Практическая работа по теме: «Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве».

Теоретический материал.

Основные фигуры в пространстве: точки, прямые и плоскости.

Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах.

А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости

Замечание. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Следствие 3. Через две параллельные прямые проходит плоскость и притом только одна.

Возможны три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве:

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема о параллельных прямых. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Свойства параллельных прямых

Свойство 1. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Свойство 2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Признак скрещивающихся прямых.

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Задание № 1.

Определите: верно, ли суждение?

Ответьте «да» или «нет».

1. Любые три точки лежат в одной плоскости.   ______
2. Любые четыре точки лежат в одной плоскости. ______
3. Любые четыре точки не лежат в одной плоскости. __________
4. Через любые три точки проходит плоскость и при том только одна. __________
5. Если прямая пересекает 2 стороны треугольника, то она лежит в плоскости треугольника. ________
6. Если прямая проходит через вершину треугольника, то она лежит в плоскости треугольника. ________
7. Если прямые не пересекаются, то они параллельны. _______
8. Если плоскости не пересекаются, то они параллельны. _______

Параллельность прямой и плоскости

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Если прямая a параллельна плоскости α, то пишут a || α.

Задание № 2.

Ответьте на вопросы:

1.Как могут располагаться две прямые в пространстве?

____________________________________________________________________________

2.Как могут располагаться прямая и плоскость в пространстве?

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.Приведите примеры параллельности прямой и плоскости из обычной жизни.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4.Сделайте краткую запись следующего предложения: Прямые f, h параллельны плоскости β.

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

5.Сделайте краткую запись всего, что изображено на рисунке.

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

                                                    Параллельность плоскостей

Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. (Аксиома).

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Признак параллельности плоскостей.

Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны соответственно двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

Свойства параллельных плоскостей.

1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

a || b

2. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Задание № 3.

Ответьте на вопросы:

1.Как могут располагаться плоскости в пространстве?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

2.Приведите примеры параллельности плоскостей из обычной жизни.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.Приведите бытовые примеры на свойства параллельности плоскостей.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Решите задачи:

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Дано: плоскости α и β параллельны, прямые a и b пересекаются в точке М. АМ = 6, АВ =4, АА1 = 12, МВ1 = 24. Найти:  А1 В1, МВ.

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Решите задачи.

1. На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед.

Запишите:

1. Ребра, лежащие на параллельных гранях.
2. Ребра, лежащие на скрещивающихся гранях.
3. Плоскости, в которых лежат прямые АС, Д1С1, ВВ1.
4. Прямые, по которым пересекаются плоскости АВС и В1ВС, С1Д1А1 и В1ВА.
5. Точки пересечения прямой ВД1 с плоскостью А1В1С1, прямой АД с плоскостью СС1Д1.

2.Точка D не лежит в плоскости АВС, точки E, F, G и K – середины отрезков AD, DC, BC и AB. Найдите периметр четырехугольника EFGK, если AC=18см, BD=24см.