Системы счисления
материал для подготовки к егэ (гиа) по информатике и икт (11 класс) по теме

B7 (повышенный уровень, время – 2 мин)

Тема:  Кодирование чисел. Системы счисления.

Что нужно знать:

• принципы кодирования чисел в позиционных системах счисления
• чтобы перевести число, скажем, 12345N, из системы счисления с основанием  в десятичную систему, нужно умножить значение каждой цифры на  в степени, равной ее разряду:

4    3    2   1   0   ← разряды

1 2 3 4 5N = 1·N4 + 2·N3 + 3·N2 + 4·N1 + 5·N0   

• последняя цифра записи числа в системе счисления с основанием  – это остаток от деления этого числа на
• две последние цифры – это остаток от деления на , и т.д.

Пример задания:

Решите уравнение .
Ответ запишите в шестеричной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Решение:

1. удобнее всего перевести все числа в десятичную систему, решить уравнение и результат перевести в шестеричную систему
2. получаем
3. уравнение приобретает вид , откуда получаем
4. переводим 15 в шестеричную систему счисления: 
5. ответ: 23.

Ещё пример задания:

Запись десятичного числа в системах счисления с основаниями 3 и 5 в обоих случаях имеет последней цифрой 0. Какое минимальное натуральное десятичное число удовлетворяет этому требованию?

Решение:

6. если запись числа в системе счисления с основанием N заканчивается на 0, то это число делится на N нацело
7. поэтому в данной задаче требуется найти наименьшее натуральное число, которое делится одновременно на 3 и на 5, то есть, делится на 15
8. очевидно, что это число 15.

Ещё пример задания:

Запись числа 6710 в системе счисления с основанием N оканчивается на 1 и содержит 4 цифры. Укажите основание этой системы счисления N.

Решение:

9. поскольку запись в системе счисления с основанием N заканчивается на 1, то остаток от деления числа 67 на N равен 1, то есть при некотором целом   имеем

10. следовательно, основание N – это делитель числа 66
11. с другой стороны, запись числа содержит 4 цифры, то есть
12. выпишем кубы и четвертые степени первых натуральных чисел, которые являются делителями числа 66:

13. видим, что из этого списка только для числа N = 3 выполняется условие
14. таким образом, верный ответ – 3.
15. можно сделать проверку, переведя число 67 в троичную систему 6710 = 21113

Еще пример задания:

Запись числа 38110 в системе счисления с основанием N оканчивается на 3 и содержит 3 цифры. Укажите наибольшее возможное основание этой системы счисления N.

Решение:

1. поскольку запись в системе счисления с основанием N заканчивается на 3, то остаток от деления числа 381 на N равен 3, то есть при некотором целом   имеем

2. следовательно, основание N – это делитель числа
3. с другой стороны, запись числа содержит 3 цифры, то есть
4. неравенство  дает (так как )
5. неравенство  дает (так как )
6. таким образом, ; в этом диапазоне делителями числа 378 являются числа

• 9, при  получаем запись числа
• 14, при  получаем запись числа
• 18, при  получаем запись числа

7. наибольшим из приведенных чисел – это 18 (можно было сразу искать подбором наибольший делитель числа 378, начиная с 19 «вниз», на уменьшение)
8. таким образом, верный ответ – 18.

Еще пример задания:

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11?  

Общий подход:

• вспомним алгоритм перевода числа из десятичной системы в систему с основанием  (см. презентацию), из него следует, что младшая цифра результата – это остаток от деления исходного числа на , а две младших цифры – это остаток от деления на  и т.д.
• в данном случае , остаток от деления числа на  должен быть равен 114 = 5
• потому задача сводится к тому, чтобы определить все числа, которые меньше или равны 25 и дают остаток 5 при делении на 16

Решение (вариант 1, через десятичную систему):

1. общий вид чисел, которые дают остаток 5 при делении на 16:

где  – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …)

2. среди всех таких чисел нужно выбрать те, что меньше или равны 25 («не превосходят 25»); их всего два: 5 (при ) и 21 (при )
3. таким образом, верный ответ – 5, 21 .

Решение (вариант 2, через четверичную систему, предложен О.А. Тузовой):

1. переведем 25 в четверичную систему счисления: 25 = 1214, все интересующие нас числа не больше этого значения
2. из этих чисел выделим только те, которые заканчиваются на 11, таких чисел всего два:
   это 114 = 5  и 1114 = 21
3. таким образом, верный ответ – 5, 21 .

Еще пример задания:

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 2.

Общий подход:

• здесь обратная задача – неизвестно основание системы счисления, мы обозначим его через
• поскольку последняя цифра числа – 2, основание должно быть больше 2, то есть
• вспомним алгоритм перевода числа из десятичной системы в систему с основанием  (см. презентацию), из него следует, что младшая цифра результата – это остаток от деления исходного числа на

Решение:

1. итак, нужно найти все целые числа , такие что остаток от деления 23 на  равен 2, или (что то же самое)

                (*)

где  – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);

2. сложность в том, что и , и  неизвестны, однако здесь нужно «играть» на том, что это натуральные числа
3. из формулы (*) получаем , так что задача сводится к тому, чтобы найти все делители числа 21, которые больше 2
4. в этой задаче есть только три таких делителя:  и  
5. таким образом, верный ответ – 3, 7, 21 .

Еще пример задания:

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 31 оканчивается на 11.

Общий подход:

• неизвестно основание системы счисления, мы обозначим его через
• пока будем считать, что запись числа 31 в системе с основанием  состоит из трех цифр, причем две младшие (11) нам даны, а одну (обозначим ее через ) нужно найти:  

              2   1   0   ← разряды

31 = k 1 1N = k·N2 + N1 + N0 = k·N2 + N + 1

• можно показать, что при большем количестве разрядов эта формула также верна, то есть, число 31 можно представить как  при некотором целом ; например, для числа с пятью разрядами получаем:

              4    3     2    1   0   ← разряды

31 = k4 k3 k2 1 1N = k4·N4 + k3·N3 + k2·N2 + N1 + N0   

                 = k·N2 + N + 1  

для  (из первых трех слагаемых вынесли общий множитель )

Решение:

1. итак, нужно найти все целые числа , такие что

                (**)

где  – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);

2. сложность в том, что и , и  неизвестны, однако здесь нужно «играть» на том, что это натуральные числа
3. из формулы (**) получаем , так что задача сводится к тому, чтобы найти все делители  числа 30 и отобрать только те из них, для которых уравнение (**) разрешимо при целом , то есть,  – целое число
4. выпишем все делители числа 30, большие или равные 2: 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
5. из всех этих делителей только для 2, 3, 5 и 30 значение  – целое число (оно равно соответственно 7, 3, 1 и 0)
6. таким образом, верный ответ – 2, 3, 5, 30.

Еще пример задания:

Укажите, сколько всего раз встречается  цифра 2 в записи чисел 10, 11, 12, …, 17 в системе счисления с основанием 5.

Решение (вариант 1):

1. запишем первое и последнее число в заданном диапазоне в системе счисления с основанием 5:

10 = 205,   17 = 325 .

2. заметим, что оба они содержат цифру 2, так что, 2 цифры мы уже нашли
3. между 205 и 325 есть еще числа

215, 225, 235, 245, 305, 315.

4. в них 5 цифр 2 (в числе 225 – сразу две двойки), поэтому всего цифра 2 встречается 7 раз
5. таким образом, верный ответ – 7.

Решение (вариант 2):

1. переведем все указанные числа в систему счисления с основанием 5:

10 = 205, 11 = 215, 12 = 225, 13 = 235, 14 = 245, 15 = 305, 16 = 315,  17 = 325 .

2. считаем цифры 2 – получается 7 штук
3. таким образом, верный ответ – 7 .

Еще пример задания:

Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 30 трехзначна.  

Решение:

1. обозначим через  неизвестное основание системы счисления, тогда запись числа 30 в этой системе имеет вид

2. вспомним алгоритм перевода числа из системы счисления с основанием в десятичную систему: расставляем сверху номера разрядов и умножаем каждую цифру на основание в степени, равной разряду:

3. поскольку запись трехзначная, , поэтому
4. с другой стороны, четвертой цифры нет, то есть, в третьем разряде – ноль, поэтому
5. объединяя последние два условия, получаем, что искомое основание  удовлетворяет двойному неравенству

6. учитывая, что  – целое число, методом подбора находим целые решения этого неравенства; их два – 4 и 5:

7. минимальное из этих значений – 4
8. таким образом, верный ответ – 4 .

Решение (без подбора):

1. выполним п.1-4 так же, как и в предыдущем варианте решения
2. найдем первое целое число, куб которого больше 30; это 4, так как

3. проверяем второе неравенство: , поэтому в системе счисления с основанием 4 запись числа 30 трехзначна
4. таким образом, верный ответ – 4 .

Еще пример задания:

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 30, запись которых в системе счисления с основанием 5 начинается на 3?  

Решение (вариант 1):

1. нас интересуют числа от 1 до 30
2. сначала определим, сколько цифр может быть в этих числах, записанных в системе счисления с основанием 5
3. поскольку  , в интересующих нас числах может быть от 1 до 3 цифр
4. рассмотрим трехзначные числа, начинающиеся на 3 в системе с основанием 5:

все они заведомо не меньше , поэтому в наш диапазон не попадают;

5. таким образом, остается рассмотреть только однозначные и двухзначные числа
6. есть всего одно однозначное число, начинающееся на 3, это 3
7. общий вид всех двузначных чисел, начинающихся на 3 в системе с основанием 5:

где  – целое число из множества {0, 1, 2,3,4} (поскольку система счисления имеет основание 5 и цифр, больших 4, в записи числа быть не может)

8. используя эту формулу, находим интересующие нас двузначные числа – 15, 16, 17, 18 и 19
9. таким образом, верный ответ – 3, 15, 16, 17, 18, 19 .

Решение (вариант 2, предложен Сенькиной Т.С., г. Комсомольск-на-Амуре ):

1. нас интересуют числа от 1 до 30; сначала определим, сколько цифр может быть в пятеричной записи эти чисел
2. поскольку  , в интересующих нас числах может быть не более 2 цифр (все трехзначные пятеричные числа, начинающиеся с 3, больше 30)
3. есть всего одно однозначное число, начинающееся на 3, это 3
4. выпишем все пятеричные двузначные числа, которые начинаются с 3, и переведем их в десятичную систему:  305 = 15, 315 = 16, 325 = 17, 335 = 18 и 345 = 19
5. таким образом, верный ответ – 3, 15, 16, 17, 18, 19 .

Еще пример задания:

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 71 оканчивается на 13.  

Решение (1 способ):

1. Если число в системе с основанием  оканчивается на 13, то

1. , потому что в системах с меньшим основанием нет цифры 3
2. это число можно представить в виде , где – целое неотрицательное число

2. определим наибольшее возможное  с учетом условия . Из уравнения  следует .
3. очевидно, что чем меньше , тем больше , поэтому значение  не превышает

здесь мы подставили  – наименьшее допустимое значение

4. остается перебрать все допустимые значения  (от 0 до ), решая для каждого из них уравнение

 или равносильное

относительно ,  причем нас интересуют только натуральные числа

5. получаем

1. при :
2. при : решения – не целые числа
3. при :  и , второе решение не подходит

6. таким образом, верный ответ: 4, 68.

Решение (2 способ, М.В. Кузнецова и её ученики):

1. запись числа71 в системе с основанием  оканчивается на 13, т.е. в разряде единиц – 3, это значит, что остаток от деления  71 на  равен 3, то есть для некоторого целогоимеем

2. таким образом, искомые основания – делители числа 68; остается выбрать из них те, которые соответствуют другим условиям задачи
3. среди чисел, оканчивающихся на 13 в системе счисления с основанием ,минимальное  – это само число ; отсюда найдем максимальное основание:

так что первый ответ: 68.

4. остальные числа, окачивающиеся в этой системе на 13, имеют не менее 3-х знаков (,…), т.е. все они больше
5. поэтому , следовательно,
6. по условию в записи числа есть цифра 3, поэтому  (в системах с основанием ≤ 3 цифры 3 нет)
7. итак: , и при этом  – делитель 68; единственное возможное значение   (на 5,6,7 и 8 число 68 не делится)
8. таким образом, верный ответ: 4, 68.

Еще пример задания:

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 86 оканчивается на 22.  

Решение (1 способ):

1. Если число в системе с основанием  оканчивается на 22, то

1. , потому что в системах с меньшим основанием нет цифры 2
2. это число можно представить в виде , где – целое неотрицательное число

2. определим наибольшее возможное  с учетом условия . Из уравнения  следует .
3. очевидно, что чем меньше , тем больше , поэтому значение  не превышает

здесь мы подставили  – наименьшее допустимое значение

4. остается перебрать все допустимые значения  (от 0 до ), решая для каждого из них уравнение

 или равносильное

относительно ,  причем нас интересуют только натуральные числа

5. получаем

1. при :
2. при : решения – не целые числа
3. при :  и , второе решение не подходит
4. при : решения – не целые числа

6. таким образом, верный ответ: 6, 42.

Решение (2 способ, М.В. Кузнецова и её ученики):

1. запись числа 86 в системе с основанием  оканчивается на 22, т.е. в разряде единиц – 2, это значит, что остаток от деления  86 на  равен 2, то есть для некоторого целогоимеем

2. таким образом, искомые основания – делители числа 84; остается выбрать из них те, которые соответствуют другим условиям задачи
3. среди чисел, оканчивающихся на 22 в системе счисления с основанием ,минимальное  – это само число ; отсюда найдем максимальное основание:

так что первый ответ: 42.

4. остальные числа, окачивающиеся в этой системе на 22, имеют не менее 3-х знаков (,…), т.е. все они больше
5. поэтому , следовательно,
6. по условию в записи числа есть цифра 2, поэтому
7. итак: , и при этом  – делитель 84; возможные значения   (на 5,8 и 9 число 84 не делится)
8. переводя число 86 в системы счисления с основаниями , находим, что только для основания 6 запись числа оканчивается на 22 (при делении на 3, 4 и 7 «вторые» остатки не равны 2):

9. таким образом, верный ответ: 6, 42.

Еще пример задания:

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 94 начинается на 23.  

Решение:

1. Из условия сразу видно, что искомое основание не меньше 4 (в записи есть цифра 3).
2. Если запись числа 94 в некоторой системе счисления с основанием  двузначна (94 = 23x), то справедливо равенство ; нас интересуют натуральные решения этого уравнения, такие что , таких решений нет.
3. Предположим, что число четырехзначное. Минимальное допустимое четырехзначное число – 2300x, где . При минимальном основании () оно равно, поэтому запись нужного нам числа имеет не больше трех знаков.
4. На основании (2) и (3) делаем вывод, что число трехзначное, то есть , где – целое неотрицательное число, такое что .
5. Максимальное  можно определить как решение уравнения  (при ); получаем одно из решений – 6,15; поэтому
6. Если мы знаем , то определится как ; пробуем подставлять в эту формулу , пытаясь получить
7. Минимальное  будет при : , а при  получается
8. Таким образом, верный ответ: 6.

Еще пример задания:

Найти сумму восьмеричных чисел 178 +1708 +17008 +...+17000008, перевести в 16-ую систему счисления. Найдите в записи числа, равного этой сумме, третью цифру слева.

Решение:

1. Несложно выполнить прямое сложение восьмеричных чисел, там быстро обнаруживается закономерность:

178  + 1708  = 2078

178  + 1708 + 17008  = 21078

178  + 1708 + 17008 + 170008  = 211078

178  + 1708 + 17008  + 170008  + 1700008  = 2111078

178  + 1708 + 17008  + 170008  + 1700008   + 17000008  = 21111078

2. Переведем последнюю сумму через триады в двоичный код (заменяем каждую восьмеричную цифру на 3 двоичных):

   100010010010010001112

3. Теперь разбиваем цепочку на тетрады (группы из 4-х двоичных цифр), начиная справа, и каждую тетраду представляем в виде шестнадцатеричной цифры

   100010010010010001112

       8      9       2       4      7

4. Таким образом, верный ответ (третья цифра слева): 2.

Еще пример задания:

Чему равно наименьшее основание позиционной системы счисления , при котором 225x = 405y? Ответ записать в виде целого числа.

Решение:

1. Поскольку в левой и в правой частях есть цифра 5, оба основания больше 5, то есть перебор имеет смысл начинать с .
2. Очевидно, что , однако это не очень нам поможет.
3. Для каждого «подозреваемого»  вычисляем значение и решаем уравнение , причем нас интересуют только натуральные .
4. Для  и  нужных решений нет, а для  получаем

так что.

5. Таким образом, верный ответ (минимальное значение ): 8.

Еще пример задания:

 Запись числа 3010 в системе счисления с основанием N оканчивается на 0 и содержит 4 цифры. Чему равно основание этой системы счисления N?

