свойства степени с натуральным показателем
план-конспект

Тема. Свойства степени с натуральным показателем

Цель: обобщение знаний о степени с натуральным показателем и её свойствах. Развитие логического мышления, совершенствование навыков преобразования выражений, содержащих степени с натуральным показателем

Добрый день всем; ребята, настроимся на работу. Закройте глаза. Погладьте себя по голове, пожелайте себе мыслить ясно, вспоминать быстро и быть внимательными. Откройте глаза и прочитайте вслух

Я очень хочу учиться!

Я готов к успешной работе!

Я замечательно работаю!

На сегодняшнем занятии мы должны закрепить полученные знания и показать умение применять их при выполнении различных заданий на тему

«Степень с натуральным показателем и ее свойства».

Вспомните определение степени числа с натуральным показателем

Вспомните свойство умножения степеней с одинаковыми основаниями

Вспомните свойство деления степеней с одинаковыми основаниями

Вспомните свойство возведения степени в степень

Вспомните свойство возведения дроби в степень

Вспомните свойство возведения в степень произведения

Степень положительного числа есть число …

Степень отрицательного числа с нечётным показателем есть число…

Степень отрицательного числа с чётным показателем есть число …

Квадрат любого числа есть число…

«Исправьте ошибки»

1. С4∙С3 = С8

2. С10: С8 = С4

3, (С5)5 = С10

4. С5 ∙С3: С6 = С4

5. С14∙ С8 = С22

Запишите ответ в виде степени с основанием С и вы узнаете фамилию и имя великого французского математика, который первым ввел понятие степени числа.

1. С4∙С3 6. С7: С5

2. С10: С8 7. (С4)3 ∙С

3, (С5)3 8. С4∙С5∙ С0

4. С5 ∙С3: С6 9. С16: С8

5. С14∙ С8 10. (С3)5

Найти значение выражения: 

4. Практические задачи со степенями.

1. Сравните значение выражения с нулем

(- 1)15 +(-1)16

(- 5)31(-5)18

(-4, 2)4 + 6,8

(- 6)7 + 67

2. Из данных выражений выберите лишь те, значения которых равны -64.

— 82

— (- 2)6

(- 2)6

(- 4)3

— (- 4)3

Задача. Самая близкая к Солнцу планета Меркурий. До неё всего-то 57.690.000 км. Прочитайте это число. Запишите его с помощью степеней

Задача.

Площадь Евразии – самого большого материка равна 53,9 •106 км2, площадь самого маленького материка – Австралии – 7,7 • 106 км2. Сколько раз Австралия может уложиться на материке Евразия?

Степени и медицина

При записи анализа крови часто используются степени! Анализ крови у здорового человека:

-лейкоцитов в крови 6-8*109 .

-эритроцитов в крови 3,8 - 4,5 * 1012

-тромбоцитов в крови 180 – 320 *109

Судя по этим числам, мы утвердительно можем сказать, что степени используются не только в математике, но и физике, астрономии, химии, биологии, в медицине.

Задание для самостоятельного решения

Задание 1: Запишите в виде степени произведение степеней 

а)  ∙  = ….

∙  = ……

 = …..

б) b∙ ∙  = …..

∙  ∙c = …..

( -3a) ∙ ∙ = ……

Задание 2: Заполните пропуски 

а)  = ∙ 

б)  = ∙ 

в)  = ∙…. ....

г)  = ∙…. ....

Задание 3: Упростите произведение 

а) 3∙ 7=

б)  ∙ 5 =

в) 4 x∙ (-0,5) =

г) (-5 ) ∙ (-9a) =

Тема. Треугольник. Виды треугольников и их свойства.

Треугольник

Треугольник — это замкнутая ломаная, состоящая из трех звеньев, и часть плоскости, ею ограниченная.

В дальнейшем используются следующие обозначения:

a ,b, c - длины сторон DC, AC, AB треугольника ABC соответственно;

 — полупериметр треугольника ABC;

Неравенство треугольника — в любом треугольнике сумма длин двух сторон больше длины третьей стороны: a + b> c, b +c> a, a + c> b

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Теорема. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине: , .

Пусть c — наибольшая из трех сторон треугольника, тогда: если c² a² + b² , то треугольник остроугольный; если, c² = a² +b², то треугольник прямоугольный; если c² a² +b² , то треугольник тупоугольный.

