировать умения анализировать реальные   числовые данные, осуществлять практические расчеты по формулам, пользоваться оценкой и «прикидкой» в практических расчетах;
•  формировать знания реальной зависимости между величинами.  
• Методы: проблемно – деятельностный.

Формы: индивидуальная, фронтальная, групповая. 

Оборудование и материалы: мультимедийный проектор, интерактивная доска, презентация урока, раздаточный материал, карточки с таблицей для устного счёта, лист с текстами заданий (рабочие листы), карточки с графиками производных для самооценки урока, цветные карточки для определения готовности ученика к ответу.  

Тип урока: урок повторения, систематизации и обобщения знаний, закрепление умений по теме «Производная». 

Ход урока.

Учитель:

-Добрый день, ребята! Я рада приветствовать вас на нашем уроке.

 Эпиграфом к нашему уроку будут слова великого русского математика                                                                  Н.И. Лобачевского :

«…нет ни одной области в математике, как бы абстрактна она ни была,

которая когда-либо не окажется применимой

к явлениям действительного мира…»

Прежде чем записать тему урока, прошу обратить внимание на экран. Перед вами стихотворение:

«В данной функции от «икс», нареченной «игреком»     у=f(х)

Вы фиксируете «икс», отмечая индексом                          х0, у=f(х0)

Придаете вы ему тотчас приращение,                                 х0 +Δх

Тем у функции самой вызвав изменение,                           Δу=f(х0 +Δх)-f(х0)

Приращений тех теперь взявши отношение,           

Пробуждаете к нулю у Δх стремление                              Δx→0

Предел такого отношения вычисляется,

Он _____?_______в науке называется»

Учитель:

-О чём идёт речь в этом стихотворении и какое слово пропущено?

(Ответы обучающихся: «Производной».)

- Как вы думаете о чём пойдёт речь на уроке?

(Ответы обучающихся : «О производной»)

(Учитель на доске пишет тему урока «Производная и …..)

-Ребята, почему я написала «И» и поставила многоточие?

(Обучающиеся высказывают своё мнение)

-Действительно, сегодня мы будем работать с производными. Но тема нашего урока заключается не только в нахождении производных.  Я предлагаю небольшую разминку для ума. Сначала выполним с вами интересное задание, затем мы вновь возвратимся к вопросу полной формулировки темы нашего урока. И тогда вы поймёте, что тема намного шире и глубже, чем просто нахождение производных.

Устный счёт проводится при помощи интерактивной доски.

  В таблице записаны функции и их производные. Необходимо найти как можно больше пар по принципу «функция - её производная».

(Для удобства у каждого на столе приготовлены такие же таблицы, это Лист №1, в которых можно писать  ответы.)

 -Кто будет готов, поднимает руку.

Устный счёт проверяется на интерактивной доске.

1-9, 2-4, 12-3, 11-5, 6-10, 7-13.

-Ребята, кто из вас заметил ошибку? (8-14).

 (Для того чтобы   привлечь внимания обучающихся, в устном счёте намеренно была допущена ошибка. Обучающиеся должны найти её и объяснить природу, повторить и проговорить правило, на которое была допущена эта ошибка). 

-У нас осталась одна функция без пары. Это функция под № 15. Мы с вами не знаем, что показывает формула №15-функцию или производную. Давайте рассмотрим её двояко- а) назвать функцию, производная которой равна ? , б) назвать производную

Учитель:  

-Аристотель как-то сказал великую фразу: «Ум заключается не только в знании, но и умении применять знания на практике». Ребята, предлагаю применить свои знания на практике. Оказывается, что производную можно применить не только в математике. Уже всем хорошо знаком физический смысл производной, и он не раз применялся в решении задач при подготовке к ЕГЭ. Обучающимся предлагается повторить теорию на тему «В чём состоит физический смысл производной?»

(скорость неравномерного движения - это производная от координаты по времени, а ускорение –это производная скорости или вторая производная координаты материальной точки).

Следующий этап урока .

 Учащимся предлагается решить вместе с учителем задачу-прототип, предложенный в ЕГЭ.

Учитель:  

-Вы скоро закончите школу, выберете профессии, которые вам по душе. Вы будете учиться моделировать различные жизненные, экономические и производственные ситуации. Представителям самых разных специальностей приходится постоянно решать задачи по выбору оптимального условия. Многим из ребят наверняка придётся столкнуться с такими вопросами : Как, располагая определенными ресурсами, добиваться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени. Такие задачи называют задачами на оптимизацию. Я предлагаю на несколько минут представить себя взрослыми и попробовать себя в качестве руководителя большой строительной фирмы 

-Вы будете мне помогать решать задачу (лист №2).

