Софизмы и парадоксы в математике
методическая разработка по математике (8, 9, 10, 11 класс) по теме

Методическая разработка по теме

 «Софизмы и парадоксы» в математике

Байгушева Л.М, учитель математики МБОУ-СОШ №2

города Аркадака Саратовской области

  Содержание……………………………………………………..

Раздел 1. Использование исторического материала по теме «Софизмы и парадоксы» на  роках математике.

Раздел 2. Использование исторического материала по теме «Софизмы и парадоксы» на  роках математике

Раздел 3.Софизмы и парадоксы

1. Введение

2. Знакомство с парадоксами и софизмами

             2.1 Определение понятия софизма

        2.2 Определение понятия парадокса

3. Сравнение софизмов и парадоксов, как логических операций

3.1 История

3.1.1 Известные софисты

3.2 Отношение к истине

3.3 Классификация и примеры

3.3.1 Классификация софизмов

3.3.2 Классификация парадоксов

4. Заключение

5. Литература

«Софизмы и парадоксы» в математике

Раздел 1. Использование исторического материала по теме «Софизмы и парадоксы» на  роках математике.

    1.1. Исторический материал по теме « Парадоксы и  софизмы» элементы можно использовать  на уроках при изучении таких тем, как 

«Тождества», «Преобразование многочленов», «Формулы сокращенного умножения, «Линейные неравенства», « Единицы измерения», «Квадрат и его свойства», «Теорема Пифагора», «Иррациональные числа», «Множества», «Решение логических задач», «Перпендикуляр к прямой», «Элементы логики», «Статистика», « Вероятность» и. т. д

Цель:

Познакомить учащихся с софизмами и парадоксами, их сходствами и различиями, определить сферу применения парадоксов и софизмов.

Задачи:

-Развить представление о софизмах и парадоксах у  учащихся, познавательный интерес к математике, ее истории, речь, логическое мышление

-Расширить  кругозор  учащихся, повысить их общую культуру.

Этапы урока:

- «экскурс в историю»;

-создание проблемных ситуаций;

-приведение  контропримеров на этапе актуализации новых знаний или  «открытия» новых знаний.

       Использование исторического материала по теме «Софизмы и парадоксы»  на уроках математики:

- способствует общему развитию школьников,  

-создает культурно-историческую среду обучения,

-развивает логическое мышление, кругозор,

-повышает интерес к предмету.

             Форма преподнесения исторического материала:

-  показ слайдов из готовой презентации;

-сообщения  учащихся;

- работа в группах;

 -дискуссия (совместный поиск  истины), и др.

Виды учебной  деятельности ученика:

     - использовать понятия отношения и пропорции при решении задач;

     - строить речевые высказывания с использованием терминологии, связанной с понятием последовательности;

      - моделировать условие задачи с помощью чертежа или рисунка.

Планируемые образовательные результаты:

     - в личностном направлении  (представление о математической науке как сфере  человеческой  деятельности, об этапах ее развития, о ее значимости для развития цивилизации);

     - в метапредметном направлении  (первоначальные представления об идеях и о методах математики как универсальном языке науки и техники, умение видеть математическую задачу в окружающей жизни);

     - в предметном направлении  (овладение базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания как важнейших математических моделях, позволяющих  описывать и изучать реальные процессы и явления)

Раздел 2. Использование исторического материала по теме «Софизмы и парадоксы» на  роках математике.

          Форма организации внеурочной деятельности:

-школьная математическая печать;

-проектная деятельность;

 -математический кружок.

          Формы преподнесения исторического материала:

-  показ слайдов из готовой презентации;

-сообщения  учащихся;

- работа в группах;

 -дискуссия (совместный поиск  истины), и др.

Раздел 3.

Софизмы и парадоксы

1. Введение

2. Знакомство с парадоксами и софизмами

             2.1 Определение понятия софизма

        2.2 Определение понятия парадокса

3. Сравнение софизмов и парадоксов, как логических операций

3.1 История

3.1.1 Известные софисты

3.2 Отношение к истине

3.3 Классификация и примеры

3.3.1 Классификация софизмов

3.3.2 Классификация парадоксов

4. Заключение

5. Литература

1. Введение

Мы  считаем эту тему очень увлекательной и содержательной, развивающей познавательный интерес к урокам математики. История математики полна неожиданных и интересных софизмов и парадоксов. И зачастую именно их разрешение служило толчком к новым открытиям.

Английский студент сочинил песенку:

Чем больше учишься, тем больше знаешь.

Чем больше знаешь, тем больше забываешь.

А чем больше забываешь, тем меньше знаешь.

А чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.

Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.

Так для чего учиться? Что это? Софизм или парадокс?