Теорема. Сумма углов треугольника равна : .

Следствие: В треугольнике не может быть более одного тупого или прямого угла.

Внешний угол — угол, смежный с каким-нибудь углом треугольника.

Теорема. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Теорема синусов. Отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла для данного треугольника есть величина постоянная и равная диаметру описанной около треугольника окружности: 

Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: .

Теорема. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине: , .

Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или ее продолжение.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. Длины высот находятся по следующим формулам: , .

Серединный перпендикуляр к отрезку — прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.

Теорема. Если точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, то она равноудалена от его концов.

Верно и обратное утверждение: если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Все три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке, являющейся центром окружности, описанной вокруг треугольника.

Если треугольник остроугольный, центр описанной окружности лежит строго внутри треугольника. Если треугольник прямоугольный, центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Если треугольник тупоугольный, центр описанной окружности лежит вне треугольника.

Радиус описанной окружности может быть найден по формулам: , .

Биссектриса треугольника

Биссектрисой угла называется луч, выходящий из вершины угла и делящий угол на две равные части.

Биссектрисой угла треугольника называется отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны.

Теоремы:

∙ Биссектриса угла треугольника — множество точек, равноудаленных от сторон угла.

∙ Биссектриса делит сторону, к которой она проведена на отрезки, пропорциональные боковым сторонам: .

∙ Точкой пересечения биссектрисы делятся в отношении суммы сторон треугольника, образующих угол, в котором проведена биссектриса, к третьей стороне: .

∙ Длина биссектрисы равна: .

∙ Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром вписанной в треугольник окружности. Радиус вписанной окружности может быть найден по формулам: 

Медиана треугольника

Медиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой ее противоположной стороны.

Теоремы:

∙ Медиана, проведенная из вершины треугольника, делит его на два равновеликих: .

∙ Медианы пересекаются в одной точке, называемой центроидом треугольника, и точкой пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины.

∙ Отрезки медиан, соединяющие вершины с центроидом, делят треугольник на три равновеликих: .

∙ Пересекаясь, медианы делят треугольник на шесть равновеликих: .

∙ Длина медианы, проведенной к стороне  равна: .

Признаки равенства и подобия треугольников

Признаки равенства треугольников

Теорема (первый признак равенства треугольников). 
Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема (второй признак равенства треугольников). 
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема (третий признак равенства треугольников). 
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Признаки подобия треугольников

Подобными называются треугольники, у которых углы равны, а сходственные стороны пропорциональны: , , где  — коэффициент подобия.

I признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.

II признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

III признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Следствие: Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: .

Равносторонний треугольник и его свойства

Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны: .

Теоремы:

• Все углы равностороннего треугольника равны : .
• Медианы, биссектрисы и высоты равностороннего треугольника совпадают и равны :.
• Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности: .
• Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности: .
• Площадь равностороннего треугольника: .

Равнобедренный треугольник и его свойства

Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием треугольника.

Теоремы:

• Углы при основании равны: .
• Медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой: .
• Площадь равнобедренного треугольника: .

Прямоугольный треугольник и его свойства

Теорема Пифагора: .

Решение прямоугольного треугольника:

Теоремы:

∙ Высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки: . Эти отрезки являются проекциями катетов на гипотенузу.

∙ Высота, проведенная из вершины прямого угла, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу: .

∙ Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла, делит его на два подобных и подобных исходному треугольнику

∙ Длина высоты, проведенной из вершины прямого угла, равна отношению произведения длин катетов и гипотенузы: .

∙ Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Ее основание является центром описанной около прямоугольного треугольника окружности. Радиус описанной окружности равен этой медиане и равен половине гипотенузы: .

∙ Радиус вписанной окружности равен половине суммы катетов, уменьшенной на гипотенузы: .

∙ Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:  или вычисляется по любой из формул для вычисления площади произвольного треугольника.

Формулы для вычисления площади треугольника

∙ Площадь треугольника равна: . 

∙ Площадь треугольника равна: . 

∙ Формула Герона: . 

∙ Площадь треугольника равна: . 

∙ Площадь треугольника равна: . 

Если в треугольнике одну из сторон изменить в  раз, а другую в  раз, оставив без изменения угол между ними, то площадь получившегося треугольника изменится в  раз. 

