1. 1. Системы счисления

Информация в ЭВМ хранится и отрабатывается в определенном, закодированном виде. ЭВМ оперируется числами, представленными в некоторой системе счисления.

Системой счисления называется способ представления чисел посредством цифровых знаков.

Системы счисления принято делить на:

1. Позиционные.
2. Непозиционные.
3. Символические.

В символических системах каждому числу ставится в соответствие свой символ. Эти системы не находят широкого применения в силу естественной их ограниченности (алхимия, кодированные сообщения) – бесчисленного множества символов, которое требуется для изображения всех возможных чисел.

В позиционных системах счисления значимости числа зависит от позиции. Позиция – некоторое место, в котором может быть представлен лишь один символ. Примером позиционной системы счисления является десятичная система.

В таблице 1 показана система представления чисел в десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

Всякая система счисления характеризуется основанием – количеством цифр, используемых для изображения чисел.

Система представления чисел в различных системах счисления

Таблица 1

Наибольшее распространение для представления чисел в ЭВМ, получили двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

1. Десятичная система счисления

В этой системе число представляется в виде полинома n степени, а изображается совокупностью некоторых символов, каждый из которых имеет различный вес в зависимости от позиции, которую он занимает.

Всем позициям приписывается различный вес, который чаще всего выбирается как целая степень основания системы.

Основание системы счисления - число, которое является мощностью множества различных символов, допустимых в каждой позиции числа. Привычная для нас 10-я система счисления использует для записи чисел 10 цифр: 0-9. Это позиционная система счисления, т.е. значение цифры в числе зависит от положения (позиции) (в отличие от римской).

Пример 1. Число 55,5 можно представить:

55,5=5*101+5*100+5*10-1

десятки        единицы        десятые доли единицы

Если g принять за основание системы, то любое число можно представить как

В отличие от системы счета времени, десятичная система является однородной, т.е. одних и тех же десятичных символов достаточно, чтобы изобразить любое число. В то время как в смешанных системах нужно придумывать все новые и новые символы для того, чтобы изобразить следующее по величине число.

Таким образом, однородность – одно из важных свойств позиционных систем.

2. Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления для изображения чисел используют только две цифры 0 и 1.

С помощью двоичных кодов можно кодировать и хранить в памяти ЭВМ любую алфавитно-цифровую информацию. Каждому символу присваивается свой код. С помощью кода, состоящего из n- разрядов, можно закодировать (представить) 2n различных символов.

Информация хранится в байтах. 1 байт = 8 бит – т.е. для кодирования используется восьмиразрядный двоичный код.

Основанием двоичной системы является число 2.

Пример 2.

101(2)=1*22+0*21+1*20=4+0+1=5(10).

101(2)=>5(10).

(Любое число в 0-ой степени равно 1)

Арифметические операции в двоичной системе счисления

Таблица 2

При сложении двух чисел, равных 1, в данном разряде получается 0, а 1-ца переносится в старший разряд.

Пример 3.

,

где 101(2)=> 5(10), 11(2)=> 3(10), 1000(2) => 8(10).

Действительно: 5+3=8.

При вычитании из 0 единицы, занимается единица из старшего ближайшего разряда, отличного от 0. При этом, единица занятая в старшем разряде, даёт 2 единицы в младшем разряде и по единице во всех разрядах между старшим и младшим.

Пример 4.

,

где 101(2)=>5(10), 11(2)=>3(10), 10(2)=>2(10).

Действительно: 5-3=2.

Операция умножения сводится к многократному сдвигу и сложению.

Пример 5.

,

где 11(2)=>3(10), 10(2)=>2(10), 110(2)=>6(10).

Действительно: 3*2=6.

3. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Запись двоичных чисел достаточно длинна, операции над ними – утомительны. Для краткости записи двоичной информации используются системы с большим основанием. Главным требованием, предъявляемым к этим системам, является то, что перевод из этих систем в двоичную и обратно, должен быть достаточно кратким, т.е. эти системы и двоичная должны быть в некотором смысле эквивалентны. Таковыми являются восьмеричная и шестнадцатеричная системы (см. таблицу 1).

В 8-ой системе для изображения чисел используют 8 цифр: 0-7. Основанием системы являются число 8. Для перевода чисел из 2-ой системы счисления в восьмеричную, достаточно разбить двоичное число на триады (по три) двигаясь влево и вправо от десятичной точки.

Пример 6: 11 110.001 01(2)=36.12(8).

К крайним группам добавляются нули для дополнения их до трех разрядов.

8=23 – отсюда триады.

В 16-й с/с для изображения чисел используется 16 символов: 10 цифр и 6 букв латинского алфавита: А, B, C, D, E, F. Основание системы – число 16.

16=24 – для преобразования двоичного числа в 16-ричное, нужно разбить его на тетрады (по четыре), двигаясь влево и вправо от десятичной точки. К крайним группам нули добавляются до 4 разрядов.

Пример 7: 1111 0101.1000 111(2)=F5.8E(16).

и обратно:

6ЕА.4(16)=110 1110 1010.0100(2).

Использование 8-ой или 16-ой систем счисления позволяет уменьшить в 3 или 4 раза количество разрядов для записи чисел.

4. Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную

Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную, необходимо разложить это число по степеням основания этой системы.

Пример 8:

5. Перевод чисел из десятичной системы счисления в любую другую

Для перевода чисел из десятичной с/с в любую другую, необходимо делить десятичное число на основание системы, в которую переводят, сохраняя при этом остатки от каждого деления.

Результат формируется справа налево. Деление продолжается до тех пор, пока результат деления не станет меньше делителя.

Пример 9. Перевести число 13 из десятичной системы счисления в двоичную систему:

13(10) => 1101(2).

Пример 10. Перевести число 13 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему:

13(10) => 15(8).

Пример 11. Перевести число 638 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему:

638(10) => 27E(16).

Остатки записываются в шестнадцатеричном виде (14 => Е).

Пример 12. Сложение двоичных чисел:

11011001(2)

+ 1011101(2)

100110110(2).

Для проверки результата сложения двоичное число нужно разбить на триады, перевести в восьмеричную систему счисления согласно таблице 1, а затем перейти в десятичную систему и осуществить сложение.

11 011 001(2)=331(8)=3*82+3*81+1*80=192+24+1=217(10).

1 011 101(2)=135(8)=1*82+3*81+5*80=64+24+5=93(10).

100 110 110(2)=466(8)=4*82+6*81+6*80=256+48+6=310(10).

Проверка:

217(10)+93(10)=310(10).

Пример 13. Сложение шестнадцатеричных чисел:

8E38C(16)

+ 5D35(16)

940C1(16).

Перед сложением необходимо перейти согласно таблице 1 в 10-ю систему счисления, произвести сложение, затем опять вернуться к 16-ой системе счисления.

C(16)+5(16) => 12(10)+5(10)=17(10) => 11(16).

8(16)+3(16)+1(16)=12(10) => С(16).

3(16)+D(16)=3(10)+13(10)=16(10) => 10(16).

E(16)+5(16)+1(16)=14(10)+5(10)+1(10)=20(10) =>14(16).

8(16)+1=9(10) => 9(16).