Софизмы – ложные результаты, полученные с помощью рассуждений, которые только кажутся правильными, но обязательно содержат ту или иную ошибку. Софизмы очень поучительны и интересны. Практика обучения математике показывает, что поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Такой подход при обучении математике способствует более глубокому ее пониманию и осмыслению и, кроме того, показывает, что математика – это живая наука.

Сворачивает парадокс,

                                                    куда захочет,

                                                                 Рассудок здравый он,

                                                        смеясь, морочит

Парадокс – мнение, рассуждение, резко расходящееся с общепринятыми суждениями, противоречащее (иногда только на первый взгляд) здравому смыслу; формально-логическое противоречие, которое возникает в содержательной теории множеств и формальной логике при сохранении логической правильности хода рассуждений; Внешне парадоксы очень похожи на софизмы, поскольку тоже приводят рассуждения к противоречию, главное же различие между ними, как остроумно заметил писатель Даниил Гранин, заключается в том, что софизм – это ложь, обряженная в одежды истины, а парадокс – истина в одеждах лжи. Это, конечно, образное сравнение, но оно довольно точно схватывает суть проблемы. В действительности связь софизмов и парадоксов более тонкая и сложная. Парадокс может быть следствием некоторых софизмов. Парадоксальный вывод обязывает искать источник парадокса, заставляет выбираться из круга, в котором оказалось наше рассуждение и искать иной путь.

 Парадоксом называется странный, неожиданный результат, глубоко расходящийся с общепринятыми представлениями. Парадокс близок  к софизму. Софизм – ложное умозаключение, формально кажущееся правильным, основанное на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики. Их различает то, что парадокс – не преднамеренно полученный результат, т.е. парадокс не ошибка, однако его появление нельзя объяснить. Наиболее ярко странность результата являют самые точные, логически безупречные науки – математика и логика. Казалось, здесь – то не должно возникать ничего похожего. Не случайно говорят: вероятно, величайший парадокс состоит в том, что в математике имеются парадоксы. Они не только есть, но и представляются наиболее впечатляющими, а вместе с тем особенно сложными и трудными для понимания.

        За свою историю математика испытала три сильнейших потрясения, три кризиса, которые касались ее основ. И все три сопровождались обнаружением парадоксов. Одновременно с этим их преодоление достигалось ценой введения необычных понятий, утверждением невероятных идей. Одним словом, парадоксы разрешались благодаря тому лишь, что они порождали новые, также парадоксальные теории.

         Первый кризис разразился еще в древности и был вызван открытием факта несоизмеримости величин. Что это означает?

         Две однородные величины, выражающие длины или площади, являются соизмеримыми, если они обладают так называемой общей мерой. То есть если имеется такая однородная с ними величина, которая укладывается в каждой из них целое число раз. Полагали, что  все длины и площади соизмеримы. Вообще над этим как – то не задумывались. И вот обнаружили странное.

         Оказывается, диагональ квадрата и его сторона не имеют общей меры, и их отношения нельзя выразить с помощью известных к тому времени рациональных, то есть целых или дробных чисел. Это и вызвало кризис античной математики. Парадокс состоял в том, что по отдельности каждая из несоизмеримых величин – и диагональ и сторона квадрата – может измерена и количественно точно определена. Однако выразить их длины через отношения друг к другу посредством имевшихся тогда чисел не удавалось.

           Поясним это с помощью такой операции. Возьмем сторону квадрата и станем откладывать ее на диагонали. Мы обнаружим, что сторона не укладывается на ней целое число раз. Обязательно будет остаток. Но ведь можно попытаться уложить остаток: если он уместится целое число раз, общая мера найдена. Увы! И остаток не уменьшается в целое число действий Снова получается остаток, который ведет себя точно так же, как его более крупные предшественники, и т.д.

         Это не поддающееся измерению отношение диагонали и стороны квадрата было представлено выражением   Оно имеет следующее происхождение.

         Если квадрат разрезать по диагонали, получим два прямоугольных равнобедренных треугольника, где линия бывшей диагонали будет гипотенузой, а стороны квадрата – катетами. Согласно знаменитой теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, точнее, площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Отсюда и величина отношения гипотенузы к катету (или диагонали к стороне квадрата ), равная

         Позднее нашли, что также несоизмеримы отношения длины окружности к диаметру   (оно выражается число ), площади круга и квадрата, построенного на радиусе, и другие величины.

         Кризис был преодолен введением новых чисел, которые не являются ни целыми, ни дробными. Они могут быть представлены в виде бесконечных непериодических дробей. К примеру,  = 1,41..,  = 3,14… и т.д. Людям, знавшим только рациональные числа, вновь введенные казались несуразными, противоестественными. Это отразилось в их названии:

« иррациональные», что значит « бессмысленные», лежащие по ту сторону разумного.

          Дело в том, что если целые числа и дроби имели ясное физическое толкование, то для иррациональных чисел его находилось. Был только один способ придать им реальный смысл: сопоставить с ними длины определенных отрезков. Греки так и поступили. Они отказались от понимания иррациональных чисел в качестве именно чисел, а истолковали их как длины, то есть перевели на язык геометрии.

