Урок математики в 10 классе по теме: «Тетраэдр. Построение сечений тетраэдра»
методическая разработка по геометрии (10 класс) на тему

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

 «Средняя общеобразовательная школа № 14»

г. Череповца

Урок математики в 10 классе

по теме: «Тетраэдр. Построение сечений тетраэдра»

Разработала учитель математики                                                                                           Козлова Наталья Борисовна

2015-2016 уч.г.

г. Череповца

Вологодская область

Пояснительная записка

Фамилия Имя Отчество: Козлова Наталья Борисовна

Название образовательной организации: Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение  «Средняя общеобразовательная школа № 14» г. Череповца Вологодской области.

В работе использован сценарий модели, созданной в среде «1С:Математический конструктор 5.5. № 059». Модель создана автором ее сценария – Ивановой И.И. при участии учащихся школы № 1 города N Сидоровой Галины и Степанова Ильи».

Предмет: геометрия.

Класс: 10

Дидактическая структура урока

Урок относится к теме « Прямые и плоскости в пространстве ». На изучение этой темы отводится 37 часов. Разработанный урок является 17-ым, но первым в своём разделе.  Поэтому большая часть урока отводится изучению нового материала и практической работе.

Урок разработан с использованием частично технологий проблемного и развивающего обучения. Путем последовательного и целенаправленного выдвижение перед обучающимися познавательных задач, разрешая которые обучаемые активно усваивают знания, создания условий для развития личности, ориентирования учебного процесса на потенциальные возможности детей. Методы и приемы, использованные на уроке: фронтальная и групповая работа, поисковый, проблемный и наглядные методы. На уроке используются мультимедийные ресурсы « 1С. Математический конструктор», что позволяет визуализировать изучаемый материал и способствует более прочному его усвоению.

Тема урока: «Тетраэдр. Построение сечений тетраэдра.»

Тип урока: формирование новых знаний.

Цели урока:

Образовательные:

Научиться применять аксиомы стереометрии при решении задач;

Научиться находить положение точек пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра;

Освоить методы построения этих сечений

Развивающие:

Развивать познавательный интерес учащихся.

Формировать и развивать у учащихся пространственное воображение.

Воспитательные:

Воспитывать самостоятельность, аккуратность, трудолюбие.

Воспитывать умения работать индивидуально над задачей.

Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.

Формы работы на уроке: фронтальная, групповая, индивидуальная.

Список используемых источников и программно-педагогических средств:

1.  Л. С. Атанасян. Геометрия. 10-11 классы,- М: Просвещение, 2010г.

2. Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики.

4.  Мультимедийный конструктор: «1 С. Математический конструктор. № 059»

5. http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/parallelnost-pryamyh-i-ploskostej/tetraedr-zadachi-na-postroenie-secheniy-v-tetraedre?seconds=0&chapter_id=210

6. http://refdb.ru/look/2082078.html

Техническое обеспечение:

Компьютер с установленными программами «1С. Математический конструктор», Power Point, мультимедийный проектор.

Раздаточный материал:

Бланки-карточки с заданиями для практической работы, презентация «Построение сечений параллелепипеда».

Структура урока ( 45 мин).

Ход урока:

1)Приветствие. Организационный момент.

Девиз урока: Моделируя, учимся и учим.

2) Домашнее задание.

Учитель раздаёт карточки с домашней работой( приложение 3).

Дополнительная задача: Существует ли тетраэдр, все грани которого — равные прямоугольные треугольники?

3) Актуализация знаний.

Учитель: Составьте из 6 спичек 4 равных треугольника. (Учащиеся пробуют из карандашей). На плоскости решить задачу не получается. А в пространстве это сделать легко.

Ученик:  6 спичек – это его ребра, четыре грани тетраэдра и будут четырьмя равными треугольниками. Задача решена.

Учитель: Найдите понятие тетраэдра в учебнике (п. 12) и объясните основные элементы на спичках и на слайде( МК – плеер, файл № 059, с заранее подготовленным тетраэдром, где подписаны все вершины, можно его покрутить). А сейчас с помощью программы «1C. Математический конструктор» мы «оживим» тетраэдр. Программа позволяет вращать, что позволит вам увидеть тетраэдр со всех сторон.

Примите к сведению, что слово «тетраэдр» образовано из двух греческих слов: от tetra - «четыре» и hedra - «основание», «грань».

Тетраэдр образует жёсткую, статически определимую конструкцию. Тетраэдр,   выполненный из стержней, часто используется в качестве основы для пространственных несущих конструкций пролётов зданий, перекрытий, балок, мостов и т. д. Стержни испытывают только продольные нагрузки.

