Плавание тел
методическая разработка по физике (10 класс) на тему

ПЛАВАНИЕ ТЕЛ.

ВЫТАЛКИВАЮЩАЯ СИЛА, ДЕЙСТВУЮЩАЯ НА ПОГРУЖЕННОЕ В ЖИДКОСТЬ ТЕЛО.

     В связи с сокращением часов, которые в школьной программе отводятся на  изучение физики, некоторые разделы стали изучаться поверхностно, а некоторые и совсем вынесены за рамки школьного обучения. Эта неприятная участь выпала гидростатике (поверхностно изучается в 8 классе), анализу сил давления внутри жидкости, гидродинамике. Изучением этих разделов занимаются в классах , где на физику выделено 6 и более часов в неделю.

    Сложилась парадоксальная ситуация – в тестах ЕГЭ задачи по этим темам присутствуют, а в 10 – 11 классе их не проходят. Видимо, подразумевается, что эти разделы будут повторены или вновь изучены за счет резерва времени или на факультативе.

     В условиях полного цейтнота особенное значение имеет выбор основного метода анализа задач и подборки задач, решаемых на уроках.

Часть 1. Метод «реальных и виртуальных сил».

     Этот метод позволяет легко (практически в одно действие) решать любую задачу на изменение уровня жидкости в сосуде, и не только. Уровень предлагаемых задач весьма разнообразен – от школьных до олимпиадных различного уровня.

Суть метода. Метод основан на анализе давления на дно сосуда. Выделим силы, которые  приложены к дну сосуда (реально действуют на него), и назовем их реальными. Обычно реальные силы – это сила давления воды, сила натяжения нити (если она привязана ко дну и натянута), сила давления на дно лежащих на нем предметов (утонувших). Назовем сумму этих сил Fреал. По третьему закону Ньютона, дно действует на содержимое сосуда с силой

- F реал. С другой стороны, на содержимое сосуда действуют и другие силы – в основном, все плавающих и утонувших тел, вес самой воды, другие силы, действующие на плавающие и утонувшие тела. Все эти силы назовем виртуальными. Ясно, что, если содержимое сосуда находится в покое, сумма реальных сил должна быть равна сумме виртуальных. Детям можно объяснить так: реальные силы – это те, которые действительно давят на дно сосуда, а виртуальные силы – это вес тех тел, которые упадут, если у сосуда отвалится дно.

     С помощью этого метода решим подборку задач, которым я отвожу 1 – 2 урока.

Задача 1.  В сосуде с водой плавает льдинка. Изменится ли уровень воды, когда льдинка растает?

Решение.  И до таяния льдинки, и после реальные силы, которые давят на дно, – это силы давления воды ρ g h1 S  и ρ g h2 S ( атмосферное давление опускаем, оно всюду сокращается в этого типа задачах). Идеальные же силы одинаковы в обоих случаях, так как плавление не изменяет веса льдинки. Значит, уровень воды в сосуде не изменится.

Задача 2.  В сосуде с водой плавает льдинка, в которую вморожен а) кусочек пенопласта; и б) кусочек свинца. Как изменится уровень воды в сосуде после того, как льдинка растает?

Решение.  Рассмотрим сначала случай а). Запишем баланс реальных и виртуальных сил до и после таяния льдинки. До:

Fреал1 = ρ g h1 S = Fвирт1 = (mл + mпен + mв) g

После:

Fреал2 = ρ g h2 S = Fвирт2 = (mЛ + mпен + mв) g

Очевидно, что уровень воды в сосуде не изменится.

     Случай б) несколько сложнее. Пока льдинка не растаяла, на дно давит только вода:

Fреал1 = ρ g h1 S = (mв + mл + mсв) g = Fвирт1

    Когда же льдинка растает, свинец утонет и начнет давить на дно с силой

Fсв = mсв g (1 – ρ/ρсв)

          Таким образом, баланс реальных и виртуальных сил запишется в виде:

 ρ g h2 S + mсв g(1 – ρ/ ρсв) =  (mв + mЛ + mсв) g

Виртуальные силы равны друг другу, значит, равны и реальные. Легко видеть, что

Δh = h1 – h2 = mсв (1 – ρ/ ρсв) / ρ S

Задача 3.  Ко дну сосуда с водой прикреплен один конец невесомой нити, другой конец которой вморожен в льдинку, которая плавает на поверхности воды. При этом сила натяжения нити Т = 10 Н. Площадь дна сосуда S = 100 см2. На сколько изменится уровень воды, когда льдинка растает?