          Здесь важно подчеркнуть, что введение новых чисел оказало сильнейшее влияние на последующее развитие математики.

          Очередная катастрофа произошла несколько веков спустя и особенно терзала математику в 17 – 18 столетиях. В этот раз дело касалось истолкования бесконечно малых величин.

          Бесконечно малые – это переменные величины, стремящиеся к нулю, точнее, как было показано позже, стремящиеся к пределу, равному нулю. Кризис возник в силу расплывчатого понимания бесконечного малого. В одних случаях оно приравнивалось к нулю и при вычислениях отбрасывалось, в других же – принималось как значение, отличное от нуля, о чем говорит и само название. Причина столь противоречивого подхода к бесконечным малым объясняется тем, что их рассматривали в качестве постоянных величин. В силу этого бесконечное понималось как нечто завершенное, имеющееся налицо, данное всеми своими элементами.

          Выход из кризиса был найден созданием теории пределов, окончательно построенной в начале 19 века известным французским математиком О. Коши. Это парадоксальное состояние (полагать бесконечно малые нулями и в то же время неравными нулю) О. Коши разрешает введением качественно новых, неслыханных ранее величин. Он берет их из области возможного, а не действительного. Бесконечно малые – это величины, которые существуют лишь как постоянно изменяющиеся, стремящиеся к пределу, но никогда его не достигающие. То есть они всегда остаются в возможности, потенции, так что не реализуется ни одна на указанных альтернативах. Величины не застывают в каких – либо одних конкретных значениях. Они постоянно изменяются, приближаясь к нулю, но и не превращаясь в нуль. Интересные величины!

          Последний кризис (последний по времени, но, надо полагать, не по счету) имел место на рубеже 19 – 20 веков и был столь мощным, что затронул не только саму математику, но и логику, поскольку эти науки тесно связаны, и язык, поскольку дело касалось способов точного выражения содержания наших мыслей.

          Логический парадокс, выявленный Б. Расселем, был свидетельством противоречий в математике. О математическом парадоксе знал и Г. Кантор. Парадоксы посыпались как из рога изобилия. В логике, лингвистике, математике – повсюду находили не замеченные ранее противоречия.

          Всколыхнув математику, парадоксы оказали плодотворное влияние на ее развитие. Благодаря выявлению и преодолению парадоксов, математика стала более логической. Обогатилась и логика, которая стала более математической. Со временем появились замечательные геометрические парадоксы. Все они начинаются с разрезания фигуры на куски и заканчиваются составлением из этих кусков новой фигуры. При этом создается впечатление, что часть первоначальной фигуры (это может быть часть площади фигуры или один из нескольких изображенных на ней рисунков) бесследно исчезла. Когда же куски возвращаются на свои места, исчезнувшая часть площади или рисунок таинственным образом возникают вновь. Геометрический характер этих любопытных исчезновений и появлений оправдывает причисление этих парадоксов к разряду математических головоломок.

           Парадоксы в математике можно встретить в самых неожиданных ситуациях. Математика и движется от парадокса к парадоксу, как и другие науки.

           Парадокс близок к софизму.

           Софизм – доказательство ложного утверждения, причем ошибка в доказательстве искусно замаскирована. Софистами называли группу древнегреческих философов 4 – века до нашей эры, достигших большого искусства в логике.

           Приведем пример софизма. Если равны половины, то равны и целые. Полуполное есть то же, что и полупустое, значит, полное – то же самое, что пустое. К софизмам можно отнести доказательство того, что Ахиллес, бегущий в 10 раз быстрее черепахи, не сможет ее догнать. Пусть черепаха на 100 метров впереди Ахиллеса. Когда Ахиллес пробежит эти 100 метров, черепаха будет впереди него на 10 метров. Пробежит Ахиллес эти 10 метров, а черепаха окажется впереди на 1 метр и т.д. Расстояние между ними все время сокращается, но никогда не обращается в нуль. Значит, Ахиллес никогда не догонит черепаху.

            А вот  математический софизм « Докажем», что все числа равны между собой. Пусть a и b – произвольные числа и пусть a > b, тогда существует такое положительное число c, что a = b + c. Умножим это равенство на a – b и преобразуем полученное равенство:

Разделив обе части полученного равенства на (a-b-c), получим, что a=b. Ошибка здесь находится в самом конце, когда мы делили на число  (a-b-c), которое равно нулю.

Таким образом, прослеживая историю математики, можно сказать что во все времена математику спасала какая-нибудь новая идея. Она придавала математике строгость, восстанавливая ее авторитет. Поэтому не стоит боятся парадоксов, ибо они являются двигателями науки.

2. Математические софизмы

2.1. Что такое софизм?

