Методическое пособие "Устный экзамен по геометрии"
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (7, 8, 9, 10, 11 класс)

,Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

с.Бельск

Методическое пособие для проведения устного экзамена по геометрии 7, 8, 9 и 10-11 классы

Автор: Деревина Ирина Геннадьевна

Учитель математики

                 2024 г.

Предисловие

Данное методическое пособие предназначено для учителей математики как общеобразовательных школ, так и в школах с углубленным изучением математики при работе с любым учебником.

О проведении экзамена по геометрии в 7-11 классах

Цель: проверка уровня предметной компетентности учащихся за курс 7-11 класса по геометрии в рамках проведения переводной аттестации.

Отличие геометрии от всех других общеобразовательных предметов состоит в том, что ее содержание практически не меняется в течение многих веков и основные цели ее изучения остаются неизменными:

1. Развитие пространственных представлении, что в требованиях, предъявляемых к знаниям и умениям учащихся стандартом, формулируется как умение:

• читать и делать чертежи, необходимые для решения;
•  выделять необходимую конфигурацию при чтении чертежа;
• определять необходимость дополнительных построений при решении задач и выполнять их;
•  различать взаимное расположение геометрических фигур.

2. Формирование и развитие логического мышления, что в требованиях, предъявляемых к знаниям и умениям учащихся стандартом, формулируется как владение методами
доказательств, применяемыми при обосновании геометрических утверждений (теорем, лемм, следствий и т. д.), а также при проведении аргументации и доказательных рассуждений в ходе решения задач.

Билеты по геометрии составлены на основе Требований к результатам освоения основной общеобразовательной программы основного общего образования, представленных в Федеральном государственном образовательном стандарте общего образования.

В билетах представлен материал, изучаемый в курсе геометрии 7-11класса. Практические задания составлены аналогично заданиям ГИА по математике. Устная форма проведения экзамена выбрана не случайно, именно она позволяет более правильно и глубоко оценить предметные знания и все виды умений (практические, теоретические, интеллектуальные, организационно – коммуникативные), которыми должен владеть учащийся, охватить все изучаемые темы.

Структура экзаменационного билета 7-8 класса.

Билеты содержат 4 вопроса по различным темам курса геометрии 7-8 класса (два теоретических и два практических).

Теоретическая часть. В первом и во втором вопросе обучающиеся должны, как правило, дать определение фигуры, сформулировать её свойство или признак, указанный в теореме, или доказать  теорему.

При ответе на первый вопрос обучающиеся должны:

• дать определение фигуры, включающее в себя как вербальное определение, так и графическое – чертёж;
• правильно воспроизвести формулировку теоремы, проиллюстрировав её выполнением чертежа по условию теоремы;
• привести доказательство теоремы, при этом доказательство считается выполненным верно, если обучающийся правильно привел схему доказательства, обосновал все логические шаги, выполнил чертежи, которые правильно отражают, кроме условия, ещё и ход доказательства.

Практическая часть. Третий и  вопрос билета – задачи. В практической части  задачи под буквой А) – 1 уровень сложности, задачи под буквой Б) – 2 уровень сложности.  

Цель включения этих заданий – проверка овладения обучающимися основными практическими умениями, полученными в ходе изучения курса.

Целью является проверка уровня сформированности логического мышления или логической интуиции. При выполнении второй части работы обучающиеся должны продемонстрировать умение геометрически грамотно записывать условие (что дано) и заключение (что требуется найти или доказать) задачи, её решение, сопровождая само решение необходимой аргументацией и доказательными рассуждениями. Кроме того, обучающиеся должны показывать умение геометрически грамотно выполнять чертежи.

Ответы на два практических задания билета позволяют судить об уровне сформированности предметной компетентности обучающегося.

Время подготовки учащегося. Система оценивания ответа.