Решение.  Баланс сил до таяния льдинки:

 ρ g h1 S - Т = (mВ + mЛ) g

После таяния:

ρ g h2 S = (mВ + mЛ) g

Очевидно,

Δh = T/ ρ g S

Задача 4.  Через неподвижный блок перекинута невесомая тонкая нить, на концах которой закреплены деревянные шарики массами М1 и М2. При этом шарик массой М2 плавает в воде плотности ρ, а шарик М1 не касается воды. Система находится в равновесии. На сколько и как изменится уровень воды в сосуде, если перерезать нить?

Решение.  Применим уже испытанный метод. В первом случае (нить цела) реально на дно давит только вода. Виртуальная же сила в первом случае равна весу плавающего шарика минус натяжение нити. Натяжение нити Т = М1g. Баланс реальных и виртуальных сил в первом случае:

ρ g h1 S = (М2 – М1) g

Во втором случае реальные силы – опять давление воды, а виртуальные – вес обоих шариков:

ρ g h2 S = (М2 + М1) g

     Результат очевиден:

Δh = 2 M1/ ρ  S

Часть 2. Всегда ли справедлив закон Архимеда?

          Как правило, приходя в десятый класс, школьники хорошо знают закон Архимеда, но плохо представляют себе, откуда он берется. Итак, выталкивающая сила, действующая на погруженное в жидкость тело – это суммарная сила давления жидкости на всю поверхность тела. Очевидно, она (обычно) направлена вверх, оттого так и называется. Для точного расчета этой силы, очевидно, необходимо разбить всю поверхность тела на малые участки и выписать силу, с которой жидкость действует на этот участок; затем все эти силы просуммировать.

     Так как в жидкостях не существует трения покоя, то сила реакции жидкости (сила ее давления), действующая на каждый малый элемент поверхности, перпендикулярна этой поверхности. Этим сила реакции жидкости сильно отличается от силы реакции, например, наклонной плоскости. По закону Архимеда, выталкивающая сила, действующая на погруженное в жидкость тело, равна весу жидкости в объеме, вытесненном телом. Всегда ли это так?

      Рассмотрим доказательство закона Архимеда. Сразу обратим внимание на предположения, которые неявно делаются при этом доказательстве.

     Пусть в жидкость плотности ρ полностью погружено и покоится в ней  некое тело объема V. Рассмотрим силы давления на его грани (тело считает прямоугольным параллелепипедом). Очевидно, что силы давления на боковые грани компенсируют друг друга. Сила давления на верхнюю грань меньше, чем сила давления на нижнюю грань, на ρgV – а это и есть сила Архимеда.

     Таким образом, если жидкость давит не на все тело, или если тело не покоится в ней, или, наконец, если и сама жидкость, и тело в ней покоятся друг относительно друга, но относительно Земли двигаются с ускорением – справедливость закона Архимеда нужно проверять.

 Выталкивающая сила , действующая со стороны жидкости на не полностью погруженное в нее тело.

     В первом, самом очевидном случае неполного погружения – при плавании тел – закон Архимеда, очевидно выполняется.

     Второй случай неполного погружения – несмачиваемое тело, лежащее на дне (характерный пример – стеклянная пластинка, лежащая на дне сосуда со ртутью).

Задача 1. К дну стеклянного сосуда прижали один раз стеклянную пластинку и залили ртутью, а во второй раз – деревянную пластинку и залили водой. Почему деревянная пластинка через некоторое время всплывет, а стеклянная – не всплывет никогда?