Софизм - преднамеренная ошибка, совершаемая с целью запутать противника и выдать ложное рассуждение за истинное. Софизм - формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений (словарь Ожегова). Софизм происходит также от греческого слова ("софизм" означает "измышление", "хитрость"). Их строят, опираясь на внешнее сходство явлений, прибегая к намеренно неправильному подбору исходных положений, к подмене терминов, разного рода словесным ухищрениям и уловкам. Их [ошибки] допускают сознательно, с целью увлечь собеседника по ложному пути. При этом широко, и надо сказать, умело используется гибкость понятий, их насыщенность многими смыслами, оттенками. Софизм (от греч. sophisma – уловка, выдумка, головоломка, ухищрение, выдумка), доказательство ложного утверждения, причем ошибка в доказательстве искусно замаскирована, умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям.

Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Софизм - это то же надувательство, только выполненное намного изящнее и незаметнее, за что мы его и любим. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в софизмах выполняют "запрещенные" действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил.

2.2 Что такое парадокс?

В настоящее время термин парадокс прочно вошел в нашу речь. Его можно встретить и в научных текстах (парадоксальный сон, парадоксы природы, парадоксы науки, парадоксы творчества) и в повседневной речи («ну это уже парадокс») и художественной литературе («О сколько нам открытий чудных готовят просвещенья дух, и опыт, сын ошибок трудных, и гений, парадоксов друг»). Поэтому вполне естественно, что термин парадокс понимается по-разному в разных ситуациях. В.С. Библер замечает: «Понятие парадокса существует сейчас в самых различных смыслах – от чисто словарного и повседневного (красиво звучащая бессмыслица, до строго формального (логического), наиболее осознанного в парадоксах теории множества». Трактование парадокса как ошибки иногда приводит к тому, что его путают с другими понятиями, которые тоже обозначают ошибки, но несколько иного рода. А.В. Сухотин пишет: « Парадокс рожден в семействе понятий, описывающих ошибки и противоречия познания. Ошибки бытуют разные. Одни из них непроизвольны. Человек и не хотел бы ошибаться, да не получается. Как будто рассуждение логично, проведено правильно и, тем не менее, дает сбой». Другие – наоборот «делаются умышленно с намерением ввести кого-то в заблуждение». Для данной работы важно рассмотреть данные понятия поподробнее, чтобы отделить парадокс от смежных, «соседних» явлений. Парадоксальные суждения привлекают внимание исследователей, занимающихся математической логикой. Их интерес обращен к таким суждениям, которые, несомненно, абсурдны, а в то же время, казалось бы, доказаны с безупречной логикой.

3. Сравнение софизмов и парадоксов, как логический операций

3.1. Из истории софизмов.

   В Древней Греции развитие искусства ведения дискуссий нередко приводило к изобретению хитроумных "доказательств" неверных утверждений. Такие "доказательства" называются софизмами, поскольку их часто использовали софисты - учителя философии и красноречия в Древней Элладе.

Т.к. парадоксы чаще всего открываются, а не придумываются, сложно рассказать что либо об их истории. Однако мы можем утверждать, что первыми людьми кто вообще оперировал понятием парадокс были те же философы Древней Греции. 

Первые парадоксы были известны уже в глубокой древности, существуют и современные парадоксы. Некоторые из этих противоречий удалось решить путём создания новых теорий, переосмысления устоявшихся, но несовершенных законов. Другие – так и остались неразрешенными. Считается, что ученые относятся к парадоксам с неприязнью, их называют «патологиями» науки и стремятся как можно скорее от них избавиться. Однако это не всегда удаётся. В настоящее время не существует науки, в которой бы никогда не возникала парадоксов. Их находили в психологии, лингвистики, физике и даже в таких точных науках как логика и математика.

Сейчас сложно подсчитать, как много существует парадоксов: они многочисленны, разнообразны по своей природе и структуре. Поэтому ученые пытаются их структурировать, объединить в какую-либо систему.

3.1.1 Известные софисты

Софистами в древней Греции называли философов-учителей, задачей которых было научить своих учеников «мыслить, говорить и делать». Будучи в большинстве случаев глубоко образованными людьми, они не столько передавали ученикам знания из различных областей науки, сколько стремились научить их владеть искусством словесных состязаний. Чтобы выйти победителем в словесном поединке, софисты часто пользовались тем, что противник недостаточно глубоко знает предмет, о котором идет речь, недостаточно внимателен и наблюдателен, и поэтому не в состоянии отличить ложь от истины. В результате словесного поединка противник должен был согласиться с доводами софиста и признать себя побежденным, хотя истина, казалось, была на его стороне.

 Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса. Но суть деятельности софистов много больше, чем простое обучение искусству красноречия. Они обучали и просвещали древнегреческий народ, старались способствовать достижению нравственности, присутствия духа, способности ума ориентироваться во всяком деле. Но софисты не были учеными. Умение, которое должно было быть достигнуто с их помощью, заключалось в том, что человек учился иметь в виду многообразные точки зрения.