 Элементы тетраэдра:

А, B, C, D – вершины тетраэдра.
AB, AC, AD, BC, BD, CD - ребра тетраэдра.
ΔABC, ABD, BDC, ADC - грани тетраэдра.

Можно отметить, что плоскость АВС можно принять за основание тетраэдра,  тогда точка D будет является вершиной тетраэдра. Каждое ребро тетраэдра является пересечением двух плоскостей. Например, ребро АВ – это пересечение плоскостей АВD и АВС. Каждая вершина тетраэдра – это пересечение трех плоскостей. Вершина А лежит в плоскостях АВС, АВD, АDС. Точка А – это пересечение трех означенных плоскостей.

Типы тетраэдров:

Равногранный тетраэдр – это тетраэдр, у которого все грани  –  равные между собой треугольники.

Ортоцентрический тетраэдр – это тетраэдр, у которого все высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке.

Прямоугольный тетраэдр – это тетраэдр, у которого все ребра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой. Такой тетраэдр можно получить, разрезав куб.

Правильный тетраэдр – это тетраэдр, у которого все грани — равносторонние треугольники.

Ученики: делают записи в тетради.

4) Постановка цели и задачи урока.

Учитель: Проверим, как вы слушали?

1) Существует ли тетраэдр у которого:

А) одна из граней имеет вид прямоугольника?(нет, так как каждая грань является треугольником)

Б) 3 ребра? (нет)

В) 6 граней?(нет)

Г) 1 вершина?(нет)

Д) все грани прямоугольные треугольники?(да, его можно получить, разрезав прямоугольный параллелепипед).

2) Найдите площадь всех граней тетраэдра, каждое ребро которого 4 см.

Решение:  S=4⋅ SΔ = 4⋅ 0,25 а2√3 = а2√3 = 16 √3(см2).

Учитель: В основе понимания форм различных деталей, способов их образования, а значит и построения чертежа этих деталей лежит пространственное мышление. Развитое пространственное мышление является специфическим видом мыслительной деятельности, направленной на решение задач, требующих ориентации в практическом и теоретическом пространствах, как видимых, так и воображаемых. Все геометрические задачи можно разделить на три типа: на вычисление; на доказательство и  на построение. Задачи на построение сечений многогранников занимают значительное место как в школьном курсе геометрии для старших классов, так и на экзаменах разного уровня. Построение сечений  широко используется  в строительном деле, архитектуре, машиностроении, геодезии, во многих других областях науки и техники. Таким образом, цель нашего урока?

Учащийся: Научиться строить сечения  тетраэдра.

Учитель: Совершенно верно. Какие задачи для этого необходимо будет решить?

Учащиеся:

1) Познакомиться с понятием сечения.

2) Узнать приемы построения сечения в тетраэдре и их виды.

3) Построить сечения тетраэдра.

5) Изучение нового материала (формирование знаний, умений).

Учитель:

На предыдущих уроках мы с вами познакомились с аксиомами стереометрии, следствиями из аксиом и с теоремами о параллельности прямых и плоскостей в пространстве.  Вспомните, как в пространстве можно задать плоскость.

Ученики:

Плоскость можно задать следующими способами:

1) тремя точками, не лежащими на одной прямой;

2) точкой и прямой, не проходящей через эту точку;

3) двумя пересекающимися прямыми;

4) двумя параллельными прямыми.

Учитель: Давайте проговорим некоторые вопросы теории. ( На странице 27  найдите понятие сечения, ответьте на вопросы, записанные на доске,  и  рассмотрите, какие сечения могут получаться в тетраэдре.)

• Что такое секущая плоскость?
• Как можно задать секущую плоскость?
• Что такое сечение тетраэдра?
• Какие многоугольники мы получали при построении сечений тетраэдра?

Учащиеся:

Осуществляют поиск материала, для ответа на поставленные вопросы  в учебнике.  Отвечают.

6) Закрепление знаний.

Учитель: Рассмотрим ключевые задачи на построение сечений тетраэдра. (стр 27-28, задачи 1 и 2, разбор по готовым шаблонам с презентацией). 

Каждое ребро тетраэдра является пересечением двух плоскостей. Например, ребро АВ – это пересечение плоскостей АВD и АВС. Каждая вершина тетраэдра – это пересечение трех плоскостей. Вершина А лежит в плоскостях АВС, АВD, АDС. Точка А – это пересечение трех обозначенных плоскостей.