Примерное время, отводимое на подготовку обучающегося к ответу, ‒ 25-30 минут. Оценивание ответа осуществляется по традиционной пятибалльной шкале. В одних случаях устный опрос производится по вопросам теории, а решения задач предъявляются комиссии без комментариев в письменной форме, в других случаях у доски рассматривается подробное решение задач со ссылками на все используемые факты, а теория оценивается по представленным записям. Поэтому и даны общие рекомендации по оцениванию ответов обучающихся.

Отметка «5» ставится, если обучающийся ответил на теоретические вопросы и решил  задачи. А также ставится, если обучающийся ответил на теоретические вопросы не достаточно хорошо, но  решил обе задачи и объяснил их решение.

Отметка «4» ставится, если обучающийся ответил на теоретические вопросы не достаточно хорошо и  решил одну задачу из двух.

Отметка «3» ставится, если обучающийся ответил на один теоретический вопрос и решил одну задачу.

Во всех остальных случаях ставится отметка «2».

Структура экзаменационного билета 10-11 класса.

Билеты содержат 2 вопроса по различным темам курса геометрии 10-11 класса (один теоретический и один практический)

Теоретическая часть. В первом  вопросе обучающиеся должны, как правило, дать определение фигуры, сформулировать её свойство или признак, указанный в теореме, и доказать эту теорему.

При ответе на первый вопрос обучающиеся должны:

• дать определение фигуры, включающее в себя как вербальное определение, так и графическое – чертёж;
• правильно воспроизвести формулировку теоремы, проиллюстрировав её выполнением чертежа по условию теоремы;
• привести доказательство теоремы, при этом доказательство считается выполненным верно, если обучающийся правильно привел схему доказательства, обосновал все логические шаги, выполнил чертежи, которые правильно отражают, кроме условия, ещё и ход доказательства.

Практическая часть. Второй  вопрос билета – задача.  

Цель включения этих заданий – проверка овладения обучающимися основными практическими умениями, полученными в ходе изучения курса.

Целью является проверка уровня сформированности логического мышления или логической интуиции. При выполнении второй части работы обучающиеся должны продемонстрировать умение геометрически грамотно записывать условие (что дано) и заключение (что требуется найти или доказать) задачи, её решение, сопровождая само решение необходимой аргументацией и доказательными рассуждениями. Кроме того, обучающиеся должны показывать умение геометрически грамотно выполнять чертежи.

Ответы на два практических задания билета позволяют судить об уровне сформированности предметной компетентности обучающегося.

Время подготовки учащегося. Система оценивания ответа.

Примерное время, отводимое на подготовку обучающегося к ответу, ‒ 20-25 минут. Оценивание ответа осуществляется по традиционной пятибалльной шкале. В одних случаях устный опрос производится по вопросам теории, а решения задач предъявляются комиссии без комментариев в письменной форме, в других случаях у доски рассматривается подробное решение задач со ссылками на все используемые факты, а теория оценивается по представленным записям. Поэтому и даны общие рекомендации по оцениванию ответов обучающихся.

Отметка «5» ставится, если обучающийся ответил на теоретический вопрос и решил  задачу.

Отметка «4» ставится, если обучающийся ответил на теоретический вопрос не достаточно хорошо и  решил задачу.

Отметка «3» ставится, если обучающийся ответил на теоретический вопрос или решил задачу

Во всех остальных случаях ставится отметка «2».

Билеты устного экзамена по геометрии

7 класс

БИЛЕТ № 1

1.Что изучает геометрия? Из каких разделов она состоит. Неопределяемые понятия в геометрии ( изображение, обозначение).

2.Сформулировать признаки равенства треугольников. Доказать равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

3.Задача на построение:

А) С помощью транспортира построить угол равный 72о. С помощью циркуля и линейки построить угол, равный данному.

Б) С помощью циркуля и линейки постройте , в котором АВ = 4 см, ВС = 5 см, .

БИЛЕТ № 2

1.Отрезок, луч, угол (определение, изображение, обозначение). Виды углов (величина, изображение).