3.2 Отношение к истине

Из определений можно вывести отличие между софизмом и парадоксом: отношение к истине. Несмотря на то, что и софизм и парадокс доказывают на первый взгляд абсурдные вещи, парадокс это верное утверждение, в то время как софизм изначально ложное. Парадокс – это абсолютная истина, софизм – относительная истина.

Внешне парадоксы очень похожи на софизмы, поскольку тоже приводят рассуждения к противоречию, главное же различие между ними, как остроумно заметил писатель Даниил Гранин, заключается в том, что софизм – это ложь, обряженная в одежды истины, а парадокс – истина в одеждах лжи. Это, конечно, образное сравнение, но оно довольно точно схватывает суть проблемы. В действительности связь софизмов и парадоксов более тонкая и сложная. Парадокс может быть следствием некоторых софизмов. Парадоксальный вывод обязывает искать источник парадокса, заставляет выбираться из круга, в котором оказалось наше рассуждение и искать иной путь.

3.3 Классификация и примеры

     3.3.1 Классификация софизмов

Арифметические софизмы.

Равенство неравных величин

Всякое число равно своему удвоенному значению.

Запишем очевидное для любого числа a тождество

a2 - a2 = a2 - a2, вынесем a в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получим    a(a – a) = (a + a)(a - a).Разделив обе части на a - a, получим a = a + a, или a=2a.

Итак, всякое число равно своему удвоенному значению.

Разбор софизма. Здесь ошибочен переход к равенству a=2a. В самом деле, число a-a, на которое делится равенство a(a – a) = (a + a)(a - a) равно нулю. Поэтому его можно записать в виде , откуда, очевидно, следует, что число a слева и число a+a справа могут принимать любые, отнюдь не равные друг другу значения. Деление же обеих частей этого равенства на неравное нулю число a-a приводит к бессмыслице.

Неравные числа равны.

Возьмем два неравных между собой произвольных числа a и b. Пусть их разность равна c, т.е. a-b=с. Умножив обе части этого равенства на a-b, получим , а раскрыв скобки, придём к равенству , из которого следует равенство  вынося общий множитель a слева и общий множитель b  справа за скобки, получим  Разделив последнее равенство на ,получаем, что a=b, другими  словами, два неравных между собой произвольных числаa и  b равны.

Разбор софизма. Здесь мы имеем деление нуля на нуль, которое не имеет смысла, поскольку равенство  выполняется при любых  a и b.

Все ли утверждения математики верны

Чётное число равно нечётному

Возьмём произвольное чётное число 2n, где n-любое целое число, и запишем тождество , в справедливости которого нетрудно убедиться, раскрыв скобки. Прибавив к обеим частям этого тождества , перепишем его в следующем виде: ,

или в таком:,

Откуда следует, что , или 2n=2n+1,

что означает равенство чётного числа нечётному.

Разбор софизма. Из равенства квадратов не следует равенство величин.

Всякое положительное число является отрицательным

Пусть n-положительное число. Очевидно, 2n-1<2n.Возьмём другое произвольное положительное число a и умножим обе части неравенства на (-а): -2an+a<-2an.

Вычитая из обеих частей этого неравенства величину (-2an), получим неравенство a<0, доказывающее, что всякое положительное  число является отрицательным.

Неравенство одинаковых величин.

Один рубль не равен ста копейкам.

Известно, что любые два равенства можно перемножить почленно, не нарушая при этом равенства, т. е. если а = b и c = d, то ac = bd. Применим это положение к двум очевидным равенствам: 1 рубль = 100 копейкам, 10 рублей = 1000 копеек. Перемножая эти равенства почленно, получим: 10 рублей = 100 000 копеек и, наконец, разделив последнее равенство на 10, получим, что 1 рубль = 10 000 копеек.

Таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

Разбор софизма. Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правила действий с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.

Число равное другому числу, одновременно и больше, и меньше его

Возьмём два произвольных положительных равных числа a и b и напишем для них следующие очевидные неравенства: a>-b и b>-b. Перемножив оба эти неравенства почленно, получим неравенство  >, а после его деления на b, что вполне законно, так как по условию b>0, придём к выводу, что a>b. Записав же два других верных неравенства b>-a и a>-a, аналогично предыдущему получим, что ba>, а разделив на a>0, придём к неравенству a

Меньшее превышает большее.

