Практикум
учебно-методический материал по геометрии (10 класс) на тему

1. Точка Н лежит на стороне АО треугольника АОМ. Известно, что АН=4, ОН=12, ∠А=300, ∠АМН=∠АОМ. Найдите площадь треугольника АНМ.

2. В треугольнике ОВН точка М делит сторону ОВ на отрезки ОМ=4 и МВ=28, ∠ОНМ=∠ОВН. Найдите площадь треугольника ОНМ, если ∠О=450

3. В треугольнике АВС проведена медиана АМ, причем ∠МАС=450. Найдите площадь треугольника АВС, если АС=, ВС=10.

4. Основание равнобедренного треугольника равно 30 м, а высота, проведенная из вершины основания,  - 24 м. Найдите площадь треугольника.

5. В треугольнике АВС проведены биссектриса АД и прямая СF, перпендикулярная биссектрисе АД и пересекающая ее в точке Т, а сторону АВ в точке F. Известно, что ДТ=1, ∠АСF=500, ∠АВС=200. Найдите углы треугольника АВС и длину отрезка СF.

6. Боковая сторона равнобедренного треугольника АВС равна 15, а его площадь равна      67,5. К основанию АС и стороне ВС проведены высоты ВЕ и АН, пересекающиеся в точке О. Найдите площадь треугольника ВОН.

7. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС высоты ВЕ и СН пересекаются в точке К, причем ВН=6, КН=3. Найдите площадь треугольника СВК.

8. Точка М лежит внутри равнобедренного треугольника ЕНР с основанием ЕР на расстоянии 9 от боковых сторон и на расстоянии от основания. Найдите основание треугольника ЕНР, если ∠В=1200.

9. Точка К лежит на стороне АВ треугольника АВС, ВК=7, АК=3, ∠ВСК=∠ВАС, cosB=. Найдите площадь треугольника СВК.

10. Найдите расстояние от точки пересечения медиан прямоугольного треугольника до его гипотенузы, равной 25, если один из катетов равен 20.

11. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, а проекция второго катета на гипотенузу равна 16. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

12. Периметр прямоугольного треугольника равен 24, а радиус описанной около него окружности равен 5. Найдите радиус вписанной окружности.

13. Найдите биссектрису прямого угла треугольника, у которого катеты равны и

14. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус описанной окружности равен 3, а вписанной 1.

15. Найдите диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если один из его катетов равен 20, а проекция другого катета на гипотенузу равна 9.

16. Периметр прямоугольного треугольника равен 72 м, а радиус вписанной в него окружности – 6 м. Найдите диаметр описанной окружности.

17. В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписана окружность с центром О. Луч СО пересекает сторону АВ в точке К, причем АК=6, ВК=12. Найдите периметр треугольника.

18. Окружность с центром О, вписанная в равнобедренный треугольник АВС с основанием АС, касается стороны ВС в точке К, причем СК:ВК=5:8. Найдите площадь треугольника, если его периметр равен 72.

19. Найдите радиус окружности, вписанной в остроугольный треугольник АВС, если высота ВН равна 12 и известно, что

20. Основание равнобедренного треугольника равно 36. Вписанная окружность касается его боковых сторон в точках А и Р, АР=12. Найдите периметр этого треугольника.

21. В равнобедренный треугольник РМК с основанием МК вписана окружность с радиусом 2. Высота РН делится точкой пересечения с окружностью в отношении 1:2, считая от вершины Р. Найдите периметр треугольника РМК.

22. Около равнобедренного треугольника АВС с основанием АС и углом при основании 750, описана окружность с центром О.  Найдите ее радиус, если площадь треугольника ВОС равна 16.

23. В окружность с центром О вписан треугольник МРК, в котором ∠М=650, ∠Р=700. Найдите площадь треугольника РОМ, если сторона РМ равна 2.

24. Около треугольника АВС описана окружность. Медиана треугольника АМ продлена до пересечения с окружностью в точке К. Найдите сторону АС, если АМ=18, МК=8, ВК=10.

1.В окружность радиуса  вписан правильный треугольник АВС. Хорда ВД пересекает сторону АС в точке Е, АЕ:ЕС=3:5. Найдите ВЕ.

2. Из точки А, лежащей на окружности, проведены две хорды, равные 7 и 15. Найдите диаметр окружности, если расстояние между серединами хорд равно 10.

3. Около треугольника АВС описана окружность с центром в точке О, СН – его высота. Найдите градусную меру угла ОСН, если ∠А=600, ∠В=700

4. В окружность радиуса  вписан треугольник АВС, в котором ∠А=600, а сторона АВ в два раза больше стороны АС. В треугольнике проведена биссектриса АМ. Найдите длину отрезка МС.

5. В треугольнике ВСЕ ∠С=600, СЕ:ВС=3:1. Отрезок СК – биссектриса треугольника. Найдите КЕ, если радиус описанной около треугольника окружности равен

6. В параллелограмме АВСД биссектриса угла Д пересекает сторону АД в точке К и прямую ВС в точке Р. Найдите периметр треугольника СДР, если АК=12, ВК=9, РК=15.

7. В параллелограмме АВСД биссектриса угла Д пересекает сторону АВ в точке К и прямую ВС в точке Р. Найдите периметр треугольника СДР, если ДК=18,РК=24, АД=15.

8. В параллелограмме АВСД биссектриса угла В пересекает сторону СД в точке Т и прямую АД в точке М. Найдите периметр треугольника АВМ, если ВС=15, ВТ=18,ТМ=12.

9. Биссектриса угла А параллелограмма АВСД пересекает сторону ВС в точке К. Найдите площадь параллелограмма, если ВК=КС=5 м, АК=8 м.

10. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна , а основания равны 3 и 4. Найдите диагональ трапеции.

11.Большее основание равнобедренной трапеции равно 8, боковая сторона 9, а диагональ 11. Найдите меньшее основание.

12. Основания равнобедренной трапеции равны 3 м и 8 м, а угол при основании 600. Найдите диагональ.

13. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее диагональ, равная 10, образует с основанием угол, косинус которого равен .

14. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее диагональ равна 2, а средняя линия равна 4.

15. Найдите площадь правильного двенадцатиугольника, если его сторона равна

16. Точка О является центром правильного девятиугольника ABCDEFGHK. Площадь треугольника OAD равна . Найдите длину перпендикуляра ОМ, опущенного на диагональ АD.

17. В правильном шестиугольнике А1А2А3А4А5А6 сторона равна . Отрезок ВС соединяет середины сторон А3А4 и А5А6. Найдите длину отрезка, соединяющего середины сторон А1А2 с серединой отрезка ВС

18. В правильном шестиугольнике ABCDEF диагональ АС равна . Найдите площадь шестиугольника.

19. Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равна . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник MPK, если M, P и K – середины сторон АВ, CD,EF соответственно.

20. В трапеции, площадь которой 132, высота равна 6, а разность параллельных сторон равна 12, найдите длину большего основания.