2. Сформулировать признаки равенства треугольников. Доказать равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

3.Задача по теме «Равнобедренный треугольник»:

А) Периметр равнобедренного треугольника равен 36 см, основание – 10 см. Найдите боковую сторону этого треугольника.

Б) Периметр равнобедренного треугольника равен 37 см. Основание меньше боковой стороны на 5 см. Найдите стороны этого треугольника.

БИЛЕТ № 3

1.Измерение отрезков и углов. Единицы измерения и измерительные инструменты.

2. Сформулировать признаки равенства треугольников. Доказать равенство треугольников по трём сторонам.

3.Задача на построение:

А) С помощью циркуля и линейки постройте прямую, перпендикулярную к данной прямой и проходящую через данную точку.

Б) С помощью циркуля и линейки постройте , в котором АВ = 6 см, ,  .

БИЛЕТ № 4

1.Параллельные и перпендикулярные прямые (определение, изображение, обозначение).

2.Определение равнобедренного треугольника. Сформулировать его свойства и доказать одно из них.

3.Задача по теме «Сумма углов в треугольнике»:

А) В треугольнике АВС проведена биссектриса BD. , . Найдите углы треугольника CBD.

Б)  - равнобедренный с основанием АВ. Биссектрисы углов при основании пересекаются в точке D.  . Найдите .

БИЛЕТ №5

1.Треугольник (определение, изображение, элементы треугольника, виды треугольников).

2.Сформулировать признаки параллельности прямых. Доказать параллельность прямых через накрест лежащие углы.

3.Задача по теме «Смежные и вертикальные углы»:

А) Один из смежных углов больше другого на 20о. Найдите эти смежные углы.

Б) Один из смежных углов составляет 0,2 другого. Найдите эти смежные углы.

БИЛЕТ № 6

1.Смежные и вертикальные углы (определение, изображение, свойства).

2.Сформулировать и доказать теорему о сумме углов в треугольнике.

 3.Задача на построение:

А) С помощью циркуля и линейки разделите отрезок пополам.

Б) Начертите произвольный остроугольный треугольник АВС и с помощью циркуля и линейки постройте точку пересечения высоты BD  и биссектрисы AL этого треугольника.

БИЛЕТ № 7

1.Медиана, биссектриса, высота треугольника (определение, изображение).

2. Сформулировать признаки параллельности прямых. Доказать параллельность прямых через сумму односторонних углов.

3.Задача по теме «Свойства прямоугольных треугольников»:

А) Высота остроугольного треугольника АВС образует со сторонами, выходящими из той же вершины, углы 24о и 38о. Найдите углы треугольника АВС.

Б) Один из углов прямоугольного треугольника равен 60о, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найдите гипотенузу этого треугольника.

БИЛЕТ № 8

1.Окружность (определение, обозначение, изображение).Провести и дать определение радиуса, диаметра, хорды в окружности.

2.Сформулировать свойства прямоугольного треугольника. Доказать свойство о сумме острых углов в прямоугольном треугольнике.

3.Задача по теме «Параллельные прямые»:

А)                     k                             Докажите, что прямые d и e параллельны.

                  39o                    d

                                       e

                    141o

Б) Отрезок ВК – биссектриса треугольника АВС. Через точку К проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке М так, что ВМ = МК. Докажите, что КМ || АВ.

БИЛЕТ № 9

1. Внешний угол треугольника (определение, изображение, обозначение).

2. Сформулировать признаки параллельности прямых. Доказать параллельность прямых через соответственные углы.

3.Задача на построение:

А) С помощью транспортира постройте угол равный 120о. С помощью циркуля и линейки постройте биссектрису данного угла.

Б) С помощью циркуля и линейки постройте , в котором АВ = 5 см, ВС = 6 см, АС = 7 см.

БИЛЕТ № 10

1.Равнобедренный треугольник (определение, изображение, свойства).