Всякое отрицательное число больше положительного,

имеющую ту же абсолютную величину

Нижеследующее рассуждение основано на утверждении: если две дроби  и  равны  и в первой  дроби числитель больше знаменателя, то и во второй числитель должен быть больше  знаменателя, т. е. если a>b и то и c>d. Запишем теперь очевидные равенства (число)  и Из предыдущего видно, что оба отношения равны (-1), и поэтому мы можем записать   .  Но как известно, если две дроби равны, а в первой дроби числитель больше знаменателя (так как +А>-A), то, следовательно, и во второй  дроби числитель должен быть больше  знаменателя, таким образом необходимо, чтобы выполнялось неравенство. Итак, мы пришли к выводу, что отрицательное число больше положительного.

Разбор софизма. Для положительных чисел данное утверждение правильное. Так, если все числа а, b, с и d положительны и имеет место равенства дробей, то из того, что a>b, действительно следует, что c>d. Для чисел неположительных это утверждение может быть и неверным, что и получилось в данном софизме.

Софизм Перрона: единица есть наибольшее натуральное число

Нижеследующий софизм приписывается Перрону. Мы знаем, что числа 1, 2, 3, 4, 5, … называются натуральными. Понятно, что натуральных чисел бесконечное множество и наибольшего натурального числа нет. Тем не менее мы докажем, что наибольшим  натуральным числом является единица. Пусть число k>1 является наибольшим натуральным числом. Тогда мы можем записать, если k>1,то , значит . Последнее показывает, что принятое нами  в качестве наибольшего натурального числа число , больше этого числа k. Следовательно, никакое целое число k>1 не может быть наибольшим целым. Значит, наибольшим натуральным числом является 1,так как только в этом случае мы не приходим к противоречию.

Разбор софизма. Доказательство в софизме не закончено, и его надо продолжить.

Итак, в софизме показано, что никакое целое число k>1 не может являться наибольшим натуральным числом. Далее, в софизме делается такое заключение: «остаётся принять, что наибольшим натуральным является число 1». Здесь «доказательство» необходимо продолжить так: но поскольку 1, очевидно, не может быть наибольшим натуральным числом, то отсюда следует, что наибольшего натурального числа не существует.

Геометрические софизмы 

Из точки на прямую можно опустить два перпендикуляра

Попытаемся доказать, что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра. С этой целью возьмем ∆АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и D. Соединим точки Е и D прямыми с точкой В. Угол АЕВ – прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр, угол ВDC также прямой. Следовательно, ВЕ║АС и ВD║АС. Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.

Разбор софизма. Рассуждения опирались на ошибочный чертеж. В действительности полуокружности пересекаются со стороной АС в одной точке, т.е. ВЕ совпадает с ВD.Даже если чертеж был бы правильным, то не возможно, что в треугольнике ВЕD сумма всех углов больше 180˚. (Е=90˚, D=90˚).

Внешний угол треугольника равен внутреннему, не смежному с ним

 Рассмотрим четырехугольник ABCD, такой, в котором  ADC+ABC=180˚

Через точки A, D и С проведем окружность, которая пересечет стороны АВ и ВС в некоторых точках E и F. Соединив  точки С и Е, получим вписанный в эту окружность четырехугольник ADCE. Но сумма противоположных углов всякого вписанного  четырехугольника, как известно, равна 180˚ , потому

ADC + AEC = 180˚

Сравнив равенства (1) и (2), получим

 ADC+ABC = ADC + AEC 

ABC = AEC

Разбор софизма. Ошибка кроется в том, что на самом деле окружность, проведена через точки А, D и С данного четырехугольника, обязательно пройдет через точку B. Другими словами, все точки четырехугольника ABCD должны лежать на одной окружности. По условию четырехугольник  ABCD построен так, что углы при вершинах В и D в сумме составляют 180˚. Но это условие является условием того, что вокруг этого четырехугольника можно описать окружность.  

Логические софизмы

 Кроме математических софизмов, существует множество других. Понять абсурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными. Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными.

Полупустое и полуполное

«Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное».

Не знаешь то, что знаешь

«Знаешь ли ты, о чём я хочу тебя спросить?» — «Нет». — «Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?» — «Знаю». — «Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь».

Лекарства

«Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше».

Вор

«Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего».

Рогатый

«Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога».

3.3.2 Классификация парадоксов

Традиционная классификация, идущая от Рамсея (1926), делит парадоксы на логические и семантические. Это классификация проста и удобна, однако М.М. Новосёлов замечает, что рамсеевская классификация парадоксов не делает различия между чистой и прикладной логикой. Однако, это различие существенно, поскольку в чистой логике нельзя обнаружить что-либо парадоксальное, непротиворечивость этих систем доказана. Только в прикладной логике есть гипотезы и предпосылки, которые придают доказательствам относительный (условный) характер и которые, в случае обнаружения противоречий, приходится исключать. Поскольку в данной классификации подобного различия не проводится, все беды, связанные с парадоксами как бы перекладываются на какой-то таинственный противоречивый характер нашего мышления, что даёт возможность недоброжелателям говорить о кризисе в логике.