Решение. Очевидно, что в первый момент не будут всплывать обе пластинки, так как сила реакции жидкости будет направлена не вверх, а вниз (на нижнюю сторону пластинки просто не действуют никакие силы со стороны жидкости – ее ведь там нет). Поэтому, чтобы ее от дна оторвать, нужно приложить силу, равную mg + (po + ρgh)S (здесь ро – атмосферное давление, S – площадь пластинки). Однако, как показывает опыт, деревянная пластинка через некоторое время всплывает, а стеклянная в ртути – не всплывет никогда. Это связано с тем, что ртуть не смачивает стекло, а вода смачивает дерево. В результате в первом случае на щели между стеклом и дном сосуда образуется мениск, выпуклость которого обращена в сторону ртути, - значит, на ртуть будет действовать дополнительное давление, и ртуть в щель никогда не проникнет. Вода же смачивает дерево, поэтому достаточно быстро проникнет под деревянную пластинку. Выталкивающая сила начнет работать в полном объеме, закон Архимеда заработает – и пластинка всплывет.

Задача 2. В жидкость плотности ρ погружено тело неправильной формы объема V. Какая выталкивающая сила действует на него?

Решение. Как видите, этот случай в законе Архимеда тоже не рассматривается. Здесь можно впервые ввести один метод анализа давлений внутри жидкости, который впоследствии нам очень пригодится.. Жидкость давит не на тело, а на его поверхность. Поэтому если внутри той поверхности, которое ограничено тело, будет находиться какое-нибудь другое вещество, сила давления жидкости от этого не изменится. Представим себе, что мы выделили внутри жидкости объем V, форма которого повторяет контуры изначально данного нам тела. Очевидно, что сила, с которой жидкость будет действовать на него, равна силе тяжести, действующей на этот объем – иначе бы этот объем воды тонул или всплывал в остальной жидкости. Таким образом, закон Архимеда выполняется и для тел неправильной формы.

Задача 3. В дне сосуда имеется сужающееся отверстие, плотно закрытое конической пробкой. Площадь основании пробки S, высота L. Уровень дна сосуда пересекает конус на половине его высоты. Плотности пробки и жидкости составляют ρо и ρ соответственно. Какой должна быть высота уровня жидкости Н над основанием конуса, чтобы пробка не всплывала?  Решение. Представим себе, что верхняя часть пробки полностью погружена в жидкость, которая может подтекать и под эту половину. Тогда на эту воображаемую половину пробки действовали бы со стороны жидкости  силы:

  - давления на верхнюю поверхностьF1 (направлена вниз);

  - равнодействующая сил давления на боковую поверхность F2  (направлена вверх);

  - сила давления на нижнюю поверхность F3 (направлена вверх).

    По закону Архимеда, суммарная сила, действующая на воображаемую половину пробки, была бы равна

Fa = ρgV = ρg 7/8 LS/3 = F3 + F2 – F1

    Однако в реальности на пробку со стороны жидкости действуют только силы F1 и F2. Их равнодействующая

F1  - F2 = F3 – Fa = ρg(H + L/2) S/4 – 7/24 ρgLS = ρgS( H/4 – L/6)

    Пробка не будет всплывать, если сумма силы тяжести и  этой равнодействующей направлена вниз, т.е.

ρgS (H/4 – L/6) + ρоgLS/3 > 0

H > 2/3L(1 - 2ρo /ρ)

Видно, что если последний множитель меньше нуля, то пробка не всплывет ни при каком Н.

Выталкивающая сила, действующая на тело, покоящееся в движущейся с ускорением жидкости.

Задача 1.  Жидкость плотностью ρ залита в высокий сосуд так, что не переливается через его верх при дальнейшем движении. Сосуд двигается с ускорением а, направленным горизонтально. Какую форму примет жидкость, когда прекратятся ее колебания?