2. Дать определение перпендикулярных прямых. Доказать теорему о двух прямых, перпендикулярных к третьей.

3. Задача по теме «Признаки равенства треугольников»:

А) Равные отрезки AB и CD точкой пересечения O делятся пополам. Докажите, что .

Б) На отрезке АС как на основании построены по разные стороны от него два равнобедренных треугольника ABC и ADC. Докажите, что .

БИЛЕТ № 11

1.Дать определение параллельных прямых. Перечислить углы, образованные при пересечении двух прямых третьей.

2.Сформулировать и доказать теорему «Неравенство треугольника».

3.Задача на построение:

А) С помощью циркуля и линейки постройте серединный перпендикуляр к данному отрезку.

Б) С помощью транспортира постройте угол равный 70о. С помощью циркуля и линейки постройте угол, который в полтора раза больше данного угла.

БИЛЕТ № 12

1.Прямоугольный треугольник (определение, его элементы, свойства).

2.Дать определение смежных углов. Сформулировать и доказать их свойство.

3.Задача по теме «Признаки равенства треугольников»:

А) На боковых сторонах равнобедренного треугольника АВС отложены равные отрезки BM и BN. BD – медиана треугольника. Докажите, что MD = ND.

Б) На высоте равнобедренного , проведённой к основанию АС, взята точка Р, а на сторонах АВ и ВС – точки М и К соответственно (точки М,Р и К не лежат на одной прямой). Известно, что ВМ = ВК. Докажите, что углы ВМР и ВКР равны.

БИЛЕТ № 13

1.Аксиома параллельных и её следствия.

2.Сформулировать и доказать свойство внешнего угла треугольника.

3. Задача по теме «Признаки равенства прямоугольных треугольников»:

А) Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу.

Б) Докажите равенство прямоугольных треугольников по острому углу и высоте, опущенной на гипотенузу.

БИЛЕТ № 14

1.Перпендикуляр и наклонная. Расстояние от точки до прямой и между параллельными прямыми.

2. Сформулировать свойства прямоугольного треугольника. Доказать свойство катета, лежащего против угла в 30о.

3. Задача по теме «Измерение углов»:

А) Луч ОС проходит между сторонами угла АОВ, равного 120о. Найдите угол АОС, если угол АОС меньше угла СОВ в 2 раза.

Б) Между сторонами угла ВОС, равного 160о, проходит луч ОК. Найдите угол КОС, если разность углов ВОК и КОС равна 48о.

БИЛЕТ № 15

1.Медиана в треугольнике. Сформулировать свойство медианы в равнобедренном и прямоугольном треугольниках.

2.Сформулировать признаки равенства прямоугольных треугольников. Доказать один их них.

3. Задача по теме «Параллельные прямые»:

А) Отрезки CD и AB пересекаются в точке О так, что АО = ОВ, CO=OD. Докажите, что AC || DB.

Б) В четырёхугольнике ABCD BC = AD и BC || AD. Докажите, что .

Билеты устного экзамена по геометрии

 8 класс

Билет №1

1. Параллелограмм. Определение, свойства, признаки.

2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 24 см, угол А равен 35о. Найдите второй острый угол. Выразите катеты через гипотенузу и угол А.

Билет№2

1. Трапеция. Определение, виды, средняя линия.

2. Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найдите ВС, если угол ОАВ равен 30о, АВ=5см.

Билет №3

1. Прямоугольник. Определение, свойства, признак.

2. Прямые МА и МВ касаются окружности с центром О в точках А и В. Точка С симметрична точке О относительно точки В. Докажите, что угол АМС равен трем углам ВМС.

Билет№4

1. Ромб. Определение, свойства, признак.

2. Длина тени дерева равна 10,2 м, а длина тени человека, рост которого 1,7 м, равна 2,5 м. Найдите высоту дерева.

Билет№5

1. Квадрат. Определение, свойства, признак.

2. Зная , что , найдите косинус и тангенс данного угла.