М.М. Новосёлов предлагает иную классификацию парадоксов, которая, по его мнению, более детально обращает внимание на особенности допущений (и принципов) весьма общего порядка, способных проявиться в основе того или иного парадокса. Данная классификация разделяет парадоксы на:

1) парадоксы, связанные с математической индукцией (парадокс кучи, космологические парадоксы; парадокс Хао-Вана, связанный с неоднозначностью натурального ряда в аксиоматической теории множеств и формализуемостью доказательств непротиворечивости);

2) парадоксы релевантности (т.е. те, в основе которых лежит допущение о возможности игнорировать подробности смысловых связей); с этими парадоксами связаны и парадоксы математической индукции, так как попытки освободиться от этих парадоксов основаны на математической индукции;

3) парадоксы отождествлений (в основе которых лежит допущение о независимости тождества от отождествлений); они также связаны с парадоксами математической индукции и парадоксами актива-пассива;

4) семантические парадоксы (основанные на допущение об осмысленности отношения обозначения);

5) теоретико-множественные парадоксы (сводимые к предыдущим);

6) парадоксы актива-пассива (отождествление происходящего с производимым и т.п.; к ним относятся парадоксы о необходимости начала мира, антиномии Канта); кроме того, из-за парадоксов актива-пассива возникают парадоксы отождествлений, а также следующие группы парадоксов:

7) парадоксы модальностей, которые допускают дальнейшую классификацию: отождествление возможного с действительным, ошибка смещения целей (приводящая к тому, что достаточное считается необходимым и т.п.); пренебрежение условиями возможности (что связано с парадоксами релевантности и приводит к смешению возможности с действительностью); парадокс «утренняя звезда»

8) парадоксы из-за смещения интуитивных понятий с четко определенными (они родственны семантическим парадоксам).

В электронной энциклопедии Wikipedia приводится следующая классификация парадоксов:

I. Логические:

- парадокс импликации: несовместные посылки делают аргумент верным;

- парадокс лотереи: вполне ожидаемо (и философски проверяемо), что данный конкретный билет не выиграет, но нельзя ожидать, что никакой билет не выиграет.

II. Парадоксы самореференции (самоотносимости):

Это хорошо известный (и хорошо изученный) класс противоречий, возникающий из-за ссылки на само себя.

- парадокс Берри: фраза «наименьшее число, которое нельзя описать менее, чем десятью словами» описывает это число девятью словами;

- парадокс Эпименида: Критянин говорит: «Все критяне - лжецы»;

- парадокс исключений: «Если у каждого правила есть исключения, то каждое правило должно иметь хотя бы одно исключение, кроме этого» …а это не исключение к правилу, которое утверждает, что у каждого правила есть исключения?

III. Неопределённые:

- парадокс Корабля Тесея: если каждый элемент корабля был заменён хотя бы один раз, можно ли считать корабль прежним кораблём?

- парадокс кучи: в какой момент куча перестанет быть кучей, если отнимать от неё по одной песчинке? Или, в какой конкретно день какой-либо человек становится лысым?

IV. Математические и статистические:

- парадокс интересных чисел: первое неинтересное число интересно само по себе этим фактом. Поэтому неинтересных чисел не существует;

- парадокс Линдли: маленькие ошибки в нулевой гипотезе сильно возрастают, если анализируются большие массивы данных, приводя к ложным, но одновременно точным со статистической точки зрения результатам;

V. Вероятностные:

- парадокс Берксона: два независимых события становятся условно зависимыми при условии, что хотя бы одно из них произошло;

- парадокс пари: в некоторых ситуациях выгодно спорить обоим противникам, ибо оба имеют бо́льшие шансы на победу, чем на проигрыш;

- парадокс определения: невозможно дать определение определению, ибо пока мы не дали это определение, сам о понятие определения остается неизвестным;

VI.Связанные с бесконечностью:

- парадокс Гильберта: Если гостиница с бесконечным количеством номеров полностью заполнена, в неё можно поселить ещё посетителей, даже бесконечное число;

- парадокс Интернета: Вероятность существования нужной информации в Интернете возрастает, а возможность её найти уменьшается.

 VII.Геометрические или топологические

- парадокс Банаха - Тарского: шар может быть разложен на несколько частей, из которых потом можно сложить два точно таких же шара.

VIII. Связанные с выбором:

- парадокс Абилина: Бывает, что люди принимают решения основанные не на том, что они сами хотят, но на том, что они думают, что другие хотят. В результате получается, что каждый делает что-то, что никому на самом деле не нужно;

- парадокс контроля: человек не может быть свободен от контроля, ибо чтобы быть свободным от контроля, нужно контролировать себя;

IX. Химические:

- парадокс Левинталя: промежуток времени, за который протеиновая цепочка приходит к своему скрученному состоянию, на много порядков меньше, чем оно могло бы быть, если она просто перебирала все возможные конфигурации.