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения длин сторон, заключающих равные углы.

Задания по теме для самостоятельного решения

Задание 1

(4 балла)

В треугольнике ABC AD – биссектриса, угол С равен 50°, угол САD равен 28°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.

Задание 2

(4 балла)

В треугольнике ABC угол C равен 58°, биссектрисы AD и BE пересекаются в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах. 

Задание 3

(4 балла)

В треугольнике ABC, AC=BC=2√3 угол С равен 120°. Найдите высоту AH.

Тема.  Отгадывание задуманного числа.

Цель: продолжать знакомить учащихся с математическими фокусами, зачем они нужны, научить детей нескольким из них.

 Добрый  день,  юные  любители  математики.

Сегодня на занятии будьте внимательны и старательны!

Сегодня мы будем учиться делать фокусы, а потом я расскажу секреты  и вы сможете показать их родным и близким?

Фокусы будут необычные, математические.

 Ваша задача – прочитать фокус и постараться еще отгадать его секрет.

Для начала прочитайте историю возникновения математических фокусов.

   Фокус или иллюзионное искусство - один из видов деятельности человека. В основном  это выступления артистов в виде концертных номеров, аттракционов, спектаклей и шоу.

  Фокус - искусный трюк, основанный на обмане зрения, внимания при помощи ловкого и быстрого приема, движения (словарь Ожегова)

    Математические игры и фокусы появились вместе с возникновением математики, как науки. Первое упоминание о математических фокусах мы встречаем в книге русского математика Леонтия Филипповича Магницкого, опубликованной в 1703 году. Одна глава книги содержала математические игры и фокусы. Сам Магницкий пишет, что поместил эту главу в книгу для “утехи и особенно для изощрения ума учащихся”. Все мы знаем великого русского поэта М.Ю. Лермонтова, но не каждому известно, что он был большим любителем математики, особенно его привлекали математические фокусы, которых он знал великое множество, причем некоторые из них он придумывал сам.

    Математические фокусы интересны именно тем, что каждый фокус основан на математических законах. Смысл их состоит в отгадывании чисел, задуманных зрителями, или в каких-нибудь операциях над ними. Главное — это то, что фокусник знает секрет: особые свойства чисел. Миллионы людей во всех частях света увлекаются математическими фокусами. И это не удивительно. “Гимнастика ума” полезна в любом возрасте. А фокусы тренируют память, обостряют сообразительность, вырабатывают настойчивость, способность логически мыслить, анализировать и сопоставлять. 

 Предлагаю поучаствовать Вам в нескольких несложных фокусах, которые я вам приготовила

Фокус № 1 Задуманное число, который вам может быть уже знаком

1. Задумайте число от 1 до 20
2. Прибавьте к нему 5.
3. Результат умножьте на 3.
4. От того, что получилось, отнимите 15 и запомните ответ.
5. Если вы назовете мне ответ, я скажу какое число вы загадали.

(Для этого названный ответ нужно разделить на 3. Получится число, задуманное зрителем.) Почему?

Или:

1. Задумайте любое число
2. После этого число умножьте на 2,
3. Прибавьте к результату 8,
4. Разделите результат на 2 и
5. задуманное число отнять.

В результате получится  4.

Секрет фокуса.

Например, зритель задумал число 7. 7x2= 14 14+ 8= 22 22: 2= 11 11- 7= 4

Фокус № 2

Опять и опять «5».

1.Задумайте  любое число.

2. Прибавить к нему следующее по порядку

3. Прибавьте  к сумме 9

4.Разделите полученное пополам

5. Вычтите  из результата задуманное вами  число.

У всех получилось число 5.

Секрет фокуса: 
Вы легко угадываете сколько у него получилось, потому что какое бы он число не загадал после всех подсчетов у него всегда будет 5.  
Пример: загадали 25 25+26=51, 51+9=60, 60/2=30, 30-25=5 загадали 564 564+565=1129, 1129 + 9 = 1138, 1138/2=569, 569-564=5 загадали 444444 444444+444445=888889, 888889+9=888898, 888898/2=444449, 444449-444444=5

Фокус № 3 Дата рождения.

- Я могу отгадать год рождения любого из вас.

