Вписанный многоугольник. Фрагмент урока
план-конспект урока по геометрии (8 класс) на тему

Прокофьева Тамара Александровна. МБОУ «Средняя школа №12» г. Дзержинск

Вписанный четырехугольник.

Главные утверждения, касающиеся четырехугольника, вписанного в окружность:

1. Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна 1800.
2. Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей
3. Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная.

4 этап. Применение теоремы, установление связей изученной теоремы с другими теоремами курса. Составление новых задач.

1. Есть ещё один, «секретный» способ, как узнавать вписанный четырехугольник.

Если в четырёхугольнике можно наблюдать такую картинку, как здесь на рисунке (тут углы, «смотрящие» на сторону AD из точек B и C равны), то такой четырехугольник – вписанный.

Это очень важный рисунок – в задачах часто бывает легче найти равные углы, чем сумму углов B и D

2. Рассмотреть формулировку теоремы из Начал Евклида.

Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда смежный угол с углом четырехугольника равен противоположному внутреннему углу.

3. Доказать формулу Брахмагупты.

Площадь четырехугольника,  вписанного в окружность, можно найти по формуле ,

где ,       a, b,c,d -стороны четырехугольника.

4. Доказать теорему Птолемея.

Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, AC ∙ BD = AB ∙ CD + BC ∙ AD.

5. Доказать Японскую теорему.

Во вписанном четырёхугольнике ABCD центры вписанных окружностей треугольников ABC, BCD, CDA и DAB являются вершинами прямоугольника.

6. Во вписанном четырёхугольнике ABCD с центром описанной окружности O пусть P — точка пересечения диагоналей AC и BD. Тогда угол APB является средним арифметическим углов AOB и COD. (Это является прямым следствием теоремы о вписанном угле и теоремы о внешнем угле треугольника)

7. Если противоположные стороны вписанного четырёхугольника продолжить до пересечения в точках E и F, то внутренние биссектрисы углов в E и F перпендикулярны.

8. Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда четыре серединных перпендикуляра, проведённых к каждой из сторон, пересекаются в одной точке.

9. Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда угол между стороной и диагональю был равен углу между противоположной стороной и другой диагональю.

Вывод формулы Герона

      Утверждение 1. Площадь произвольного треугольника можно найти по формуле Герона:

где   a , b , c   – длины сторон треугольника, а   p   – полупериметр треугольника, т.е.

.

      Доказательство.

Рис.1

      Поскольку (рис.1)

то

      Воспользовавшись теоремой косинусов, получаем:

 Следовательно,

      Таким образом, что и требовалось доказать.

Вывод формулы Брахмагупты

      Утверждение 2. Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, можно найти по формуле Брахмагупты:

,

где   a , b , c , d   – длины сторон четырёхугольника, а   p   – полупериметр, т.е.

      Доказательство.

Рис.2

      Если угол   D   четырёхугольника   ABCD   обозначить буквой   φ   (рис.2), то, поскольку сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна   π ,   угол   B   будет равен   π – φ .   По этой причине

      Следовательно,

      Применяя теорему косинусов к треугольнику   ACD ,   получаем:

AC 2 = a2 + b2 – 2bc cos φ .

      Применяя теорему косинусов к треугольнику   ABC ,   получаем:

AC 2 = c2 + d 2 – 2cd cos (π – φ) = c2 + d 2 + 2cd cos φ .

      Следовательно,

      Таким образом,.

Теорема Птолемея

Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон. В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, AC ∙ BD = AB ∙ CD + BC ∙ AD.

Доказательство.  Отметим на AC точку M такую, что ABM = DBC. Т. к. вписанные углы BDC и BAC опираются на одну и ту же хорду BC, они тоже равны друг другу. Таким образом, треугольники BDC и BAM подобны, а значит, CD/BD = MA/BA ,   по свойству пропорции  MA ∙ BD = AB ∙ CD.

В то же время ABD = MBC (т. к. ABM = DBC), а BCA = BDA, как опирающиеся на одну хорду AB. Значит, AD/BD = MC/BC, по свойству пропорции MC ∙ BD = AD ∙ BC.

Складывая почленно равенства MA ∙ BD = AB ∙ CD и MC ∙ BD = AD ∙ BC, получаем (MA + MC) ∙ BD = AB ∙ CD + AD ∙ BC, 

или AC ∙ BD = AB ∙ CD + BC ∙ AD, что и требовалось доказать.