X. Физические:

- парадокс Архимеда: огромный корабль может плавать в нескольких литрах воды;

- кот Шрёдингера. Квантовый парадокс: кот жив или мёртв перед тем, как мы на него посмотрим?

- парадокс близнецов: Когда близнец-путешественник вернулся, он стал моложе или старше, чем его брат, который оставался на Земле?

XI. Связанные с путешествиями во времени:

- парадокс дедушки: вы перемещаетесь в прошлое и убиваете своего дедушку до того, как он познакомился с Вашей бабушкой. Из-за этого Вы не сможете появиться на свет и, следовательно, не сможете убить своего дедушку;

- парадокс предопределения: человек попадает в прошлое, имеет половую связь со своей прабабушкой и зачинает своего дедушку. В результате получается череда потомков, включая родителя этого человека и его самого. Следовательно, если бы он не путешествовал в прошлое, его бы вообще не существовало.

XII. Философские:

- тотальная казнь, или парадокс смертной казни: убийство в некоторых странах карается смертной казнью, но, совершая её, государство (то есть все его жители) становятся убийцами и должны быть приговорены к смерти;

- парадокс эпикурейцев, или Проблема зла (англ.): кажется, что существование зла несовместимо с существованием всемогущего и заботливого Бога;

XIII. Экономические:

- парадокс ценности: почему вода стоит дешевле алмазов, хотя потребность человека в ней гораздо больше, чем в алмазах?

- парадокс Элсберга: Люди предпочитают известный, хотя и бо́льший, риск неизвестному риску, что противоречит теории ожидаемой пользы;

- парадокс Паррондо: возможно выиграть, играя поочерёдно в две заведомо проигрышные игры;

Таким образом, можно утверждать, что в настоящий момент существует немало классификаций парадоксов и ни одну из них нельзя назвать совершенной. Попытаться классифицировать, упорядочить парадоксы – это как попытаться объять необъятное. Парадоксы существуют повсюду, они неотъемлемая часть любой науки. Разнообразие и разноаспектность наук и объясняет разнородность парадоксов, которая служит помехой для создания точной и общепринятой классификации.

Мы не ставили своей задачей рассмотреть все парадоксы во всем их разнообразии, здесь лишь делается попытка описать наиболее общие, известные и «образцовые» (прототипические) парадоксы. Поэтому в данном материале мы будем придерживаться очень простой классификации: разделим парадоксы на логические и парадоксы, существующие в других науках (физические, математические). Несмотря на явное упрощение, именно такое разделение представляется наиболее подходящим и оправданным целями данной работы.

4. Заключение

Итак, мы познакомились с увлекательной темой, узнали много интересного, научились решать задачи на парадоксы и софизмы, находить в них ошибку. Открыли  еще одну страничку в математике.

Учащиеся выступили с сообщением по данной теме на уроке математики в своем классе и рассказали сверстникам о софизмах, привели примеры.

Помимо основных целей, поставленных в начале работы, мы преследовали еще одну: прикосновение к тому, с чем сталкивались наши далекие предки, к  теме, которая имеет исторические корни.

Рассмотрены примеры наиболее известных софизмов и парадоксов.

В процессе работы по  данной теме можно встретить много софизмов, разобраться в которых мы продолжив нашу работу в форме проектной деятельности учащихся  по мере пополнения  багажа знаний по математике. С нетерпением будем ждать того момента, когда эти знания пополняться на уроках математики, и мы вернемся к этим вопросам. Поэтому тема работы далеко не исчерпана. Мы рассмотрели лишь некоторые, самые известные примеры софизмов. На самом деле их намного больше. Продолжим изучение этой темы в будущем под девизом:

 «Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случаев сделать его немного занимательным»

Б. Паскаль

5.Литература

1. «Математические софизмы». Книга для учащихся 7-11 классов. Авторы: А.Г. Мадера, Д.А. Мадера. Москва «Просвещение» 2003.

2. «Математическая шкатулка». Автор: Ф.Ф. Нагибин. Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР 1961.

3.  «Математика после уроков». Пособие для учителей. Авторы: М.Б.Балк, Г.Д.Балк. Москва «Просвещение», 1971.

4. Мартин Гарднер А ну-ка, догадайся! М.: Мир, 1984. 

5. Софизм Эватла  (англ.). — в Smith's Dictionary of Greek and Roman Biography and Mythology.

6. Ивин А. А. Логика: Учебное пособие. — 2-е изд. — М.: Знание, 1998. 

7.  Маковельский А. О. История логики. — М., 1967.

8. Светлов В. А. О разрешимости одного неразрешимого спора, или Следовало ли Протагору подавать в суд на Еватла //Философские науки.1992.

9. Ахвледиани А.Н. Гносеологический анализ возможных решений древнегреческого парадокса «Тяжбы Протагора с Эватлом» // ΣΧΟΛΗ 4.2 (2010)

10. Ресурсы интернета