позиционная система счисления
материал (8 класс) на тему

Позиционные системы счисления

Позиционные системы счисления - это система счисления, в которой величина, обозначаемая цифрой, зависит от места (позиции) цифры в числе.
Двадцатеричная система счисления индейцев Майя.
Эта система очень интересна тем, что на ее развитие не повлияла ни одна из цивилизаций Европы и Азии. Эта система применялась для календаря и астрономических наблюдений. Характерной особенностью ее было наличие нуля (изображение ракушки). Основанием этой системы было число 20, хотя сильно заметны следы пятеричной системы. Первые 19 чисел получались путем комбинирование точек (один) и черточек (пять).
Число 20 изображалось из двух цифр, ноль и один наверху  и называлось уиналу. Записывались числа столбиком, внизу располагались наименьшие разряды, вверху наибольшие, в результате получалась «этажерка» с полками. Если число ноль появлялось без единицы наверху, то это обозначало, что единиц данного разряда нет. Но, если хоть одна единица была в этом разряде, то знак нуля исчезал, например, число 21, это будет  . Так же в нашей системе счисления: 10 – с нулем, 11 – без него.
Десятичная и двоичная системы счисления
Рассмотрим четыре числа 235, 532, 325, 523. Эти числа различны, хотя в их записи участвуют одни и те же цифры. Различаются записи расположением цифр, т.е. позицией в которой данная цифра стоит. Отсюда и название такой системы счисления – позиционная.
Наиболее распространенной в современном мире системой счисления является позиционная десятичная СС . Ее популярность и массовость применения можно объяснить следующим, десять пальцев рук - вот тот первоначальный аппарат для счета, которым человек пользовался с доисторических времен. По пальцам удобно считать от одного до десяти. Сосчитав до десяти, т.е. использовав до конца возможности нашего природного «счетного аппарата», естественно принять само число 10 за новую, более крупную единицу (единицу следующего разряда). История наших привычных «арабских» чисел очень запутана. Нельзя сказать точно и достоверно как они произошли. Вот один из вариантов этого истории этого происхождения. Одно точно известно, что именно благодаря древним астрономам, а именно их точным расчетам мы и имеем наши числа.
Идея приписывать цифрам разные величины в зависимости от того, какую позицию они занимают в записи числа, впервые появилась в Древнем Вавилоне примерно в III тысячелетии до нашей эры.
До нашего времени дошли многие глиняные таблички Древнего Вавилона, на которых решены сложнейшие задачи, такие как вычисление корней, отыскание объема пирамиды и др. Для записи чисел вавилоняне использовали всего два знака: клин вертикальный (единицы) и клин горизонтальный (десятки). Все числа от 1 до 59 записывались с помощью этих знаков, как в обычной иероглифической системе.

Отголоски этой системы счисления мы находим в сохранившемся до наших дней обыкновении делить один час на 60 минут, одну минуту на 60 секунд, полный угол — на 360 градусов.
Примерно во II веке до н.э. с астрономическими наблюдениями вавилонян познакомились греческие астрономы (например, Клавдий Птолемей). Они переняли их позиционную систему счисления, но целые числа они записывали не с помощью клиньев, а в своей алфавитной нумерации, а дроби в вавилонской шестидесятеричной системой счисления. Но для обозначения нулевого значения разряда греческие астрономы стали использовать символ "0" (первая буква греческого слова Ouden - ничто).
Между II и VI веками н.э. индийские астрономы познакомились с греческой астрономией. Они переняли шестидесятеричную систему и круглый греческий нуль. Индийцы соединили принципы греческой нумерации с десятичной мультипликативной системой взятой из Китая. Так же они стали обозначать цифры одним знаком, как было принято в древнеиндийской нумерации брахми. Это и был завершающий шаг в создании позиционной десятичной системы счисления.
Блестящая работа индийских математиков была воспринята арабскими математиками и Аль-Хорезми в IX веке написал книгу "Индийское искусство счета", в которой описывает десятичную позиционную систему счисления. Простые и удобные правила сложения и вычитания сколь угодно больших чисел, записанных в позиционной системе, сделали ее особенно популярной в среде европейских купцов.
В XII в. Хуан из Севильи перевел на латынь книгу "Индийское искусство счета", и индийская система счета широко распространилась по всей Европе. А так как труд Аль-Хорезми был написан арабском языке, то за индийской нумерацией в Европе закрепилось неправильное название - "арабская". Но сами арабы именуют цифры индийскими, а арифметику, основанную на десятичной системе - индийским счетом.
Форма «арабских» цифр со временем сильно изменялась. 

Та форма, в которой мы их пишем, установилась в XVI веке.
Исторически десятичная система счисления сложилась и развивалась в Индии. Европейцы заимствовали индийскую систему счисления у арабов, назвав ее арабской. Это исторически неправильное название удерживается и поныне.

Двоичная система счисления

Алгоритм перевода числа из
десятичной системы счисления в двоичную:

∙ Разделить
число на 2, записать остаток (0 или 1) и частное.

∙ Если частное
не равно 0, то его делим на 2 и т.д.

∙ Если частное
равно нулю, то записать остатки, начиная с первого снизу вверх.

Позиционная система счисления  - система счисления, в которой значение цифры
зависит от её позиции в записи числа.

Алгоритм перевода числа из двоичной
системы счисления в десятичную (через развернутую форму записи числа)

•Пример:

1011,012=1*23+0*22+1*21+1*20+0*2-1+1*2-2=8+2+1+¼=11
¼.

Перевод смешанных чисел из десятичной системы счисления в двоичную:

•Алгоритм перевода:

•1) перевести целую часть;

•2) перевести дробную часть;

•3) сложить полученные результаты.

Пример :перевести 17,2510 в двоичную систему счисления.

Решение:

1)1710 =100012

2)0,2510=
0,012

3)17,2510 =10001,012

Задание1. переведите в десятичную систему
счисления  10110,12