Билет№6

1. Теорема Пифагора.

2. Через точку А проведены касательные АВ (В - точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках С и Д. Найдите СД, если АВ = 4см и  АС = 2см.

Билет№7

1. Средняя линия треугольника.

2. Стороны параллелограмма равны 10 см и 3 см. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.

Билет№8

1. Свойство медиан треугольника.

2. Меньшая сторона параллелограмма равна 29 см. Перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей к большой стороне, делит ее на отрезки, равные 33 см и 12 см. Найдите площадь параллелограмма.

Билет№9

1. Синус, косинус, тангенс в прямоугольном треугольнике.

2. В трапеции АВСД с большим основанием АД диагональ АС перпендикулярна к боковой стороне СД, угол ВАС равен углу САД. Найдите АД, если периметр трапеции равен 20 см, а угол Д равен 60о.

Билет№10

1. Касательная к окружности.

2. Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведенными из точки, лежащей вне окружности, если дуги, заключенные между секущими, равны 140о и 52о.

Билет№11

1. Центральные и вписанные углы.

2. Основание равнобедренного треугольника относится к боковой стороне как 4:3, а высота, проведенная к основанию, равна 30 см. Найдите отрезки, на которые эту высоту делит биссектриса угла при основании.

Билет№12

1. Вписанная окружность.

2. Диагонали прямоугольной трапеции АВСД с прямым углом А взаимно перпендикулярны. Основание АВ равно 6 см, а боковая сторона АД равна 4см. Найдите ДС, ДВ и СВ.

Билет№13

1. Описанная окружность.

2. Диагональ АС квадрата АВСД равна 18,4 см. Прямая, проходящая через точку А и перпендикулярная к прямой АС, пересекает прямые ВС и СД соответственно в точках М и N. Найдите MN.

Билеты устного экзамена по геометрии

9 класс

Билет № 1

1. Первый признак равенства треугольников.

2. Найдите координаты точки  А(х; у), если она симметрична точке В(–20; 11) относительно точки М (0; –5).

Билет № 2

1. Второй признак равенства треугольников.

2. В прямоугольном треугольнике АВС угол  В равен 30°. Вершина прямого угла С соединена отрезком с точкой М, принадлежащей гипотенузе. Угол АМС равен 60°. Докажите, что СМ является медианой треугольника.

Билет № 3

1. Третий признак равенства треугольников.

2. Постройте фигуру, в которую перейдет квадрат АВСD при повороте вокруг точки D по часовой стрелке на угол 45°.

Билет № 4

1. Теорема о сумме внутренних углов треугольника.

2. В треугольнике АВС углы А и С равны. На стороне АС взяты точки D и Е такие, что АD = СЕ. Докажите, что треугольник DВЕ - равнобедренный.

Билет № 5

1. Теорема о сумме углов выпуклого n-угольника.  

2.  В прямоугольных треугольниках АВС и А1В1С1 из вершин прямых углов С и С1 проведены высоты СН и С1Н1; СН = С1Н1, АН = А1Н1. Докажите, что треугольники АВС и А1В1С1 равны.

Билет № 6

1. Теорема о средней линии треугольника.

2. Точки М и М1 симметричны относительно точки А. Точки М1 и М2 симметричны относительно точки В. Докажите, что отрезок ММ2 = 2АВ.

Билет № 7

1. Теорема о средней линии трапеции.

2. Окружность разделена тремя точками на части, которые относятся между собой как 2:3:5. Через точки деления проведены хорды. Определите вид получившегося треугольника.

Билет № 8

1. Теорема Фалеса.

2. В параллелограмме АВСD биссектриса угла А пересекает продолжение ВС в точке Е. Найдите периметр параллелограмма, если ВЕ = 16 см, СЕ = 5 см.

Билет № 9

1. Теорема Пифагора.

