Сечения
презентация к уроку по геометрии (10 класс) на тему

Слайд 1

Плоскость (в том числе и секущую) можно задать следующим образом

Слайд 2

Взаимное расположение плоскости и многогранника А В А А В С Нет точек пересечения Одна точка пересечения Пересечением является отрезок Пересечением является плоскость

Слайд 3

Секущей плоскостью параллелепипеда ( тетраэдра) называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного параллелепипеда (тетраэдра). L

Слайд 4

Построить сечение многогранника плоскостью – это значит указать точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и соединить эти точки отрезками, принадлежащими граням многогранника. Для построения сечения многогранника плоскостью нужно в плоскости каждой грани указать 2 точки, принадлежащие сечению, соединить их прямой и найти точки пересечения этой прямой с ребрами многогранника.

Слайд 5

Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра (параллелепипеда) по отрезкам. Многоугольник , сторонами которого являются данные отрезки, называется сечением тетраэдра ((параллелепипеда). L

Слайд 6

Секущая плоскость сечение Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки – сечение тетраэдра .

Слайд 7

Для решения многих геометрических задач необходимо строить их сечения различными плоскостями.

Слайд 8

АКСИОМЫ планиметрия стереометрия 1. Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки 2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой 3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна. Характеризуют взаимное расположение точек и прямых Основное понятие геометрии «лежать между» 4. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими. А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей .

Слайд 9

При этом необходимо учитывать следующее: 1. Соединять можно только две точки, лежащие в плоскости одной грани. Для построения сечения нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами и соединить их отрезками. 2. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. 3. Если в плоскости грани отмечена только одна точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо построить дополнительную точку. Для этого необходимо найти точки пересечения уже построенных прямых с другими прямыми, лежащими в тех же гранях.

Слайд 10

Какие многоугольники могут получиться в сечении ? Тетраэдр имеет 4 грани В сечениях могут получиться: Четырехугольники Треугольники

Слайд 11

Треугольники Параллелепипед имеет 6 граней Четырехугольники Шестиугольники Пятиугольники В его сечениях могут получиться:

Слайд 12

Блиц - опрос Задача блиц – опроса: ответить на вопросы и обосновать ответ с помощью аксиом, теорем и свойств параллельных плоскостей.

Слайд 13

K А В С D А 1 D 1 С 1 B 1 H Блиц-опрос. Верите ли вы, что прямые НК и ВВ 1 пересекаются?

Слайд 14

А В С D А 1 D 1 С 1 B 1 N К Н Блиц-опрос. Верите ли вы, что прямые НК и ВВ 1 пересекаются?

Слайд 15

А В С D А 1 D 1 С 1 B 1 Верите ли вы, что прямые НК и МР пересекаются? N Р Н К М Блиц-опрос. На чертеже есть ещё ошибка!

Слайд 16

А В С D А 1 D 1 С 1 B 1 Верите ли вы, что прямые Н R и NK пересекаются? N Н К Блиц-опрос. R На чертеже есть ещё ошибка!

Слайд 17

А В С D А 1 D 1 С 1 B 1 Пересекаются ли прямые Н R и А 1 В 1 ? N Н К Блиц-опрос. R Пересекаются ли прямые Н R и С 1 D 1 ? Пересекаются ли прямые NK и DC ? Пересекаются ли прямые NK и А D ?

Слайд 18

О М А В С D Верите ли вы, что прямые МО и АС пересекаются? Блиц-опрос. Верите ли вы, что прямые МО и АВ пересекаются?

Слайд 19

а b Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Свойство параллельных плоскостей. Это свойство нам поможет при построении сечений.

Слайд 20

А В С D А 1 D 1 С 1 B 1 N H K Простейшие задачи. 1 2 D Р О М А В С

Слайд 21

О А В С D Простейшие задачи. 3 4 О А В С D

Слайд 22

А В С D А 1 D 1 С 1 B 1 Диагональные сечения. 5 6 А В С D А 1 D 1 С 1 B 1

Слайд 23

А В С D А 1 D 1 С 1 B 1 N H О 7 K

Слайд 24

Аксиоматический метод Метод следов Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры . Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры .

Слайд 25

A B C D K L M N F G Проводим через точки F и O прямую FO . O Отрезок FO есть разрез грани KLBA секущей плоскостью. Аналогичным образом отрезок FG есть разрез грани LMCB. Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки). Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Почему мы уверены, что сделали разрезы на гранях ? Постройте сечение призмы, проходящее через точки O , F , G Шаг 1: разрезаем грани KLBA и LMCB

Слайд 26

A B C D K L M N F G Шаг 2 : ищем след секущей плоскости на плоскости основания Проводим прямую АВ до пересечения с прямой FO . O Получим точку H , которая принадлежит и секущей плоскости, и плоскости основания. Аналогичным образом получим точку R . Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки). Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. H R Через точки H и R проводим прямую HR – след секущей плоскости Почему мы уверены, прямая HR – след секущей плоскости на плоскости основания ?

Слайд 27

E S A B C D K L M N F G Шаг 3: делаем разрезы на других гранях Так как прямая HR пересекает нижнюю грань многогранника, то получаем точку E на входе и точку S на выходе. O Таким образом отрезок ES есть разрез грани ABCD . Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки). Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. H R Проводим отрезки ОЕ (разрез грани KNDA ) и GS (разрез грани MNDC ) . Почему мы уверены, что все делаем правильно ?

Слайд 28

C B E S A D K L M N F G Шаг 4: выделяем сечение многогранника Все разрезы образовали пятиугольник OFGSE , который и является сечением призмы плоскостью, проходящей через точки O , F , G . O G

Слайд 29

A 1 А В В 1 С С 1 D D 1 M N 1. Построить сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки В 1 , М, N O К Е P Правила 1. MN 2.Продолжим MN ,ВА 4. В 1 О 6. КМ 7. Продолжим MN и BD . 9. В 1 E 5. В 1 О ∩ А 1 А=К 8 . MN ∩ BD=E 10. B 1 Е ∩ D 1 D=P , PN 3. MN ∩ BA=O

Слайд 30

Р О Т А В С S D К N М 2 X Y

Слайд 31

Самостоятельная работа. (с последующей проверкой) M N P M N P M N P M N P M N P M N P

Слайд 32

P N M N P M N P M Решения варианта 1. Решения варианта 2. M N P M N P M N P

Слайд 33

Правила для самоконтроля: Вершины сечения находятся только на ребрах. Стороны сечения находятся только на грани многогранника. Секущая плоскость пересекает грань или плоскость грани, то только один раз.

Слайд 34

Составить две задачи на построение сечений многогранников с использованием полученных знаний. Творческое домашнее задание