Решение (1 способ, подбор):

1. запись числа 30 в системе с основанием N длиннее, чем в десятичной (4 цифры против двух), поэтому основание N меньше 10
2. это дает шанс решить задачу методом подбора, переводя в разные системы, начиная с N = 2 до N = 9
3. переводим:

30 = 111102 = 10103 = …

4. дальше можно не переводить, поскольку запись 10103 удовлетворяет условию: заканчивается на 0 и содержит 4 цифры
5. можно проверить, что при N ≥ 4 запись числа 30 содержит меньше 4 цифр, то есть не удовлетворяет условию
6. Ответ: 3.

Решение (2 способ, неравенства):

1. запись числа 30 в системе с основанием N содержит ровно 4 цифры тогда и только тогда, когда старший разряд – третий, то есть

2. первая часть двойного неравенства  дает (в целых числах)
3. вторая часть неравенства  дает (в целых числах)
4. объединяя результаты пп. 2 и 3 получаем, что N = 3
5. заметим, что условие «оканчивается на 0» – лишнее, ответ однозначно определяется по количеству цифр
6. Ответ: 3.

Задачи для тренировки^[1]:

1. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 22 оканчивается на 4.
2. В системе счисления с некоторым основанием число 12 записывается в виде 110. Укажите это основание.
3. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 39 оканчивается на 3.
4. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 29 оканчивается на 5.
5. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 129 записывается как 1004. Укажите это основание.
6. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 40 оканчивается на 4.
7. В системе счисления с некоторым основанием число десятичное 25 записывается как 100. Найдите это основание.
8. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 27 оканчивается на 3.
9. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 26, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на 22?  
10. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 30, запись которых в четверичной системе счисления оканчивается на 31?  
11. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные натуральные числа, не превосходящие 17, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на две одинаковые цифры?  
12. Укажите, сколько всего раз встречается  цифра 3 в записи чисел 19, 20, 21, …, 33 в системе счисления с основанием 6.
13. Укажите, сколько всего раз встречается  цифра 1 в записи чисел 12, 13, 14, …, 31 в системе счисления с основанием 5.
14. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 1.
15. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 63 оканчивается на 23.
16. Десятичное число, переведенное в восьмеричную и в девятеричную систему, в обоих случаях заканчивается на цифру 0. Какое минимальное натуральное число удовлетворяет этому условию?
17. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 49 записывается в виде 100. Укажите это основание.
18. Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 70 трехзначна.  
19. Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 50 двузначна.
20. Сколько значащих цифр в записи десятичного числа 357 в системе счисления с основанием 7?
21. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием 6 начинается на 4?  
22. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 20, запись которых в системе счисления с основанием 3 начинается на 2?  
23. Какое десятичное число при записи в системе счисления с основанием 5 представляется как 12345?
24. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в двоичной системе счисления оканчивается на 101?  
25. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 30 оканчивается на 8.
26. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 31 оканчивается на 4.
27. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 83 записывается в виде 123. Укажите это основание.
28. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 144 записывается в виде 264. Укажите это основание.
29. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 32 оканчивается на 4.
30. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 27, запись которых в двоичной системе счисления оканчивается на 110?  
31. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на 21?  
32. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 45, запись которых в двоичной системе счисления оканчивается на 1010?  
33. Десятичное число кратно 16. Какое минимальное количество нулей будет в конце этого числа после перевода его в двоичную систему счисления?  
34. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 18 записывается в виде 30. Укажите это основание.
35. Укажите, сколько всего раз встречается  цифра 3 в записи чисел 13, 14, 15, …, 23 в системе счисления с основанием 4.
36. Укажите, сколько всего раз встречается  цифра 2 в записи чисел 13, 14, 15, …, 23 в системе счисления с основанием 3.
37. В саду 100 фруктовых деревьев – 14 яблонь и 42 груши. Найдите основание системы счисления, в которой указаны эти числа.
38. Найдите основание системы счисления, в которой выполнено сложение: 144 + 24 = 201.
39. Найдите основание системы счисления, в которой выполнено умножение: 3·213 = 1043.
40. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 20, запись которых в системе счисления с основанием 5 оканчивается на 3?  
41. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 100, запись которых в системе счисления с основанием 5 оканчивается на 11?  
42. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 75 оканчивается на 13.
43. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 84 оканчивается на 14.
44. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 61 оканчивается на 15.
45. Найдите десятичное число x, такое что 20 < x < 30, запись которого в системе счисления с основанием 3  заканчивается на 11.
46. Запись числа 658 в некоторой системе счисления выглядит так: 311N. Найдите основание системы счисления N.
47. Запись числа 30 в некоторой системе счисления выглядит так: 110N. Найдите основание системы счисления N.
48. Запись числа 2B16 в некоторой системе счисления выглядит так: 111N. Найдите основание системы счисления N.
49. Запись числа 23 в некоторой системе счисления выглядит так: 212N. Найдите основание системы счисления N.
50. Запись числа 2105 в некоторой системе счисления выглядит так: 313N. Найдите основание системы счисления N.
51. Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 50 трехзначна.
52. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 348 оканчивается на 20.
53. Запись числа 344 в некоторой системе счисления выглядит так: 1A8N. Найдите основание системы счисления N.
54. К записи натурального числа в восьмеричной системе счисления справа приписали два нуля. Во сколько раз увеличилось число? Ответ запишите в десятичной системе счисления.
55. Запись числа 281 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 1. Чему равно максимально возможное основание системы счисления?
56. Запись числа 234 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 6. Чему равно основание системы счисления?
57. Запись числа 338 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 2. Чему равно максимально возможное основание системы счисления?
58. Запись числа 256 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 4. Чему равно минимально возможное основание системы счисления?
59. Запись числа 325 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 1. Чему равно минимально возможное основание системы счисления?
60. Запись числа 180 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 0. Перечислите в порядке возрастания все возможные основания системы счисления.
61. Запись числа 280 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 0. Перечислите в порядке возрастания все возможные основания системы счисления.
62. Запись натурального числа в системах счисления с основанием 4 и 6 заканчивается на 0. Найдите минимальное натуральное число, удовлетворяющее этим условиям.
63. Десятичное число 71 в некоторой системе счисления записывается как «78». Определите основание системы счисления.
64. Десятичное число 70 в некоторой системе счисления записывается как «64». Определите основание системы счисления.
65. Десятичное число 57 в некоторой системе счисления записывается как «212». Определите основание системы счисления.
66. Десятичное число 109 в некоторой системе счисления записывается как «214». Определите основание системы счисления.
67. Решите уравнение .
    Ответ запишите в четверичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
68. Решите уравнение .
    Ответ запишите в шестеричной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
69. Решите уравнение .
    Ответ запишите в шестеричной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
70. Решите уравнение .
    Ответ запишите в шестеричной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
71. (http://ege.yandex.ru) Десятичное число 63 в некоторой системе счисления записывается как 120. Определите основание системы счисления.
72. (http://ege.yandex.ru) Десятичное число 57 в некоторой системе счисления записывается как 212. Определите основание системы счисления.
73. (http://ege.yandex.ru) В системе счисления с основанием N запись числа 77 оканчивается на 0, а запись числа 29 – на 1. Чему равно число N?
74. В некоторой системе счисления записи десятичных чисел 56 и 45 заканчиваются на 1. Определите основание системы счисления.
75. В некоторой системе счисления записи десятичных чисел 68 и 94 заканчиваются на 3. Определите основание системы счисления.
76. В некоторой системе счисления записи десятичных чисел 41 и 63 заканчиваются на 8. Определите основание системы счисления.
77. В некоторой системе счисления записи десятичных чисел 56 и 124 заканчиваются на 5. Определите основание системы счисления.
78. Запись числа 6810 в системе счисления с основанием N оканчивается на 2 и содержит 4 цифры. Чему равно основание этой системы счисления N?
79. Решите уравнение .
    Ответ запишите в троичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
80. Запись числа N в системе счисления c основанием 6 содержит две цифры, запись этого числа в системе счисления c основанием 5 содержит три цифры, а запись в системе счисления c основанием 11 заканчивается на 1. Чему равно N? Запишите ответ в десятичной системе счисления.
81. Запись числа N в системе счисления c основанием 7 содержит две цифры, запись этого числа в системе счисления c основанием 6 содержит три цифры, а запись в системе счисления c основанием 13 заканчивается на 3. Чему равно N? Запишите ответ в десятичной системе счисления.
82. Решите уравнение .
    Ответ запишите в шестеричной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
83. Решите уравнение .
    Ответ запишите в семеричной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.