Математический вечер
план-конспект урока геометрии (9 класс) по теме

Математический вечер ”Н.И.Лобачевский и его геометрия“

Цель: Показать учащимся, что кроме геометрии Евклида, изучаемой в школе, существуют другие системы – геометрия Лобачевского; ознакомить с биографией и научной деятельностью Н.И.Лобачевского; воспитать интерес к математике.

(У нас в школе ежегодно в ноябре, в рамках проведения полумесячника математики, проводятся различные математические вечера, конкурсы, игры, викторины.).

Программа вечера:

1. О геометрии Евклида и о новой геометрии Лобачевского.

     2   Доклад «Н.И.Лобачевский»

3.  Игра «Золотая лихорадка»

1. Устная викторина.

В зале, где проходит вечер, организована выставка альбомов, посвященных истории развития геометрии, ученым – математикам.

Вечер сопровождается презентацией из портретов Евклида, Архимеда, Лобачевского; геометрических фигур (плоских, пространственных и пяти правильных многогранников); иллюстраций, отражающих этапы развития науки геометрии.

1. Открытие вечера, сообщение темы и цели мероприятия.

2. Выступление учителя.

Геометрия возникла ещё в глубокой древности в связи с практическими потребностями человека: измерение расстояний, изготовление орудий труда определенных размеров, нахождение площади земельных участков и вместимости сосудов, вычисление объемов различных сооружений и т. д.

Разнообразные пространственные формы, образы и фигуры окружают человека всюду. Геометрические точки, прямые, кривые и ломаные линии, плоскости, поверхности, многоугольники, круги и их части, многогранники и тела вращения – это абстрактные понятия, которые формируются в нашем сознании вследствие длительного общения с конкретными предметами и наблюдениями над реальными объектами, встречающимися в домашней обстановке, в природе и на производстве.  Люди на протяжении тысячелетий изучали свойства геометрических форм в первую очередь для того, чтобы использовать их свойства для своих практических потребностей.

   На первых стадиях своего развития геометрия стояла близко к искусству, отображающему действительность в художественных образах. О связи геометрии с искусством свидетельствуют дошедшие до нас украшения на стенах и предметах домашнего обихода, возраст которых исчисляется в тысячелетиях.

   Таким образом, практика в широком смысле слова и искусство подготовили путь к геометрии, как наука. Наукой геометрия стала в древней Греции в VII-IV вв. до н.э., после того, как в ней стали систематически применяться логические доказательства и были приведены в систему геометрические предложения, последовательно выводимые одно из другого путем умозаключений, в основе которых лежало несколько аксиом. Первой книгой по геометрии были «Начала» Евклида. Более двух тысяч лет по книгам, составленным Евклидом, под общим названием «Начала» , обучалась Европа. В качестве аксиом и постулатов Евклид выбрал такие предложения, которые – как он считал – можно непосредственно проверить простейшими инструментами или иным путем и выражающие очевидные, по мнению ученых, свойства фигур, проверенные многовековой человеческой практикой. От того, какие предложения приняты за аксиомы, зависит все содержание геометрии. Среди постулатов в ”Началах“ Евклида пятый по порядку по своему содержанию совпадает с изучаемой в 6 классе аксиомой параллельности прямых: на плоскости через точку вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Евклидова аксиома параллельности с древних времен обратила на себя внимание и вызывала сомнение у ученых по следующим причинам:

а) Долгое время, до XIX в., господствовало мнение, согласно которому аксиомы верны потому, что они очевидны сами по себе и не нуждаются в доказательстве. Пятый же постулат с самого начала его появления показался далеко не очевидным, так как он был значительно сложнее не только остальных аксиом, но и многих теорем. Ясно можно себе  представить лишь ограниченную, небольшую часть прямой, плоскости или пространства. С такой именно ограниченной, конечной частью пространства мы имеем дело на практике. Пятый постулат Евклида, как и само понятие параллельных прямых, содержит известную трудность, заключающуюся в том, что в них речь идет о всей прямой, о всей плоскости. Чтобы убедиться, что данные прямые не пересекаются нигде, надо продолжить их до ”бесконечности“. Непосредственно опытным путем этого выполнить нельзя, а следовательно, и аксиому проверить нельзя.