2. На отрезке АВ взята произвольная точка С. Через точки А и В проведены по одну сторону от данного отрезка параллельные лучи. На них соответственно взяты точки D и Е таким образом, что АD = АС и ВЕ = ВС. Найдите угол DСЕ.

Билет № 10

1. Теорема синусов.

2. Хорда окружности пересекает ее диаметр под углом 30° и делится им на части, равные 12 см и 6 см. Найдите расстояние от середины хорды до диаметра.

Билет № 11

1. Теорема косинусов.

2.  Даны точки М(–2; 6), К(1; 2) и L(4; –2). Определите, принадлежат ли данные точки одной прямой.

Билеты устного экзамена по геометрии

10 класс

Билет №1.

1. Сформулируйте аксиомы стереометрии и их следствия. Сделайте чертежи и пояснения.
2. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6 см, а диагональ боковой грани 
   10 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

Билет №2.

1. Сформулируйте определение параллельности прямой и плоскости. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости. Сделайте чертежи и пояснения.
2. В правильной треугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 30º. Сторона основания равна 12 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Билет №3.

1. Сформулируйте определение скрещивающихся прямых. Сформулируйте признак скрещивающихся прямых. Сделайте чертежи и пояснения.
2. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 9 см, а диагональ боковой грани равна 15 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы

Билет №4.

1. Опишите взаимное расположение прямых в пространстве. Как определяется угол между двумя прямыми в пространстве? Сделайте пояснения и чертежи.
2. В правильной четырехугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 60º. Высота пирамиды равна 6 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Билет №5.

1. Перпендикулярность прямой и плоскости. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости. Сделайте чертежи и пояснения.
2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см и образует с боковой гранью угол 30º. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Билет №6.

1. Сформулируйте лемму о параллельных прямых, перпендикулярных третьей. Сделайте чертежи и пояснения.
2. Через вершину прямого угла К треугольника DKF проведена прямая КМ, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Известно, что КМ = 15 см, 
   FK = DK = 10 см. Найдите расстояние от точки М до прямой DF.

Билет №7.

1. Сформулируйте лемму о параллельных прямых, пересекающих плоскость. Сделайте пояснения и чертежи.
2. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60º. Сторона основания пирамиды равна 8 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Билет №8.

1. Сформулируйте определение параллельных плоскостей. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей.
2. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Точки К, М и Т – середины ребер СС1, В1С1 и С1D1соответственно. Найдите АС1, если периметр сечения куба плоскостью КМТ равенсм.

Билет №9.

1. Тетраэдр и его элементы. Сделайте чертеж и пояснения..
2. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна высоте и равна 12 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Билет №10.

1. Параллелепипед и его элементы. Сделайте чертеж и пояснения.
2. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Диагональ АС1 равна .Найдите периметр сечения куба плоскостью РТН, где точки Р, Т и Н – середины ребер ВС, ВВ1 и АВ соответственно.

Билет №11.

1. Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости.
2. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с катетами 15 см и 20 см. Большая боковая грань и основание призмы равновелики. Найдите площадь полной и боковой поверхности призмы.
   

Билет №12.

1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
2. Через вершину угла Е прямоугольного треугольника НРЕ с гипотенузой НЕ проведена прямая МЕ, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Найдите расстояние от точки М до плоскости ЕРН, если ЕР = 5 см, а расстояние от точки М до прямой РН равно 10.

Билет №13.

1. Угол между прямой и плоскостью. Приведите примеры величины угла между прямой и плоскостью. Сделайте чертежи и пояснения.
2. Через вершину прямого угла С равнобедренного треугольника DСЕ проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Найдите расстояние от точки К до прямой DЕ, если СК = 35 см, CD =  см.

Билет №14.

1. Признак перпендикулярности двух плоскостей.
2. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с гипотенузой 25 см и катетом 20 см. Меньшая боковая грань и основание призмы равновелики. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

Билет №15.

1. Призма и его элементы. Сделайте чертеж и пояснения..
2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 16 см, а боковое ребро пирамиды равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Билеты устного экзамена по геометрии

11 класс

Билет № 1

1. Перпендикуляр и наклонная. Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах.

2. Каждый из четырех равных шаров радиуса 6 касается двух других шаров и касается некоторой плоскости. Найдите радиус пятого шара, который касается той же плоскости и каждого из данных четырех шаров.

Билет № 2

1. Цилиндр. Боковая и полная поверхности цилиндра. Объем цилиндра.

2. В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 сечение BDD1B1 – квадрат и образует с сечением ACC1A1 угол 60°. Диагональ параллелепипеда равна  . Найдите объем параллелепипеда.

Билет № 3

1. Параллелепипед. Виды параллелепипеда. Формулы для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда и объема наклонного параллелепипеда. Площадь полной поверхности.

2. Ребро правильного тетраэдра равно 1. Первый шар вписан в этот тетраэдр. Второй шар касается вписанного шара и трех граней тетраэдра. Найдите объем второго шара.

Билет № 4

1. Призма. Виды призм. Формулы для вычисления объема прямой призмы и объема наклонной призмы.

2. Высота правильной треугольной пирамиды равна  см, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Билет № 5

1. Пирамида. Виды пирамид. Формула для вычисления объема пирамиды.

2. Найдите угол развертки конуса, осевое сечение которого правильный треугольник.

Билет № 6

1. Цилиндр и его элементы. Объем цилиндра. Формула для вычисления объема цилиндра.

2. Основания наклонной призмы АВСА1В1С1 – правильные треугольники ABC и A1B1C1. Боковое ребро призмы вдвое больше ребра ее основания, а основанием высоты призмы, опущенной из вершины А1 на плоскость АВС, является точка В. Найдите косинус угла между скрещивающимися прямыми АВ и СС1.

Билет № 7

1. Конус и его элементы. Объем конуса. Формула для вычисления объема конуса.

2. Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1. Вершина А1 удалена от прямой ВС на расстояние 5 и от плоскости ВСС1 на расстояние 3. Найдите площадь полной поверхности призмы.

2. Найдите отношение ребра правильного тетраэдра к радиусу шара, описанного около этого тетраэдра.

Билет № 8

1. Векторы в пространстве. Задание вектора. Модуль вектора. Равенство векторов. Определение суммы двух векторов в пространстве.

2. Найдите отношение ребра правильного тетраэдра к радиусу шара, вписанного в этот тетраэдр.

Билет № 9

1. Усеченный конус и его элементы. Площадь боковой поверхности усеченного конуса.

2. Через образующую АВ цилиндра проведены осевое сечение ABCD и сечение ABFH, образующее с плоскостью АВС угол в 30°. Радиус цилиндра равен 5. Найдите расстояние между прямыми AF и CD.

Билет № 10

1. Правильный тетраэдр. Объем правильного тетраэдра.

2. Точка М, равноудаленная от вершин А1, В1, С правильной треугольной призмы АВСА1В1С1, лежит в плоскости АВС. Высота призмы равна ребру ее основания и равна . Найдите объем пирамиды МА1В1С.

Билет № 11

1 . Усеченный конус и его элементы. Объем усеченного конуса.

2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА1В1С1D1, АВ = 1, AD = 2, AA1 = 3. Точка М лежит на диагонали параллелепипеда и не совпадает ни с одной вершиной параллелепипеда. Докажите, что сумма расстояний от точки М до всех граней параллелепипеда не зависит от ее расположения на диагонали. Найдите эту сумму.

Билет № 12

1. Усеченная пирамида. Виды усеченных пирамид. Формула для вычисления объема усеченной пирамиды.

2. Точки А и В лежат в различных гранях двугранного угла, равного 60°, на расстояниях а и b от ребра t двугранного угла соответственно (а < b). Расстояние между ортогональными проекциями этих точек на ребро t равно d. Найдите АВ.