1. Запишите на листочке день своего рождения
2. Умножьте на 2 число дня своего рождения
3. Затем пусть зритель сложит получившееся произведение и число 5,
4. Теперь пусть умножит на 50 полученную сумму.
5. К этому результату необходимо прибавить номер месяца рождения (июль — 7, январь — 1)

Вслух назвать полученное число.

1. Я могу сказать, сколько у вас получилось (показываю свой листок с ответом).

Почему?

Секрет этого математического фокуса.

Все очень просто. В уме от того числа, которое назвал зритель, отнимите 250.

У вас должно выйти трехзначное или четырехзначное число. Первая и вторая цифры — день рождения, две последние — месяц.

   Фокус № 4 «Вычислительный фокус с числами»

   Этот фокус демонстрируют так: показывающий просит кого-нибудь записать друг под другом два любых числа, какие он пожелает. Допустим для примера, что были выбраны 2 и 7. Затем зритель должен сложить эти числа. Найденное таким образом третье число складывается со вторым (стоящим над ним), и получается четвертое число. Этот процесс повторяют до тех пор, пока в вертикальном столбце не окажется десять чисел:

- 

2

7

9

16

25

41

66

107

173

280

Во время записывания чисел фокусник стоит, повернувшись спиной к зрителям. Когда все числа будут записаны, он поворачивается, проводит под колонкой цифр черту и, не задумываясь, подписывает сумму этих чисел.

Чтобы получить эту сумму, ему просто нужно взять четвертое число снизу и умножить его на 11 - операция, которую легко можно проделать в уме. В нашем случае четвертым числом будет 66, поэтому в ответе получится число 66, взятое 11 раз, т.е. 726.

Секрет этого математического фокуса.

   Чтобы получить эту сумму, ему просто нужно взять четвертое число снизу и умножить его на 11 -операция, которую легко можно проделать в уме. В нашем случае четвертым числом будет 66, поэтому в ответе получится число 66, взятое 11 раз, т.е. 726.

Фокус № 5   Фокус в клеточку

Шаг 1. 

 Подготавливаю обычный листок в клеточку. На равном расстоянии друг от друга черчу отрезки. Сколько? Все равно, главное, чтобы участники сосчитали запомнили. 

Шаг 2. Разложить листок, как показано на фото.

Шаг 3. Сдвинуть получившиеся треугольники так, чтобы клеточки и начерченные отрезки совместились.

-Помните, сколько отрезков ты чертил?

-А сейчас что получается?

-Один исчез! Как? Все ведь происходило на ваших глазах? Фокус-покус!!!

Открываем секреты фокусов.

Внимание на слайды.

Фокус № 1 Задуманное число.

Секрет фокуса.

Например, зритель задумал число 7. 7x2= 14 14+ 8= 22 22: 2= 11 11- 7= 4

Фокус № 2 Опять и опять «5».

Секрет фокуса: 
Вы легко угадываете сколько у него получилось, потому что какое бы он число не загадал после всех подсчетов у него всегда будет 5.  
Пример: загадали 25 25+26=51, 51+9=60, 60/2=30, 30-25=5 загадали 564 564+565=1129, 1129 + 9 = 1138, 1138/2=569, 569-564=5 загадали 444444 444444+444445=888889, 888889+9=888898, 888898/2=444449, 444449-444444=5

Фокус № 3 Дата рождения.

Секрет этого математического фокуса.

 Все очень просто. В уме от того числа, которое назвал зритель, отнимите 250.

У вас должно выйти трехзначное или четырехзначное число. Первая и вторая цифры — день рождения, две последние — месяц.

Фокус № 4 «Вычислительный фокус с числами».

Секрет этого математического фокуса.

Чтобы получить эту сумму, ему просто нужно взять четвертое число снизу и умножить его на 11 -операция, которую легко можно проделать в уме. В нашем случае четвертым числом будет 66, поэтому в ответе получится число 66, взятое 11 раз, т.е. 726.

Математические фокусы разнообразны. Во многих математических фокусах числа завуалированы предметами, имеющими отношение к числам. Они развивают навыки в быстром устном счете, навыки вычислений т.к. можно загадывать малые и большие числа. 

   - Математика плотно связана со всей нашей жизнью. Математика везде окружает нас: на улице, дома, на работе, в гостях.

   Спасибо за занятие.