Решение. Направим ось Ох по направлению а, ось Оу  - вертикально вверх. Пусть при установившемся движении уровень жидкости у зависит от координаты х, отсчитываемой от левого конца сосуда. Выделим внутри жидкости вблизи точки с координатами (хо; уо) маленький объем жидкости v. Этот объем имеет массу ρv и движется с ускорением а – следовательно, на него со стороны жидкости должна действовать сила, компоненты которой обеспечивают отсутствие ускорения по оси Оу и ускорение а по Ох:

ρVa = Fx

ρVg = -Fy

С другой стороны, эта результирующая сила, действующая со стороны жидкости, обеспечивается неравенством давлений, соответственно, на левую и правую, а также на верхнюю и нижнюю поверхности этого объема:

(Po + ρg(y(xo) – yo + Δh))Sy - (Po + ρg (y(xo) – yo))Sy = - ρVg

(удовлетворяется автоматически, т.к. Sy Δh = V)

[po + ρg( y(xo) – yo) – (po + ρg(y(xo + Δx) - yo))]Sx = ρVa

После раскрытия скобок остается:

[ρg( y(xo) – y(xo + Δx))]Sx = ρVa

или, учитывая, что Sx = V/ Δx, и заменяя малое приращение функции на Δy:

Δy/Δx = - а/g

     Таким образом, тангенс угла наклона жидкости постоянен вдоль сосуда и равен  - а/g. Значит, поверхность жидкости представляет из себя поверхность постоянного наклона, т.е., плоскость.

     Аналогично легко найти и форму поверхности вращающейся жидкости. Заметим, что, как и в случае поступательного движения жидкости, форма эта не будет зависеть от плотности жидкости. Если в вашей школе есть набор для лабораторных работ с вращающимся столом, то рекомендую провести такой опыт: поставить на него несколько сосудов с разными жидкостями на разных расстояниях от оси вращения. Лучше, если эти жидкости будут разноцветными. Каждая из поверхностей жидкостей в сосудах при вращении стола будет представлять собой кусочки одного и того же параболоида вращения – удивительное зрелище! Один из моих младшеклассников, впервые увидев это, закричал: «Они сговорились!»

Задача 2. Найдите форму поверхности жидкости, вращающейся с угловой скоростью ω.

Решение. Решение опять будем основывать на выделении малого объема жидкости и рассмотрении сил, действующих на него в направлении Ох. С одной стороны, этот объем должен вращаться с ускорением, равным ω2 х, и соответственно, сила, действующая на него, должна быть равна ρVω2x, а с другой стороны, эта сила обеспечивается разностью давления жидкости на правую и левую грани этого объема. Давления же справа и слева не одинаковы потому, что разным координатам х соответствует разная высота жидкости y:

Δy/Δx  = ω2x/g

При выводе этого уравнения мы использовали тот очевидный факт, что Sx Δx = V. Интегрируя, получим:

y = ω2x/2g

Задача 3. Легкая нерастяжимая нить, длина которой L = 30 см, одним концом закреплена на дне цилиндрического сосуда, а другим привязана к маленькому деревянному шарику. Расстояние между точкой закрепления нити и центром дна сосуда r = 20 см. Сосуд начинает вращаться вокруг своей вертикальной оси. Определите угловую скорость ω вращения сосуда, если нить отклоняется от вертикали на угол α = 30о.

Решение. Используем решение предыдущей задачи. На вращающийся вместе с жидкостью шарик будет со стороны жидкости действовать выталкивающая сила с компонентами

Fx = ρVω2x

Fy = ρVg

При этом

x = r – L sin α

y = L cos α

Кроме выталкивающей силы, на шарик будет действовать сила тяжести ρоVg по Оу  и сила натяжения нити Т с компонентами

Тx = T sin α

Тy = T cos α

В проекции на оси второй закон Ньютона будет иметь вид:

ρVω2(r  – L sin α) - T sin α = ρoVω2(r – L sin α)

ρVg – T cos α = ρoVg

Из второго уравнения находим Т:

Т = (ρ – ρo)Vg/ cos α

Подставив это выражение в первое уравнение, получим:

ω2 = g tg α / (r – L sin α)

     Видно, что угол отклонения нити зависит только от частоты вращения жидкости и параметров «привязи» и не зависит от плотностей жидкости и шарика.

     Из предыдущих задач видно, что прямое применение закона Архимеда для тел, погруженных в жидкость, движущуюся с ускорением, невозможно.

     Интересно отметить факт, что привязанный к веревке шарик во вращающейся жидкости будет не отодвигаться от оси вращения, а приближаться к ней. Это чисто теоретическое построение легко проверить в эксперименте.