Метод вспомогательной окружности.
проект по геометрии (10 класс) на тему

План-конспект занятия  ««Метод вспомогательной окружности»».

Эта тема не может быть не актуальной, ведь она может облегчить решения множества задач. Метод вспомогательной окружности - тема достаточно доступная для понимания, и когда её осваиваешь, задачи становятся лёгкими и понятными. Окружность - она как вселенная, множество свойств откроется перед тобой, если ты сможешь правильно описать её. Данная тема является дополнением и углублением изученных в курсе геометрии свойств окружности. Применение опыта решения планиметрических задач с использованием метода вспомогательной окружности помогает повысить уровень пространственного воображения и уровень логической культуры. Изучение данной темы поможет более глубоко подготовиться к вступительным экзаменам и успешному участию в математических конкурсах и олимпиадах.. Данная работа может быть использована для проведения практических занятий на элективных курсах с учащимися выпускных классов и при подготовке к Единому Государственному Экзамену и поступлению в ВУЗ.

Цель: изучение метода вспомогательной окружности и его свойств, применение данного метода при решении задач.

Задачи:

1. Изучить теоретический материал по выбранной теме.
2. Прорешать несколько практических заданий.
3. Проанализировать занятие и сделать выводы.

                                          Ход занятия

1. Организационный момент (5 минут). Приветствие, раздаётся вспомогательный материал, обговариваются цель и задачи занятия.

2. Лекционная часть (25 мин).

Определение 1. Вспомогательная окружность - одно из наиболее эстетичных дополнительных построений. Причем в школьных общеобразовательных учебниках о нём практически ничего не говорится. Ниже изложена суть этого метода и признаки, при которых он применяется.

Определение 2. Метод вспомогательной окружности заключается в том, что если геометрическая фигура (многоугольник, треугольник, квадрат и т.п.) имеет ряд конкретных признаков, то вокруг неё можно описать окружность, что значительно облегчит решение ряда задач. Докажем признаки при которых вокруг многоугольников можно описать окружность.

Признак № 1. Если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то вокруг него можно описать окружность.

Дано: АВСD – четырёхугольник; АВС+ АDС=180°; Доказать, что вокруг АВСD можно описать окружность (Рисунок 1).

Рисунок 1

Доказательство:

1. Построим окружность, проходящую через точки А, В, С (вокруг любого треугольника всегда можно описать окружность); 

2. Допустим, что эта окружность не проходит через точку D, а пересекает сторону AD в точке D1;

3. Так как ABCD1 вписан в окружность, то АВС+ АD1C=180°;

4. Тогда АD1С= СDD1, чего быть не может, т. к. AD1C – внешний для ∆ CDD1, а внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним, т. е. получается, что АD1С= СDD1+ D1CD=>пришли к противоречию => построенная окружность проходит через точку D. Что и требовалось доказать.

Признак № 2. Если точки В и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD, причём АВD= ACD, то точки A, B, C, D принадлежат одной окружности (рисунок 2).

Рисунок 2

         Признак № 3. Четырёхугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны (рисунок 3).

Рисунок 3

Дано: АВСD- четырёхугольник;

Доказать, что если АВ+СD=BC+AD, то в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность; Доказательство: 1. a=a; b=b; c=c; d=d.(как отрезки касательных, разделённые точкой касания). 2.=> a+b+d+c=a+d+c+d; =>АВ+CD=BC+AD; 3.

Что и требовалось доказать.

3. Практическая часть: Решение задач с помощью метода вспомогательной окружности (25 минут).

Задача 1. В прямоугольник ABCD вписан равносторонний треугольник АРК так, что вершина К лежит на стороне ВС, а Р- на CD. КН- высота этого треугольника. Докажите, что треугольник ВНС – равносторонний (рисунок 4).

Рисунок 4

Дано: АВСD- прямоугольник; АРК - равносторонний треугольник; точка К стороне ВС ; точка Р стороне CD; КН высота ∆АРК.

Доказать, что ∆ВНС равносторонний.

Доказательство:

1. АВК + АНК = 180°; => вокруг четырёхугольника АВКН можно описать окружность.

2. КАН= НВК=60°(опираются на одну дугу КН, а ∆АКР – равносторонний).

3. КСР+ КНР=180°=> вокруг четырёхугольника КНРС- можно описать окружность.

4. КСН = КРН =60°(опираются на одну дугу КН, а ∆АКР – равносторонний).

5.=> АКР= 60°( сумма углов в треугольнике=180°) => ∆ВНС- равносторонний, т. к. все углы по 60°. Что и требовалось доказать.

Задача 2. Дан угол α с вершиной в точке А и точка М внутри угла. В и С основания перпендикуляров, опущенных из точки М на стороны угла. МВ= a, МС= b. Найдите АМ (рисунок 5).

Рисунок 5

4. Рефлексия и домашнее задание (5 минут). Ребята рассказывают о том, что нового узнали и получают карточки с домашним заданием.

Карточка 1.

Решение:

Карточка 2.

Решение: