Презентация по теме "Системы счисления. Арифметические операции в позиционных системах счисления" для 8 кл.
презентация к уроку по информатике и икт (8 класс)

Слайд 1

Системы счисления учитель информатики МБОУ «СОШ № 128» И.А. Мерс

Слайд 2

Содержание : Двоичное кодирование в ПК Что такое система счисления? Непозиционные системы счисления Позиционные системы счисления Перевод в 10-тичную СС Перевод из 10-тичной СС Перевод из 2-ной в 8-ную и обратно Перевод из 2-ной в 16-ную и обратно Опрос Арифметические операции в позиционных СС Сложение и вычитание в 2-ой СС Умножение в 2-ой СС Сложение и вычитание в 8-ой СС Решение примеров

Слайд 3

Двоичное кодирование в компьютере Вся информация, которую обрабатывает компьютер должна быть представлена двоичным кодом с помощью двух цифр: 0 и 1 . Эти два символа принято называть двоичными цифрами или битами , или двоичным кодом . С точки зрения технической реализации использование двоичной системы счисления для кодирования информации оказалось намного более простым, чем применение других способов. Недостаток двоичного кодирования – длинные коды. Но в технике легче иметь дело с большим количеством простых элементов, чем с небольшим числом сложных. 0 – отсутствие электрического сигнала; 1 – наличие электрического сигнала .

Слайд 4

С помощью двух цифр 0 и 1 можно закодировать любое сообщение. Это явилось причиной того, что в компьютере обязательно должно быть организованно два важных процесса: кодирование и декодирование. Кодирование – преобразование входной информации в форму, воспринимаемую компьютером, т.е. двоичный код. Декодирование – преобразование данных из двоичного кода в форму, понятную человеку. Способы кодирования и декодирования информации в компьютере, в первую очередь, зависит от вида информации, а именно, что должно кодироваться: числа, текст, графические изображения или звук. меню

Слайд 5

Система счисления Почему мы используем цифры от 0 до 9? А как можно считать еще? Оказывается, существует множество вариантов! И это зависит от такого понятия, как система счисления . Система счисления (СС) — способ записи чисел с помощью набора специальных знаков, называемых цифрами. меню

Слайд 6

Виды систем счисления СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ ПОЗИЦИОННЫЕ НЕПОЗИЦИОННЫЕ В непозиционных системах счисления величина , которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. XXI В позиционных системах счисления величина , обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от её положения в числе ( позиции ). 211

Слайд 7

Непозиционные системы счисления Ярким примером фактически непозиционной системы счисления является римская , в которой в качестве цифр используются латинские буквы: I обозначает 1, V - 5, X - 10, L - 50, C - 100, D - 500, M -1000. Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр. Например, II = 1 + 1 = 2, здесь символ I обозначает 1 независимо от места в числе. Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц. Пример: число 1789 . Одна тысяча M , семь сотен DCC , восемьдесят LXXX , девять IX . Запишем их вместе: MDCCLXXXIX . MDCCLXXXIX=1000+(500+100+100)+(50+10+10+10)+(10-1)=1789 Для изображения чисел в непозиционной системе счисления нельзя ограничится конечным набором цифр. Кроме того, выполнение арифметических действий в них крайне неудобно. меню

Слайд 8

Первые позиционные системы счисления Самой первой такой системой, когда счетным "прибором" служили пальцы рук, была пятеричная . Следующей возникла двенадцатеричная система счисления. Возникла она в древнем Шумере. Возможно, что она возникала у них из подсчёта фаланг на руке большим пальцем. На ее широкое использование в прошлом указывает сохранившиеся в ряде стран способы отсчета времени, денег и соотношения между некоторыми единицами измерения. Год состоит из 12 месяцев, а половина суток состоит из 12 часов. Элементом двенадцатеричной системы в современности может служить счёт дюжинами. Английский фунт состоит из 12 шиллингов.

Слайд 9

Следующая позиционная система счисления была придумана еще в Древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричная , т.е. в ней использовалось шестьдесят цифр! В более позднее время использовалась арабами, а также древними и средневековыми астрономами. Шестидесятеричная система счисления, как считают исследователи, являет собой синтез уже вышеупомянутых пятеричной и двенадцатеричной систем. В настоящее время наиболее распространены десятичная , двоичная , восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Слайд 10

Десятичная система счисления Десятичная система счисления — позиционная система счисления по основанию 10. Предполагается, что основание 10 связано с количеством пальцев на руках у человека. Наиболее распространённая система счисления в мире. Для записи чисел используются символы 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , называемые арабскими цифрами.

Слайд 11

Двоичная система счисления Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2. Используются цифры 0 и 1. Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и удовлетворяет требованиям: Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы. Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать. Простота создания таблиц сложения и умножения — основных действий над числами

Слайд 12

Алфавит двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной систем счисления Система счисления Основание Алфавит цифр Двоичная 2 0, 1 Восьмеричная 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Десятичная 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Шестнадцатеричная 16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Количество используемых цифр называется основанием системы счисления .

Слайд 13

Соответствие десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления p=10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 p=2 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 p=8 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20 p=16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 При одновременной работе с несколькими системами счисления для их различения основание системы обычно указывается в виде нижнего индекса, который записывается в десятичной системе: 321 10 — это число 321 в десятичной системе счисления; 101000001 2 — то же число, но в двоичной системе. Двоичное число 101000001 2 можно расписать в виде: 101000001 2 = 1*2 8 + 0*2 7 + 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 +0*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 .

Слайд 14

Перевод чисел из любой позиционной системы счисления в десятичную Чтобы перевести целое число из позиционной системы счисления с основанием p в десятичную , нужно справа налево, начиная с 0, расставить разряды, потом каждую цифру умножить на основание системы счисления из которой переводим в степени этого разряда. Например, переведем число 11001 2 в десятичную систему счисления. Для этого представим это число в виде степеней двойки и произведем вычисления в десятичной системе счисления. 11001 2 = 1*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 1*16 +1*8 + 0*4 + 0*2 + 1*1 = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25 10 Рассмотрим еще один пример. Переведем число 12,34 8 в десятичную систему счисления. 12,34 8 = 1*8 1 + 2*8 0 + 3*8 -1 + 4*8 -2 = 1*8 + 2*1 + 3*1/8 +4*1/64 = 10 + 0,375 + 0,0625 = 10,4375 10 0 1 2 3 4 0 1 -1 -2 меню

Слайд 15

Перевод целых десятичных чисел в 2, 8, 16-ую системы счисления

Слайд 16

Перевод чисел из десятичной системы счисления в любую другую Перевод из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием p осуществляется последовательным делением десятичного числа и его десятичных частных на p , а затем выписыванием последнего частного и остатков в обратном порядке. Переведем десятичное число 20 10 в двоичную систем счисления (основание системы счисления p=2). В итоге получили 20 10 = 10100 2 .

Слайд 17

Перевести десятичное число 26 в двоичную, троичную, шестнадцатеричную системы 26 10 →Х 2 26 0 13 1 6 0 3 1 1 1 26 10 =11010 2 26 10 →Х 3 26 2 8 2 2 2 26 10 =222 3 26 10 →Х 16 26 10 1 1 26 10 =1А 16 ПЕРЕВОД ЦЕЛОГО ДЕСЯТИЧНОГО ЧИСЛА МЕТОДОМ ПОЭТАПНОГО ДЕЛЕНИЯ

Слайд 18

Перевести десятичную дробь 0,375 0 375 * 2 0 750 2 1 500 2 1 000 0,375 10 =0,011 2 0 375 * 3 1 125 3 0 375 3 1 125 0,375 10 =0,101 3 0 375 16 2 250 3 75 6 000 0,375 10 =0,6 16

Слайд 19

Переведи в 2-ую СС 26,375 10 →Х 2 26 10 =11010 2 0,375 10 =0,011 2 26,375 10 =11010,011 2

Слайд 20

Прочитайте стихотворение. Переведите встречающиеся в нем числительные из двоичной системы счисления в десятичную. Необыкновенная девчонка (А. Н. Стариков) Ей было тысяча сто лет, Она в 101-ый класс ходила, В портфеле по сто книг носила – Все это правда, а не бред. Когда, пыля десятком ног, Она шагала по дороге, За ней всегда бежал щенок С одним хвостом, зато стоногий. Она ловила каждый звук Своими десятью ушами, И десять загорелых рук Портфель и поводок держали. И десять темно-синих глаз Рассматривали мир привычно,… Но станет все совсем обычным, Когда поймете наш рассказ.

Слайд 21

Задания: Запишите число в римской системе счисления: 2013= Запишите в развернутом виде числа: 1234 10 = 345 8 = 11010 2 = Переведите числа в десятичную систему счисления: 274 8 = BE 16 = 110,101 2 = Как будет записываться число 24 10 в двоичной системе счисления? 123 10 в восьмеричной? меню

Слайд 22

Перевод 2  8 СС Очень просто! Направо и налево от точки откладываем триады - группы по три цифры, после чего записываем их в соответствующем 8-ном виде. Неполные триады дополняются нулями. Пример: 1011010,01101 2 = 001 011 010,011 010 2 = 132,32 8 Обратно - с точностью до наоборот: 257,31 8 = 010 101 111, 011 001 2 = 10101111,011001 2

Слайд 23

Системы счисления, используемые в ЭВМ (с основанием 2 n ) Перевести число 1100101001101010111 2 в восьмеричную систему счисления 001 100 101 001 101 010 111 1 4 5 1 5 2 7 Получаем 1451527 8 меню

Слайд 24

Перевод 2  16 СС Очень просто! Направо и налево от точки откладываем тетрады - группы по четыре цифры, после чего записываем их в соответствующем 16-ном виде. Неполные тетрады дополняются нулями. Пример: 1011010110,011001 2 = 0010 11 01 0110,011 010 2 = 132,32 8 Обратно - с точностью до наоборот: 257,31 8 = 010 101 111, 011 001 2 = 10101111,011001 2

Слайд 25

Перевести число 1100101001101010111 2 в шестнадцатеричную систему счисления 0110 0101 0011 0101 0111 6 5 3 5 7 Получаем 65357 16

Слайд 26

Перевести число из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную 1451527 8 Х 16 меню

Слайд 27

Согласны ли Вы с утверждениями….? № Согласны ли вы с утверждением Да Нет 1 Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами. 2 Все системы счисления делятся на три большие группы: позиционные, непозиционные и полупозиционные. 3 В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе. 4 Основанием двоичной системы счисления является число 4 5 Число А21С FD4 записано в шестнадцатеричной системе счисления. 6 Число 156 7 записано с ошибкой. 7 Число 10, записанное в десятичной системе счисления, в двоичной системе счисления записывается как 1011 8 Число 10, записанное в десятичной системе счисления, меньше числа 10, записанного в восьмеричной системе счисления. 9 Число 3005,23 4 записано с ошибкой. 10 Число 6 398 записано в восьмеричной системе счисления.

Слайд 28

№ Согласны ли вы с утверждением Да Нет 1 Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами. 2 Все системы счисления делятся на три большие группы: позиционные, непозиционные и полупозиционные. 3 В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе. 4 Основанием двоичной системы счисления является число 4 5 Число А21С FD4 записано в шестнадцатеричной системе счисления. 6 Число 156 7 записано с ошибкой. 7 Число 10, записанное в десятичной системе счисления, в двоичной системе счисления записывается как 1011 8 Число 10, записанное в десятичной системе счисления, меньше числа 10, записанного в восьмеричной системе счисления. 9 Число 3005,23 4 записано с ошибкой. 10 Число 6 398 записано в восьмеричной системе счисления. + + + + + + + + + + Проверь себя меню

Слайд 29

«Арифметические операции в позиционных системах счисления»

Слайд 30

Все позиционные системы счисления «одинаковы», а именно, во всех них выполняются арифметические операции по одним и тем же правилам: справедливы одни и те же законы арифметики: - коммутативный ( п ереместительный): m + n = n + m m · n = n · m ассоциативный (сочетательный): ( m + n ) + k = m + ( n + k ) = m + n + k ( m · n ) · k = m · ( n · k ) = m · n · k дистрибутивный (распределительный): ( m + n ) · k = m · k + n · k справедливы правила сложения, вычитания и умножения столбиком ; правила выполнения арифметических операций опираются на таблицы сложения и умножения. меню

Слайд 31

Сложение в двоичной системе счисления: 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1= 1 0 2 1 + 1 + 1 = 1 1 2 перенос 1 0 1 1 0 2 1 1 1 0 1 1 2 1 1 0 0 0 1 1 0 2 1 1 1 1 Сложение в 10-ой СС 99 1 100

Слайд 32

Примеры: 101101 2 + 11111 2 111011 2 + 11011 2 111011 2 + 10011 2

Слайд 33

Вычитание в двоичной системе счисления: 0-0=0 1-1=0 1-0=1 1 0 2 -1=1 заем 1 0 0 0 1 0 1 2 1 1 0 1 1 2 0 2 1   0 10 2 1 0 0 1 1 10 2 0 1 0 Вычитание в 10-ой СС 100 1 99

