Задания по математике для школьного этапа олимпиады 10 класс Учитель Колесникова М.Г
олимпиадные задания по математике (10 класс) на тему

Задания по математике  для школьного этапа олимпиады

10 класс Учитель Колесникова М.Г

1. Дан график функции у=х2+ах+с. Найдите а

2. Решите в целых числах систему уравнений

3. Параллелограмм двумя парами прямых, параллельных его сторонам, разбит на девять параллелограммов. Найдите площадь четырехугольника АВСД, если площадь исходного параллелограмма равна S1, а площадь центрального (закрашенного) параллелограмма равна S2.

4. Решите неравенство

5. 1997*** делится на 1996. Сколько способов существует заменить *** цифрами?

Решения (10 класс)

1. Ответ 4.

График касается оси Ох, поэтому у=(х+х0)2, у=х2+2хх0+х02, т.е. а=2х0 и а=х02. Отсюда а=0 или а=4. Но из графика видно, что а не равно нулю.

2. Вычтя из второго уравнения первое, получим (х-z)(1-у)=1.Так как x,y,z целые, то возможны два случая:

1. x-z=1, 1-y=1, то есть у=0. Подставив в систему, получим z=94,x=95.
2. x-z=-1, 1-y=-1, то есть z=x+1, y=2. Подставим у и z в первое уравнение

2х+х+1=94,3х=93, х=31. Отсюда z=32.

Ответ:(95;0;94); (31;2;32).

3. Ответ..

Четырехугольник АВСД складывается из закрашенного параллелограмма и половинок параллелограммов, составляющих рамку.

4. Решение:

для любых значений х выполняется  

Следовательно

Ответ: решений нет.

5.  Способов существует всего один и число 1997996 является искомым. Если бы существовали другие способы, то число отличалось бы от этого числа, по крайней мере, на 1996, то есть первые четыре цифры не совпадали бы с 1997.