б)Первые 28 теорем «Начал», как и теоремы о смежных и вертикальных углах и о равенстве треугольников в наших учебниках, доказываются без помощи аксиом параллельности. И среди теорем геометрии имеются такие, для доказательства которых нет нужды в этой аксиоме. Однако имеется ряд теорем, которые опираются на пятый постулат. Таковы теоремы о сумме углов треугольника, о вписанных углах и др. таким образом, евклидова геометрия как бы разбивается на две части. Одна часть состоит из совокупности теорем, независимых от пятого постулата, названной       «абсолютной геометрией». Другая часть содержит теоремы, доказательство которых опирается либо непосредственно на пятый постулат, либо на теоремы, доказанные на основании этого постулата.

Возникал вопрос: нельзя ли освободиться от пятого постулата как аксиомы и доказать его, превратить его в одну из теорем. Попытки доказательства этого постулата начались еще в древности и безрезультатно продолжались на протяжении двух с лишним тысячелетий. Многие ученые всех времен и разных народов пытались доказать пятый постулат. Много сил и времени затрачено на эти попытки, но все они окончились неудачей. Иногда кое-кому казалось, что он достиг цели, однако более глубокий анализ всегда обнаруживал какую-то скрытую ошибку.

   О знаменитом французском математике Лагранже рассказывают, что он представил Парижской Академии решение вопроса, но во время устного доклада внезапно прервал изложение и сошел с кафедры, заявив: «Мне надо еще об этом подумать…».

   Несмотря на провал всех попыток доказательства пятого постулата, никто до начала  XIX столетия не сомневался в справедливости евклидовой аксиомы параллельных и всей геометрии, на ней основанной. Огромный авторитет Евклида и старые идеи, основанные на привычных наглядных представлениях об окружающем нас пространстве, на повседневной практике, постоянно направляли умы в одну сторону: снова и снова искать доказательства пятого постулата. Однако эта проблема оставалась нерешенной. Для того чтобы выйти из тупика и найти правильный путь решения вопроса, нужно было не бояться авторитетов, обладать революционным духом, выдающейся научной смелостью; нужен был гений математического мышления, способный порвать с многовековыми предубеждениями и по новому понять и решить проблему.

Таким гением и революционером в науке оказался наш великий соотечественник Николай Иванович Лобачевский.

  Далее рассказать о геометрии Лобачевского и о геометрии Римана.

3. Слово для доклада о биографии Н.И.Лобачевского дается подготовленному ученику (члену математического кружка или ученику, проявляющему интерес к математике).

4. Игра «Золотая лихорадка»

а). Теперь давайте проверим, как глубоко мы знаем геометрию. Знания о треугольниках составляют основу геометрии. Вспомните все математические предложения (теоремы, определения) о треугольниках, видах треугольников, элементах треугольника и их свойствах. Кто назовет последнее предложение, тому дается приз. А за каждый правильный ответ дается жетон.

б) Такая же игра проводится для «четырехугольников».

5. Устная викторина:

- фигура, состоящая из двух лучей, выходящих из одной точки.

- луч, делящий угол пополам.

- отрезок, соединяющий не соседние вершины многоугольника.

-отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

- прямоугольник с равными сторонами.

- прочитайте теорему Пифагора.

- прямая, имеющая одну общую точку с окружностью.

- Отношение противолежащего катета к гипотенузе.

- перпендикулярны ли диагонали прямоугольника.

- отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

-  сумма углов треугольника.

- правильный четырехугольник.

- чему равна площадь параллелограмма?

- чему равна площадь трапеции?

- чему равна площадь ромба?

- чему равна площадь круга?

- сумма острых углов прямоугольного треугольника?

- продолжите:

в равнобедренном треугольнике углы …

катет, лежащий против угла …

медиана, проведенная из вершины равнобедренного треугольника …

около четырехугольника можно описать окружность, если …

За каждый правильный ответ учащимся дается жетон

6. Подведение итогов.

Жюри по количеству набранных жетонов определяет самого сильного математика и первые три призовых места. Результаты учитываются при подведении общего итога полумесячника математики.