Билеты к зачету №1 по теме "Четырехугольники"
методическая разработка по геометрии (8 класс)

Билет №1

1. Приведите примеры фигур, обладающих: а) осевой симметрией
2. Докажите, что диагонали прямоугольника равны.
3. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол параллелограмма.

4. Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной AB углы, равные 30° и 45° соответственно.

5. Сторона ромба равна 34, а острый угол равен 60° . Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

Перечислите эти длины в ответе без пробелов в порядке возрастания.

Билет №2

1. Какой четырехугольник называется прямоугольником? Перечислите его свойства
2. Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны, то параллелограмм является прямоугольником.
3. Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 40°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
4. Найдите угол АDС равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной АВ углы, равные 30° и 50° соответственно.

5. Сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 300°. Найдите четвертый угол. Ответ дайте в градусах.

Билет №3

1. Начертите четырехугольник и покажите его диагонали, противоположные стороны и противоположные вершины.
2. Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
3. Один угол параллелограмма в два раза больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.
4. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 220°. Найдите меньший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.
5. Сторона ромба равна 34, а острый угол равен 60° . Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

Перечислите эти длины в ответе без пробелов в порядке возрастания.

Билет №9

1. Чему равна сумма углов выпуклого четырехугольника?
2. Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны
3. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 35° и 30°. Найдите больший угол параллелограмма

4. Найдите угол АDС равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной АВ углы, равные 30° и 40° соответственно. 
5. На стороне BC прямоугольника ABCD, у которого AB = 12 и AD = 17, отмечена точка E так, что ∠EAB = 45°. Найдите ED.

Билет №5

1. Какой четырехугольник называется квадратом? Сформулируйте основные свойства квадрата.
2. Докажите, что диагонали прямоугольника равны.
3. Диагональ  BD  параллелограмма  ABCD  образует с его сторонами углы, равные 50° и 85°. Найдите меньший угол параллелограмма.

4.  Найдите меньший угол равнобедренной трапеции, если два ее угла относятся как 1:2. Ответ дайте в градусах.
5. В выпуклом четырехугольнике ABCD , , , . Найдите угол A. Ответ дайте в градусах

Билет №6

1. Какая трапеция называется равнобедренной? прямоугольной?
2. Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
3. В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Угол DAC равен 47°, а угол CAB равен 11°. Найдите больший угол параллелограмма ABCD. Ответ дайте в градусах.

4. Основания трапеции равны 4 см и 10 см. Диагональ трапеции делит среднюю линию на два отрезка. Найдите длину большего из них.
5. Сторона ромба равна 34, а острый угол равен 60° . Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

Перечислите эти длины в ответе без пробелов в порядке возрастания.

Билет №7

1. Чему равна сумма углов выпуклого четырехугольника?
2. Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
3. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 25° и 30°. Найдите больший угол параллелограмма.

4. Найдите угол  ABC  равнобедренной трапеции  ABCD, если диагональ  AC  образует с основанием  AD и боковой стороной  CD  углы, равные 30° и 80° соответственно.

5. В выпуклом четырехугольнике ABCD , , , . Найдите угол A. Ответ дайте в градусах

Билет №8

1. Приведите примеры фигур, обладающих:  б) центральной симметрией
2. Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны
3. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 60° и 55°. Найдите меньший угол параллелограмма.

4. Найдите меньший угол равнобедренной трапеции  ABCD, если диагональ  AC  образует с основанием  BC  и боковой стороной  CD  углы, равные 30° и 105° соответственно.

5. Углы выпуклого четырехугольника относятся как 1:2:3:4. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.

Билет №4

6. Какой четырехугольник называется трапецией? Как называются стороны трапеции?
7. Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны, то параллелограмм является прямоугольником.
8. Диагональ  AC  параллелограмма  ABCD  образует с его сторонами углы, равные 30° и 45°. Найдите больший угол параллелограмма.

9. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 140°. Найдите больший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.
10. Сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°. Найдите четвертый угол. Ответ дайте в градусах.

Билет №10

1. Какие две точки называются симметричными относительно данной точки?
2. Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
3. На продолжении стороны AD параллелограмма ABCD за точкой D отмечена точка E так, что DC = DE. Найдите больший угол параллелограмма ABCD, если ∠DEC = 53°. Ответ дайте в градусах.
4. Найдите угол АDС равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной АВ углы, равные 30° и 40° соответственно.

5. Сторона ромба равна 34, а острый угол равен 60° . Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков? Перечислите эти длины в ответе без пробелов в порядке возрастания.

Билет №11

1. Какой четырехугольник называется прямоугольником? Перечислите его свойства
2. Сформулируйте и докажите свойство биссектрисы угла параллелограмма
3. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 17°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
4. Найдите угол АВС равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной CD углы, равные 20° и 100° соответственно.

5. Сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 320°. Найдите четвертый угол. Ответ дайте в градусах.

Билет №12

1. Начертите четырехугольник и покажите его диагонали, противоположные стороны и противоположные вершины.
2. Сформулируйте и докажите свойство биссектрис параллелограмма выходящих из противоположных углов
3. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 104°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

4. Найдите меньший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной CD углы, равные 30° и 105° соответственно.