 Решение: 
Рассмотрим грань тетраэдра DВС. В этой грани точки N и P принадлежат грани DВС, а значит, и тетраэдру. Но по условию точки N, P принадлежат секущей плоскости. Значит, NP – это линия пересечения двух плоскостей: плоскости грани DВС и секущей плоскости. Предположим, что прямые NP и ВС не параллельны. Они лежат в одной плоскости DВС. Найдем точку пересечения прямых NP и ВС. Обозначим ее Е.

Нахождение точки Е:

Точка Е принадлежит плоскости сечения MNP, так как она лежит на прямой NР, а прямая NР целиком лежит в плоскости сечения MNP.

Также точка Е лежит в плоскости АВС, потому что она лежит на прямой ВС из плоскости АВС.

 Получаем, что ЕМ – линия пересечения плоскостей АВС и MNP, так как точки Е и М лежат одновременно в двух плоскостях – (АВС) и (MNP). Соединим точки М и Е, и продолжим прямую ЕМ до пересечения с прямой АС. Точку пересечения прямых ЕМ и АС обозначим Q.

Итак, в этом случае NPQМ - искомое сечение(показываем на отдельном слайде).

Рассмотрим теперь случай, когда NP параллельна BC. Если прямая NP параллельна какой-нибудь прямой, например, прямой ВС из плоскости АВС, то прямая NP параллельна всей плоскости АВС.

Искомая плоскость сечения проходит через прямую NP, параллельную плоскости АВС, и пересекает плоскость по прямой МQ. Значит, линия пересечения МQ параллельна прямой NP. Получаем, NPQМ - искомое сечение.

Задача 2. Точка М лежит на боковой грани (АDВ) тетраэдра АВСD. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, которое проходит через точку М параллельно основанию АВС.

Решение:
Секущая плоскость φ параллельна плоскости АВС по условию, значит, эта плоскость φ параллельна  прямым АВ, АС, ВС.

В плоскости АВD через точку М проведем прямую PQ

параллельно АВ. Прямая PQ лежит в плоскости АВD. Аналогично в плоскости АСD через точку Р проведем прямую РR параллельно АС. Получили точку R. Две пересекающиеся прямые PQ  и РR плоскости РQR соответственно параллельны двум пересекающимся прямым АВ и АС плоскости АВС, значит, плоскости АВС и РQR параллельны. РQR – искомое сечение. Задача решена.

Учитель: Итак, при построении сечений важно знать следующие правила:

1) Если две точки многогранника принадлежат сечению, то прямая, проходящая через них, принадлежит секущей плоскости.

Обоснование: по аксиоме -  если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой, лежат в этой плоскости.

2) Если секущая плоскость проходит через прямую, параллельную грани многогранника и пересекает её, то  линия пересечения плоскости и грани параллельна данной прямой. Обоснование: Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна данной прямой.

3) Общая точка секущей плоскости и плоскостей двух пересекающихся граней лежит на прямой, содержащей общее ребро граней.

Обоснование: Если прямая, лежащая в одной из пересекающихся плоскостей, пересекает другую плоскость, то она пересекает и линию пересечения плоскостей.

А сейчас с помощью программы «1С. Математический конструктор» мы «оживим» пространство на примере сечений тетраэдра. Программа позволяет вращать многогранник, что позволит вам увидеть сечение со всех сторон.

7) Динамическая пауза.

Учитель: Прежде, чем мы перейдём к практической работе, предлагаю желающим составить у доски тетраэдр из собственных тел.

8) Практическая работа на построение сечений.

Учитель: Мы справились с теоретическими вопросами, предлагаю выполнить практическую работу в парах.

Ученики получают бланки-карточки для практической работы с заранее начерченными на них тетраэдрами( приложения 1 и 2). 

Практическая работа состоит из 5 заданий разного уровня сложности. 1-3 правильно выполненных заданий оценивается «3», 4 правильно выполненных заданий оценивается «4», 5 правильно выполненных заданий оценивается «5».

Решение задач с последующей проверкой.

Задача 1.

а) Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки М є АВ, N є АС, К є АД, где М, N и К – середины соответствующих ребер.

б) Найдите периметр данного сечения если все рёбра тетраэдра равны 4см..

Решение: а)

1. КМ = α ∩ АВД,
2. МN = α ∩ АВС,
3. КN = α ∩ АДС
4. KMN – искомое сечение.

б)   КМ = 0,5 ⋅ ВД=2см.( КМ средняя линия треугольника АВД);

      МN = 0,5 ⋅ ВС=2см. (МN средняя линия треугольника АВС);

      KN = 0,5 ⋅ ДС=2см. (KN средняя линия треугольника АДС);

Р= 2+2+2=6см.

Ответ: 6см.

Задача 2. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки М є АВ, К є ДС, N є ДВ.

Решение:

1. MN = α ∩ АВД
2. NK = α ∩ ВДС
3. Х = NК ∩ ВС
4. Р = АС ∩ МХ
5. РК = α ∩ АДС
6. MNKP – искомое сечение.

Задача 3. Определите вид сечения в предыдущей задаче, если точки M, N и К – середины указанных рёбер.

Решение:

 Данное сечение – параллелограмм, так как MN II AD и  МN = 0,5 ⋅ АД и КР II AD и КР = 0,5 ⋅ АД, значит MN = KP и MN II КР ( признак параллелограмма).

Задача 4. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки

М є АВС, К є ВД, N є ДС.

Решение:

1. KN = α ∩ ДВС
2. Х = КN ∩ ВС
3. Т = МХ ∩ АВР = ТХ ∩ АС
4. РТ = α ∩ АВС, М є РТ
5. PN = α ∩ АДС
6. ТРNK – искомое сечение.

Задача 5.  Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки К є ВС , М є АДВ, N є ВДС.

Решение:

1. 1. М → М1 , N → N1
2. Х = NМ ∩ N1М1
3. R = КХ ∩ АВ
4. RL = α ∩ АВД, М є RL
5. КР = α ∩ ВДС, N є КР
6. LP = α ∩ АДС
7. RLPK – искомое сечение.

9) Рефлексия. В завершение урока учащиеся с помощью учителя фиксируют степень соответствия поставленной цели и результатов деятельности. Выставляются оценки.

Приложение 1

Практическая работа «Построение сечений тетраэдра».

Цель: Научиться строить сечения тетраэдра.

Оборудование и материалы: линейка, карандаш, ручка, учебник.

План выполнения работы:

1) Изучить теоретические вопросы построения сечений.

2) Разобрать типовые задачи.

3) Практическая часть.

Ход работы:

1)

Элементы тетраэдра:

Вершины тетраэдра:________________________________

Ребра тетраэдра: ___________________________________
Грани тетраэдра:___________________________________

2) План построения сечения тетраэдра :

а) Если две точки тетраэдра принадлежат сечению, то прямая, проходящая через них, принадлежит секущей плоскости.

Обоснование: по аксиоме -  если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой, лежат в этой плоскости.

б) Если секущая плоскость проходит через прямую, параллельную грани многогранника и пересекает её, то  линия пересечения плоскости и грани параллельна данной прямой. Обоснование: Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна данной прямой.

В) Общая точка секущей плоскости и плоскостей двух пересекающихся граней лежит на прямой, содержащей общее ребро граней.

Обоснование: Если прямая, лежащая в одной из пересекающихся плоскостей, пересекает другую плоскость, то она пересекает и линию пересечения плоскостей.

3) Пример построения:

Задача 1. Точка M принадлежит ребру тетраэдра АВ, точка N принадлежит ребру тетраэдра   ВD и точка Р принадлежит ребру DС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNP.

Решение: 

Случай 1. Предположим, что прямые NP и ВС не параллельны.

1. NP = α ∩ (DBC)
2. MN= α ∩ (ABD)
3. E = NP ∩ ВС
4. Q = EM ∩ AC
5. MQ = α ∩ (АВС)
6. PQ = α ∩ (ADC)
7. MNPQ – искомое сечение.

Случай 2.  Рассмотрим теперь случай, когда NP параллельна BC.  

1.    MQ || BC; MQ ∩ AC = Q

2.  MNPQ – искомое сечение.

4) Решите задачи:

Задача 1.

а) Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки М є АВ, N є АС, К є АД, где М, N и К – середины соответствующих ребер.

б) Найдите периметр данного сечения если все рёбра тетраэдра равны 4см..

Задача 2. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки

М є АВ, К є ДС, N є ДВ.

Задача 3. Определите вид сечения в предыдущей задаче, если точки M, N и К – середины указанных рёбер.

Задача 4. Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки

М є АВС, К є ВД, N є ДС.

Задача 5.  Постройте сечение тетраэдра ДАВС плоскостью, проходящей через точки

К є ВС , М є АДВ, N є ВДС.

4) Заполните таблицу.

5) Вывод:______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

Приложение 2.

1)                                                 Решение:

2)                                                   Решение:

3)                                                    Решение:

4)                                                      Решение:

5)                                                         Решение:

Приложение 3.