Слайд 34

Примеры: 101101 2 – 11111 2 11011 2 – 1101 2 101010 2 – 10011 2 меню

Слайд 35

Умножение в двоичной системе счисления : * 0 1 0 0 0 1 0 1

Слайд 36

101101 2 * 101 2 + 101101 000000 101101 11100001 2 11011 2 * 1101 2 101011111 2 меню

Слайд 37

Арифметические операции в 8-ричной СС сложение 1 5 6 8 + 6 6 2 8 1 1 6 + 2 = 8 = 1* 8 + 0 5 + 6 + 1 = 1 2 = 1* 8 + 4 1 + 6 + 1 = 8 = 1* 8 + 0 1 Перенос 1 в след. разряд Перенос 1 в след. разряд 1 0 8 0 4 Перенос 1 в след. разряд

Слайд 38

Пример 3 5 3 8 + 7 3 6 8 1 3 5 3 8 + 7 7 7 8

Слайд 39

Арифметические операции в 8-ричной СС вычитание 2 1 5 6 8 - 6 6 2 8 1 6 -2 = 4 5 - 6 + 1*8 = 7 0 - 6 + 1 *8 = 2 заем 4 8 2 7 заем

Слайд 40

Примеры 4 1 5 3 8 – 6 6 7 8 1 1 6 1 8 – 7 3 2 8 меню

Слайд 41

Решение примеров

Слайд 42

Задание №1 1. Переведите числа данные в десятичной СС в двоичную , а затем в шестнадцатеричную СС: а) 143,25 б) 3 12,5 2. Переведите данное число в десятичную СС: а) 10110101,1 б) 100100110,10101

Слайд 43

ОТВЕТ на задание №1 1. 143,25 10 10001111,01 2 8 F ,4 16 3 12,5 10 10 0 1 11 000,1 2 13 8,8 16 2. 10110101,1 2 181,5 10 100 1 00110,1011 2 2 94 ,065625 10

Слайд 44

Задание №2 Переведите в восьмеричную и шестнадцатеричную СС: 110010,101 2 1011010011,01 2 1101111011,01 2 101000010,0111 2

Слайд 45

110010,101 2 =62,5 8 =32,А 16 1011010011,01 2 =1323,2 8 = 2D3,4 16 1101111011,01 2 =1573,2 8 = 37B,4 16 101000010,0111 2 =502,34 8 = 142,7 16 ОТВЕТ на задание № 2

Слайд 46

Задание №3 1. Сложите данные числа: 11 00 11 00 1,0011 2 + 111 0 111 0 1,0101 2 2. Выполните вычитание: 1101100110,01 2 – 110000010,1011 2 3.Выполните умножение: 1001111 2 х 1000100 2

Слайд 47

Ответ на задание №3 1. 11 0 0 11 00 1,0010 2 2. 1 101 100 110 ,0100 2 + 111 0 11 1 0 1,0101 2 - 110 000 010 ,1011 2 1 101 110 110 ,0111 2 0 1 11 100 011, 1 001 2 3. 1 001 111 2 х 1 000 100 2 1 010 011 111 1 00 2

Слайд 48

Задание №4 1. Переведите число данное в десятичной CC в двоичную , а затем в шестнадцатеричную CC : а) 670 10 б) 162 10 2. Переведите данное число в десятичную CC : а) 1111100111 2 б) 1001011 2

Слайд 49

ОТВЕТ на задание №4 1. 670 10 1010011110 2 29Е 16 162 10 10100010 2 А2 16 2. 1111100111 2 999 10 1001011 2 7 5 10

Слайд 50

Восстановить неизвестные цифры, обозначенные *, определив вначале в какой системе счисления изображены числа. А) 5 * 5 5 Б) 1 5 2 6 * 2 2 7 * 4 2 * 1 5 * 4 6 5 4 Решение А) 5 * 5 5 * 2 2 7 * 1 5 * 4 1) 5+7=12=1  8+4 р=8 2) 5+2+1=8=1  8+0 * =0 3) * +2+1=5 * =2 4) 5+ * =1 5+ * =1  8+1 * =4 5) *=1 Б) 1 5 2 6 * 4 2 6 5 4 1) 6-2=4 2) 2+р-4=5 р=7 3) 4 +7-*=6 *= 5 0 2 4 1 5