5. В выпуклом четырехугольнике ABCD , , , . Найдите угол A. Ответ дайте в градусах

Билет №13

1. Приведите примеры фигур, обладающих:   в) и осевой, и центральной симметрией
2. Сформулируйте и докажите свойство биссектрис параллелограмма выходящих из соседних углов параллелограмма
3. Найдите величину острого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 15°. Ответ дайте в градусах.

4. Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной АВ углы, равные 25° и 40° соответственно

5. Углы выпуклого четырехугольника относятся как 1:2:3:4. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.

Билет №14

1. Какой четырехугольник называется трапецией? Как называются стороны трапеции?
2. Сформулируйте и докажите свойство биссектрисы угла параллелограмма
3. Найдите острый угол параллелограмма , если биссектриса угла  образует со стороной  угол, равный 33°. Ответ дайте в градусах.

4. В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании. Найдите большее основание.

5. На стороне BC прямоугольника ABCD, у которого AB = 12 и AD = 17, отмечена точка E так, что ∠EAB = 45°. Найдите ED. 

Билет №15

1. Какие две точки называются симметричными относительно данной прямой?
2. Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. 
3. Найдите величину острого угла параллелограмма , если биссектриса угла  образует со стороной  угол, равный 31°. Ответ дайте в градусах.

4. Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

5. Сторона ромба равна 34, а острый угол равен 60° . Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

Перечислите эти длины в ответе без пробелов в порядке возрастания.

Билет №16

1. Какой четырехугольник называется квадратом? Сформулируйте основные свойства квадрата.
2. Сформулируйте и докажите признаки параллелограмма.
3. В параллелограмме  диагональ  в 2 раза больше стороны  и . Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах. 
4. Найдите меньший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной CD углы, равные 30° и 105° соответственно.

5. ABCDEFGH — правильный восьмиугольник. Найдите угол EFG. Ответ дайте в градусах.

Билет №17

1. Чему равна сумма углов выпуклого четырехугольника?
2. Сформулируйте и докажите свойство биссектрис параллелограмма выходящих из противоположных углов
3. Найдите величину острого угла параллелограмма , если биссектриса угла  образует со стороной  угол, равный 14°. Ответ дайте в градусах.

4. Найдите меньший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной CD углы, равные 30° и 105° соответственно.

5. Сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 290°. Найдите четвертый угол. Ответ дайте в градусах.

Билет №18

1. Какая трапеция называется равнобедренной? прямоугольной?
2. Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны
3. Найдите острый угол параллелограмма , если биссектриса угла  образует со стороной  угол, равный 41°. Ответ дайте в градусах.

4. Найдите меньший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной CD углы, равные 30° и 105° соответственно.

5. В выпуклом четырехугольнике ABCD , , , . Найдите угол A. Ответ дайте в градусах

Билет №19

1. Какой четырехугольник называется ромбом? Перечислите его свойства
2. Сформулируйте и докажите свойство биссектрис параллелограмма выходящих из противоположных углов
3. В параллелограмме  диагональ  в 2 раза больше стороны  и . Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

4. Найдите меньший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной CD углы, равные 30° и 105° соответственно.

5. Сторона ромба равна 34, а острый угол равен 60° . Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

Перечислите эти длины в ответе без пробелов в порядке возрастания.

Билет №20

1. Какой четырехугольник называется ромбом? Перечислите его свойства
2. Выведите формулу для вычисления суммы углов выпуклого n-угольника.
3. В параллелограмме  диагональ  в 2 раза больше стороны  и . Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
4. В трапеции ABCD AB = CD, ∠BDA = 49° и ∠BDC = 13°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

5. Углы выпуклого четырехугольника относятся как 1:2:3:4. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.

Билет №21

1. Какая фигура называется симметричной относительно данной прямой?
2. Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
3. Найдите величину острого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 13°. Ответ дайте в градусах.

4. Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 1 и 5. Найдите длину основания BC.

5. 1 балл в подарок

Билет №22

1. Какая фигура называется симметричной относительно данной точки?
2. Сформулируйте и докажите признаки параллелограмма.
3. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 17°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

4. Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

5. В выпуклом четырехугольнике ABCD AB = BC, AD = CD, ∠B = 77°, ∠D = 141°. Найдите угол A. Ответ дайте в градусах

Билет №23

1. Объясните, какая фигура называется многоугольником. Что такое вершины, стороны, диагонали и периметр многоугольника?
2. Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны, то параллелограмм является прямоугольником.
3. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 63°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

4. В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании. Найдите большее основание.

5. Сторона ромба равна 34, а острый угол равен 60° . Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

Перечислите эти длины в ответе без пробелов в порядке возрастания.

Билет №24

1. Какой многоугольник называется выпуклым? Объясните, какие углы называются углами выпуклого многоугольника.
2. Сформулируйте и докажите признаки параллелограмма.
3. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 6, CK = 10.

4. Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной АВ углы, равные 25° и 40° соответственно

5. В выпуклом четырехугольнике ABCD AB = BC, AD = CD, ∠B = 77°, ∠D = 141°. Найдите угол A. Ответ дайте в градусах

Билет №25

6. Дайте определение параллелограмма. Является ли параллелограмм выпуклым четырехугольником?
7. Докажите, что диагонали прямоугольника равны
8. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 17°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах. 
9. Найдите меньший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной CD углы, равные 30° и 105° соответственно.

5. В выпуклом четырехугольнике ABCD AB = BC, AD = CD, ∠B = 77°, ∠D = 141°. Найдите угол A. Ответ дайте в градусах