Задача(513288) Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство 𝑥 тыс. единиц продукции на таком заводе равны (0,5 + 2𝑥 + 6) млн рублей в год. Если продукцию завода продавать по цене 𝑝 тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит 𝑝𝑥− (0,5 +2𝑥+6). Когда завод будет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении 𝑝 строительство завода окупится не больше чем за 3 года?

-Решим задачу пошагово.                                                                                                      

-Составим краткую запись задачи:                                   ---Стоимость строительства завода: 78 млн руб. Годовые затраты на производство x тыс. ед. продукции: (0,5+2x+6) млн руб. Цена единицы продукции: p тыс. руб. Годовая прибыль: px− (0,5 2x+6) млн руб. Срок окупаемости: не более 3 лет.

Требуется: найти наименьшее p, при котором завод окупится за 3 года или быстрее.

Решение. Чтобы завод окупился за 3 года, суммарная прибыль за эти годы должна быть не меньше      стоимости строительства, т.е. 78 миллионов рублей:                                                          3⋅(px−(0,5+2x+6) ≥78; px−(0,5+2x+6) ≥26; px≥0,5+2x+32. Так как x> 0, то p≥0,5x+2+ ​Нам нужно найти наименьшее p, при котором это неравенство выполняется при x >0. Значит надо найти точку минимума функции: f(x)=0,5x+2+​. Найдём производную f’(x) и найдём критические точки: f′(x)=0,5− ​. Приравняем к нулю:

0,5− 0, ​=0,5; =64, =8,  x>0, то проверим, является ли точка х=8 точкой минимума. При x < 8:  f’(x) < 0 (функция убывает). При x > 8: f’(x) > 0 (функция возрастает). Значит, x = 8 — точка минимума. Вычислим минимальное значение p

Подставим x = 8 в f(x): p=0,5⋅8+2+​=4+2+4=10. Проверим окупаемость при p = 10

а) При p = 10 и x = 8 годовая прибыль составит 10⋅8−(0,5⋅82+2⋅8+6)=80−(32+16+6)=26 млн руб.

 б)За 3 года: 3⋅26=78 млн руб. — ровно стоимость строительства.               Таким образом, при p = 10 завод окупится за 3 года.                                                             Ответ:наименьшее значение p, при котором строительство завода окупится не более чем  за 3 года, равно 10 тыс. руб. за единицу продукции.

Следующий этап урока.

 Учитель перед началом урока рассаживает учеников в группы по 3 человека, на новом этапе работы ученики самостоятельно решают задачи на листе №3, решение можно обсуждать группой. Как только работа будет завершена ребята договариваются, кто у доски будет защищать решение. Как только группа закончит свою работу, один  идёт к доске и защищает решение своей задачи, в это время все остальные внимательно слушают выступления товарищей. Перед началом работы в группах учитель даёт инструкцию:

1. Решается задача всей группой, можно обсуждать, затем выбирается лидер, который защищает решение группы у доски, все внимательно слушают и оценивают решение.
2. Всем участникам необходимо ответить на вопрос «ЧТО ОБЪЕДИНЯЕТ ВСЕ ЭТИ ЗАДАЧИ? ЧТО ОБЩЕГО ВО ВСЕХ ЗАДАЧАХ?» 

1 пара-Финансисты.

Производная используется для исследования зависимости финансовых накоплений предприятия от объёма выпуска.

Задача.

Зависимость финансовых накоплений от объёма выпуска выражается формулой f(x) = -0,02x³ + 600x – 1000. Найдите при каких значениях объёма производства Х накопления предприятия достигают максимума. Найдите максимальный объём накоплений. Сделайте вывод.

Решение.

-0,06+600

. -0,06+600=0

=100, = - 100

=100 – точка максимума,

f(100)=39000

 дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений

 2 пара –Экономисты.

В экономике производные используются для нахождения максимума или минимума функции, что важно для оптимизации прибыли или минимизации затрат.

Задача.

Функция прибыли Р(х) компании, зависящая от количества произведенного товара х задана как Р(х)= -2 Найти объём производства, при котором прибыль максимальна.

Решение.

x=3, f(3)=8

Вывод: при дальнейшем увеличении объёма производства прибыль компании будет падать.

3 пара- Инженеры.

В строительстве производная используется для нахождения оптимальных параметров конструкций, например, для минимизации веса при сохранении прочности конструкции.

Задача.

 Пусть вес конструкции W(x) зависит от толщины х по закону W(x)=-15

Найти толщину конструкции, при которой вес будет минимален.

Решение.

 Найдём производную. -30х+36, ,  

Х=2-точка максимума, х=3-точка минимума, при х=3 значение функции будет минимальным, то есть вес конструкции минимален. W(x)=27.

Вывод: чем больше толщина конструкции, тем вес её меньше.

                                                            4 пара-Провизоры.                                                                                                                      

  При изготовлении лекарств жизненно необходимо знать период времени, через который лекарственные препараты полностью будут выведены из организма человека. Производная используется для описания скорости изменения концентрации лекарства в крови человека.                                                                                                                  

                                                                  Задача. 

Пусть С(t)- концентрация лекарства в крови в момент времени t(мин) изменяется по закону С(t)= , t- время, прошедшее после введения препарата. Найти скорость v(t) изменения концентрации в момент времени t=20 мин, если .                                                                                                                 Решение. 

 Найдем скорость как производную =. Скорость изменения концентрации в момент времени 20 мин v(20)=-1=-1 Ребята, в формуле вы видите букву «е», а что вы о ней знаете? Чему приближенно равно числовое значение иррационального числа «е»? А как иначе можно записать   Как вычислить ? Детям задаётся вопрос- а как вы думаете, что может обозначать знак минус в этой формуле?( концентрация лекарства в организме человека уменьшается).                                                                                    

Ответ: v(20)-0,37                                                                                                                                                                       

                                              5 пара - Электротехники                                                                                                            

   Производная используется для описания скорости изменения тока в электрической цепи..      Пусть I(t) –ток в момент времени t =10с изменяется по закону I(t)=5sin(0,1t). Найти скорость v(t) изменения тока в момент времени t=10 с.                                                                         Решение. v(t)=  . При t= 10с, v(10) = 0,5cos 0,1*10=0,5*cos1. (Заострить внимание на радианную меру угла, вспомнить, чему равна градусная мера угла в 1 рад ; v(10) 0,5*cos 57,3 А/с.( на столе лежат таблицы Брадиса).                                                                                                                                       Ответ: 0, 27 А/с                                                                                                                      

Учитель:

-Ребята, мы с вами доказали, что эти задачи показывают универсальность метода производных и его значимость в анализе процессов различной природы. На уроке мы вместе увидели, что производная-это мощный инструмент, который позволяет решать широкий спектр задач в различных областях науки и техники, а также вносит неотъемлемый вклад в развитие экономики нашей страны. Она помогает анализировать скорость изменения различных величин, находить оптимальные решения и предсказывать поведения систем.

 Ребята, вы решали интересные задачи, а теперь вы сможете сказать, почему же в теме нашего урока стояло многоточие? Как бы вы сформулировали её теперь?

(Ребята высказывают своё мнение)

-Ребята, применение производной не заканчивается теми сферами деятельности, с которыми мы сегодня столкнулись. Производные применяются и в физике, и в химии, и в биологии, и в географии. Вы наверняка заметили, что у вас на столах помимо названия групп есть фотографии учёных, которые внесли большой вклад в развитие Российской науки, а без знания математики, и в том числе интегральных исчислений, у них бы ничего не получилось. На стенде вы найдёте имена ученых, которые были основоположниками дифференциального и интегрального исчисления.

     Рефлексия. 

 Обучающимся предлагается самим оценить эффективность сегодняшнего урока. На экране- графики двух функций и касательные к ним. На столе лежат карточки с графиками и номерами 1 и 2. Если знания возросли с течением времени урока, то выбирают карточку с номером графика, на котором значение производной в точке касания положительно, а если уровень знаний остался прежним или урок вам не был интересен, то выбираете карточку с номером того графика, на котором значение производной в точке касания отрицательно. Найти это значение и сказать во сколько раз ваш уровень знаний вырос. (графики  приложении , Лист №4).  

В начале урока вы видели эпиграф нашего урока. Как вы считаете, мы доказали с вами слова великого русского математика Н.И.Лобачевского: «…нет ни одной области в математике, как бы абстрактна она ни была,

которая когда-либо не окажется применимой

к явлениям действительного мира…»

Домашнее задание. (Лист №5)

  Задача (№119975)

 Материальная точка движется прямолинейно по закону х(t)= 6(где x -расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 9 с

2) Найдите силу F, действующую на материальную точку массой m=2 кг, движущуюся прямолинейно по закону s(t) = 2t3 -t2 (м) при t = 2 с.

Скорость химической   реакции – один из решающих факторов, который нужно            учитывать во многих областях   научно-производственной деятельности, в сельскохозяйственной и химической промышленности важно знать скорости реакций химических веществ. Скоростью химической   реакции называется изменение концентрации реагирующих веществ в единицу времени или производная от концентрации реагирующих веществ по времени.

Задача №2.  Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью: р(t) =  + 3t –3 (моль). Найти скорость химической реакции через 3 с.

Учитель:

-Ребята, и в заключение на память о нашей встрече хочу подарить вам буклет- памятку, которую я составила сама, где я постаралась максимально собрать формулы производных. Они вам помогут подготовиться к успешной сдаче ЕГЭ по математике и физике. На каждом буклете есть QR-код, которым вы можете поделиться с товарищами. Спасибо за урок!